黃麗群

【摘要】平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要知識點，習題情境復(fù)雜多變，解題方法靈活多樣，其中借助幾何模型可迅速的找到解題思路，提高解題效率.實踐中為提高學(xué)生運用幾何模型解題的意識與能力，應(yīng)做好教學(xué)經(jīng)驗總結(jié)，積極開展幾何建模教學(xué)活動，既要為學(xué)生系統(tǒng)的講解建模理論知識，又要結(jié)合具體教學(xué)實際展示建模的具體過程，加強模型在解題中的應(yīng)用訓(xùn)練.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);平面幾何;建模教學(xué)

1 初中數(shù)學(xué)平面幾何建模理論概述

構(gòu)建初中數(shù)學(xué)平面幾何模型對學(xué)生分析以及靈活運用所學(xué)的能力要求較高.一般情況下平面幾何建模按照以下思路進行：

其一，認真審題.審題時應(yīng)做到認真細致，做好應(yīng)用信息的提煉，搞清楚線段長度、角度大小之間的關(guān)系，必要情況下可將相關(guān)的已知條件標注在圖形上.其二，嚴謹推理.每一步結(jié)論的得出應(yīng)有理有據(jù)，推理做到連貫嚴謹[1].其三，做好驗證.當推導(dǎo)出平面幾何模型結(jié)論后應(yīng)注重在具體的問題情境中進行驗證.驗證時應(yīng)做好幾何模型的反思，做好細節(jié)上的補充和優(yōu)化，準確的把握模型結(jié)論成立的適用條件，在以后的解題中能夠正確的應(yīng)用.

2 初中數(shù)學(xué)常見平面幾何模型的介紹

初中數(shù)學(xué)平面幾何涵蓋很多的模型，其中角平分線模型、一線三垂直、一線三等角模型在解題中有著廣泛的應(yīng)用.

2.1 角平分線模型

如圖1所示，已知AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，則可得出如下結(jié)論：

①DE=DF;②∠1=∠2;③ DA平分∠EDF;④AE=AF;⑤S△ABDS△ACD=ABAC=BDDC;

2.2 一線三垂直模型

如圖2（a）、（b）已知△ABC為等腰直角三角形，BD⊥DE，CE⊥DE，BA⊥AC，則對于圖2（a）成立的結(jié)論有：①△ABD≌△CAE;②DE=BD+CE;對于圖2（b）成立的結(jié)論有：①△ABD≌△CAE;②DE=BD-CE;另外，在圖2（c）中△ABC為等腰直角三角形，DC⊥AC，BE⊥AD，延長BE和AC交于點F，則可推出：△ABF≌△CAD;

（a）

（b）

（c）

2.3 一線三等角模型

（a）

（b）

如圖3（a），已知∠D=∠2=∠1，AB=AC，則可得出結(jié)論：△ADB≌△CEA;如圖3（b）已知∠BAC=∠BDF=∠CEF，AB=AC，則可推出結(jié)論：△ADB≌△CEA;

3 初中數(shù)學(xué)常見平面幾何模型的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅與學(xué)生一起分析建模過程，而且為更好的提高學(xué)生運用模型解決數(shù)學(xué)問題的能力，注重圍繞不同的模型創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問題情境，學(xué)生展示如何運用平面幾何模型進行解題.

3.1 角平分線模型的應(yīng)用

如圖4，AD平分∠BAC，延長AD于點E，使得DE=AD，連接BE，若AC=2，AB=4，S△BDE=6，則S△ABC=.

由角平分線模型的結(jié)論可知，S△ACDS△ABD=ACAB，因為AC=2，AB=4，所以S△ACDS△ABD=12;因為△ADB、△EDB中邊AD、DE邊上的高相等，又因為DE=AD，S△BDE=6，所以S△BDE=S△ABD=6，所以S△ACD=3，所以S△ABC=S△ACD+S△ABD=3+6=9.

3.2 一線三垂直模型的應(yīng)用

如圖5，在平面直角坐標系中A（-4，0），C（0，-2），B（m，2），AC⊥BC，AB交y軸于點D.（1）求證：CA=CB;（2）求點B的坐標;（3）求S△AOD.

問題1 過點B作x軸的平行線交y軸于點E，所以∠BEO=∠AOC=90°，因為B（m，2），所以E（0，2），因為C（0，-2），A（-4，0），所以AO=CE=4，因為AC⊥BC，所以∠ACO+∠OCB=90°，又因為∠ACO+∠CAO=90°，所以∠CAO=∠OCB，所以△AOC≌△CEB，所以CA=CB，得證;

問題2 由問題（1）可知△AOC≌△CEB，所以BE=OC，因為C（0，-2），所以O(shè)C=2，所以BC=2，所以B（2，2）;

問題3 連接OB，則S△AOB=12·|AO|·yB=12×4×2=4，又因為S△AOB=S△AOD+S△BDO=12·|OD|·|AO|+12·|OD|·xB=4，解得DO=43，所以S△AOD=12·|AO|·|OD|=12×4×43=83.

3.3 一線三等角模型的應(yīng)用

如圖6，已知AB=AC，∠BAC=60°，E為AD上一點，∠ADB=∠AEC=120°，探究BD、CE和DE之間的數(shù)量關(guān)系.

因為∠BAC=60°，所以∠2+∠3=60°，又因為∠ADB=∠AEC=120°，在△ABD和△ACE中，∠1+∠2=180°-∠ADB=60°，∠3+∠4=180°-∠AEC=60°，所以∠1=∠3，∠2=∠4，又因為AB=AC，所以△ABD≌△CAE，所以BD=AE，AD=EC，所以CE=BD+DE;

參考文獻：

[1]黃玉芳.探析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾何圖形建模[J].數(shù)學(xué)學(xué)習與研究，2020（15）：51-52.

[2]陳麗冰.一線三等角幾何模型在數(shù)學(xué)解題中的探究[J].名師在線，2021（17）：61-62.

[3]過曉娟.探究初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的模型運用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習與研究，2021（09）：27-28.