用幾何的觀點(diǎn)解釋線性代數(shù)問題

王恒太　許友軍　鄭立景　馮軍詞

摘 要： 本文主要從幾何角度解釋了線性代數(shù)中的概念、定理和主要結(jié)論。

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 解析幾何 嵌入式教學(xué)

一、線性代數(shù)和解析幾何的分析和比較

線性代數(shù)是普通高等學(xué)校理工科開設(shè)的一門基礎(chǔ)課，主要研究線性方程的解的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用，課時短，概念多且抽象，與高中所學(xué)知識銜接不大，在現(xiàn)實中的應(yīng)用背景少。目標(biāo)已經(jīng)從中學(xué)時的求解具體方程組轉(zhuǎn)化為判斷抽象的方程組有無解的問題。同時解的個數(shù)會出現(xiàn)無窮個情況，于是將無窮個解用有限個解表示出來成為大學(xué)里線性代數(shù)要解決的問題之一。因此，大多數(shù)理工科學(xué)生在學(xué)習(xí)中感覺困難大，理解起來困難。

所謂解析幾何，就是在空間建立直角坐標(biāo)系后，使空間的點(diǎn)與坐標(biāo)一一對應(yīng)，而空間中的線和面作為點(diǎn)的軌跡與它的方程建立聯(lián)系[1]。理科里有專門的解析幾何課程，有的與高等代數(shù)合為一門課程，工科專業(yè)學(xué)生的解析幾何部分出現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)某一章中。在解析幾何中介紹二維和三維向量的幾何表示及意義，二維的曲線和三維的曲面是后面研究的必備基礎(chǔ)。正是有了直觀的幾何映像，學(xué)生更有興趣和動力學(xué)習(xí)解析幾何.

線性代數(shù)的語言是抽象且富于概括性的，因此是比較難以理解的。解析幾何的研象主要是低維的，在現(xiàn)實世界中能夠找到例子或者畫出，相對來言更直觀和易懂。可以用代數(shù)知識解決具體幾何問題，也可以用解析幾何形象地闡述代數(shù)問題，在教學(xué)中二者不可分離。

線性代數(shù)中的概念、定理比較抽象，對初學(xué)者來說難以理解，原因之一是在現(xiàn)實生活中缺乏實例和直觀圖示。解析幾何中的曲線和曲面在線性代數(shù)教學(xué)中起著模型和示例作用。通過長期教學(xué)實踐，我們發(fā)現(xiàn)這些具體模型對幫助學(xué)生理解抽象的概念和理論起著重要作用。這些模型將抽象的代數(shù)概念、代數(shù)過程、代數(shù)結(jié)構(gòu)具體化，幫助學(xué)生完成從具體到抽象、再從抽象到具體的認(rèn)知過程。

二、將二者結(jié)合起來學(xué)習(xí)的必要性

1.有助于加深學(xué)生對這兩門學(xué)科的理解。

這兩門課有一個共同的研究對象——向量。在線性代數(shù)中，研究的都是n維向量，由于現(xiàn)實世界的局限性，我們只能畫出三維以下的向量，對于高維向量，只能將它的每一個分量寫出來，不能給人直觀的認(rèn)識，也就沒有直觀的幾何解釋。這就要求教師從解析幾何中二維和三維向量的直觀幾何映像推測出高維向量的性質(zhì)，然后用代數(shù)嚴(yán)密的語言證明。在幾何上，n維向量的每一個分量都決定了它在高維空間中的位置，在代數(shù)上，n維向量的每一個分量都有其具體的含義。換句話說，解析幾何為線性代數(shù)提供了直觀背景，線性代數(shù)為解析幾何提供了研究工具[2]。事實上，線性代數(shù)的許多概念、過程和結(jié)論都存在幾何原型，一些抽象的代數(shù)結(jié)論有了幾何解釋以后，常常會變得通俗易懂。相反，很多看起來復(fù)雜的幾何結(jié)論，如果從代數(shù)觀點(diǎn)來看，則十分簡易且通俗易懂。更重要的是線性代數(shù)作為一門抽象思維學(xué)科，給出更為本質(zhì)、更為廣泛的結(jié)果，從這個角度講，線性代數(shù)可以視為高維空間的解析幾何。解析幾何中的向量是線性代數(shù)中向量的具體和低維情形。通過研究高維向量的線性相關(guān)性和正交化等特點(diǎn)，對低維向量和空間圖形的面積和體積有更深刻的理解。

2.有助于培養(yǎng)同學(xué)們多學(xué)科交叉學(xué)習(xí)能力。

未來的世界是信息時代，嚴(yán)格意義上講已經(jīng)沒有學(xué)科的界限，我們獲取的信息可能綜合了各門學(xué)科的知識，必須具備各學(xué)科的知識才能將信息讀懂并得到需要的資料，將線性代數(shù)與解析幾何結(jié)合，正是讓我們從另一個側(cè)面將向量線性相關(guān)性正交化過程和曲線的方程轉(zhuǎn)變形理解得更加深刻，對提高本科教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)更全面的人才有巨大的幫助。

