李玉榮

【摘要】 斜邊上的高是直角三角形的一條重要線段，適時(shí)構(gòu)造，可以幫助我們解題.

【關(guān)鍵詞】 直角三角形;斜邊;高

定理 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似.

例1 如圖1，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在過點(diǎn)B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點(diǎn)P.

（1）求證：CP=CB;

（2）若OB=4，CB=3，求線段BP的長(zhǎng).

解 （1）略;

（2）如圖1，易知∠OBC=90°，

OC=5，OP=2，

PA=AO2+PO2=25，

作OD⊥AB于點(diǎn)D，

因?yàn)镺C⊥OA，

所以△ADO ∽△AOP，

可得AOAP=ADAO，

即425=AD4，

所以AD=855，

AB=2AD=1655，

進(jìn)而PB=AB-AP=1655-25=655.

例2 如圖2，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，將△AOB繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時(shí)線段A′B′與BO的交點(diǎn)E恰為BO的中點(diǎn)，則線段B′E的長(zhǎng)為.

解 如圖2，因?yàn)锳O=3，BO=6，

所以AB=35，

過點(diǎn)O作OF⊥A′B′于點(diǎn)F，

因?yàn)椤螦′OB′=90°，

OF⊥A′B′，

所以△A′FO∽△A′OB′，

所以A′OA′B′=A′FA′O，

即335=A′F3，

所以A′F=355，

從而A′E=2A′F=655，

所以B′E=35-655=955.

例3 如圖3，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F(xiàn)分別在AD，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于EF所在的直線對(duì)稱，P是邊DC上的一動(dòng)點(diǎn).

（1）連接AF，CE，求證四邊形AFCE是菱形;

（2）當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求DPCP的值;

（3）連接BP交EF于點(diǎn)M，當(dāng)∠EMP=45°時(shí)，求PC的長(zhǎng).

解 （1）、（2）略;

（3）如圖3，因?yàn)锳B=2，AD=4，

所以AC=25，

設(shè)BP交AC于點(diǎn)Q，作BN⊥AC于點(diǎn)N，

因?yàn)椤螮MP=45°，

所以O(shè)M=OQ，NQ=BN，

由AB·BC=AC·BN，得

2×4=25BN，

所以NQ=BN=455，

在Rt△ABN中，

AN=AB2-BN2

=22-4552

=255，

所以AQ=AN+NQ=655，

CQ=AC-AQ=455，

由AB∥CP，得 △ABQ∽△CPQ，

得ABCP=AQCQ，

即2PC=655455，

解得PC=43.

例4 如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以點(diǎn)C為圓心作⊙C與直線BD相切，點(diǎn)P是⊙C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BD于點(diǎn)T，則APAT的最大值是.

解 如圖4，過點(diǎn)A作AG⊥BD于G，

因?yàn)锽D是矩形的對(duì)角線，

所以∠BAD=90°，

所以BD=AD2+BD2=5，

因?yàn)?2AB·AD=12BD·AG，

所以AG=125，

因?yàn)锽D是⊙C的切線，

所以⊙C的半徑為125，

過點(diǎn)P作PE⊥BD于E，則

∠AGT=∠PET，

因?yàn)椤螦TG=∠PTE，

所以△AGT∽△PET，

所以AGPE=ATPT，

所以PTAT=512PE，

因?yàn)锳PAT=AT+PTAT=1+PTAT=1+512PE，

要使APAT最大，只需PE最大，連接PC，CH，顯然

PE≤PC+CH=2×125=245，

所以APAT最大值為1+2=3.

例5 如圖5，△ABC中，∠ACB=90°，AC =8，BC=6，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)D，

（1）求證：DE是⊙O的切線;

（2）點(diǎn)F為直線CB上一點(diǎn)，AF交⊙O于點(diǎn)G，連接CG，求CGAF的最大值.

解 （1）略;

（2）如圖5，作GH⊥AC于H，連接OG，

因?yàn)椤螦GC=90°，

GH⊥AC，

所以△CHG∽△FCA，

可得CGAF=HGAC，

因?yàn)镠G≤OG，

所以CGAF≤OGAC=12，

即CGAF的最大值為12.