三、教師應(yīng)該注意的問題

1.應(yīng)該對兩門課都比較熟悉。

在全日制高校中教師要想上好線性代數(shù)課，前提是應(yīng)該系統(tǒng)教過微積分中的解析幾何部分或者給數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生上過高等代數(shù)與解析幾何，切實要求老師對各學(xué)科有較強(qiáng)的把握，對這兩門課中各個知識點(diǎn)在大綱中要求的程度，學(xué)生掌握程度有一個直觀了解，切忌想讓兩門學(xué)科結(jié)合起來，限于自己水平有限，學(xué)生一知半解、適得其反。

2.切忌用未講過的內(nèi)容解釋正在講的內(nèi)容[3]。

線性代數(shù)和微積分都是大學(xué)一年級課程，各知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)總有一個先后順序，教師在使用解析幾何知識的時候一定要注意學(xué)生是否學(xué)習(xí)此知識點(diǎn)。如果沒有學(xué)習(xí)，教師就盡量不要使用此知識點(diǎn)解釋代數(shù)問題，否則學(xué)生會處于同時接受兩門課并且應(yīng)用的處境，不僅起不到讓學(xué)生加深理解的目的，反而打擊學(xué)生積極性。

3.教師教學(xué)要不斷創(chuàng)新，與時俱進(jìn)。

解析幾何是圖形學(xué)科，因此具有直觀性和形象性，為了形象地將解析幾何知識滲透到線性代數(shù)中，需要教師畫許多圖形，如果在黑板上徒手畫圖，難度很大，因此需要教師充分利用多媒體技術(shù)將圖形畫出來，不同部位的顏色加以區(qū)別，必要時以動畫形式顯現(xiàn)，讓同學(xué)們有更直觀的認(rèn)識，如在講解線性方程組解的結(jié)構(gòu)時，先將特解顯現(xiàn)出來，然后將導(dǎo)出組的通解以不同顏色顯現(xiàn)，再次利用向量合成的定義將二者合成為齊次線性方程組的通解。

4.充分利用MOOC教學(xué)的研究成果。

MOOC（massive open online course）是大規(guī)模在線開放課程的簡稱，有的地方稱為“慕課”。自2012年以來，MOOC在全球發(fā)展迅速，獲得了公眾超乎想象的關(guān)注，對MOOC的繼續(xù)發(fā)展當(dāng)然大有益處。清華大學(xué)、國防科技大學(xué)等高校在國內(nèi)處于領(lǐng)先地位，教師可以引導(dǎo)同學(xué)們到網(wǎng)上觀看相關(guān)視頻，吸收不同老師的上課風(fēng)格，加深對相關(guān)知識點(diǎn)的理解。同時，利用網(wǎng)絡(luò)上已有的成果，課后給學(xué)生布置一些代數(shù)與幾何相結(jié)合的題目，培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)和幾何兩種觀點(diǎn)和視角互相滲透的習(xí)慣，讓學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)時自覺從解析幾何中找相關(guān)模型，在學(xué)習(xí)解析幾何時自覺用代數(shù)語言驗證并推廣相關(guān)結(jié)果。學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)時可以看與線性代數(shù)相關(guān)的視頻，從一個更廣更深的層面理解所學(xué)知識。利用并修改健全MOOC教學(xué)課后評價體系和考試系統(tǒng)，思考并創(chuàng)建一些開放性題目，培養(yǎng)同學(xué)們發(fā)散性思維能力，改變當(dāng)前單純知識點(diǎn)的模式。

四、結(jié)語

通過以上討論，我們看到將解析幾何滲透到線性代數(shù)中使我們受益匪淺，同時多學(xué)科交叉已經(jīng)成為當(dāng)前學(xué)習(xí)和研究的一種趨勢，我們把這兩門學(xué)科結(jié)合后的效果展示給大家固然重要，但是培養(yǎng)同學(xué)們自覺養(yǎng)成這種習(xí)慣更加重要，如果充分利用網(wǎng)絡(luò)中已有成果，充分吸收各家之長，就會使同學(xué)們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道路上越走越寬。

參考文獻(xiàn)：

[1]王穎.將解析幾何融入線性代數(shù)教學(xué)的思考[J].高師理科學(xué)刊，2013，33（4）：62-64.

[2]騰樹軍.線性代數(shù)的幾何化與應(yīng)用化教學(xué)探討[J].河北工業(yè)大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報，2008，23（3）：23-28.

[3]王穎.探析多媒體在線性代數(shù)教學(xué)中的正確使用[J].教育教學(xué)論壇，2013（6）：199-200.

本文受南華大學(xué)船山學(xué)院教學(xué)建設(shè)項目（2015CY011）資助。