數(shù)形結(jié)合促進深度學(xué)習(xí)的研究

【摘要】數(shù)形結(jié)合促進深度學(xué)習(xí)的研究是文章論述的重點。經(jīng)過課題組兩年堅持不懈的研究，目前該研究已取得了階段性、豐富的成果。數(shù)與形具有緊密的關(guān)聯(lián)性，它們的結(jié)合，對深度學(xué)習(xí)能起到良好的促進作用。首先，通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以清晰把握概念特征;其次，利用數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以精準(zhǔn)把握數(shù)量關(guān)系;再次，依靠數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以聚焦突破教學(xué)疑難;最后，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以發(fā)展自身高階思維。因此，教師在課堂中積極做到利用數(shù)形結(jié)合開展教學(xué)，將會有力促進深度學(xué)習(xí)落實。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;深度學(xué)習(xí);研究

【基金項目】本文系福建省霞浦縣教育科研2020年小學(xué)（幼兒園）立項課題—“數(shù)形結(jié)合促進深度學(xué)習(xí)的研究（2019x-113）”的研究成果。

作者簡介：林阿顯（1976—），男，福建省霞浦縣東關(guān)小學(xué)。

數(shù)量關(guān)系和空間形式是數(shù)學(xué)中的一對孿生兄弟。數(shù)量關(guān)系與空間形式雖然有各自的發(fā)展路徑，但它們又相輔相成，組成使數(shù)學(xué)發(fā)展騰飛的一雙翅膀。深度學(xué)習(xí)的教學(xué)是聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)進行教學(xué)的重要方式，是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的重點、熱點之一。要實現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，其中一條行之有效的策略就是做到數(shù)形結(jié)合。數(shù)不離形，形不離數(shù)，通過數(shù)形的相助、相解、相通、相悟，學(xué)生能更清晰地把握數(shù)學(xué)概念特征，更透徹地理清數(shù)量關(guān)系，更有效地突破教學(xué)疑難的局限，更快速地實現(xiàn)思維進階，從而促進數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的落地生根，實現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展。

一、數(shù)形相助，清晰把握概念特征

數(shù)學(xué)概念是思維的產(chǎn)物，脫離一定的生活實際，具有抽象性。小學(xué)生因思維水平的限制，很難對抽象的概念有準(zhǔn)確的把握。據(jù)此情況，有的老師試圖用舉例子或形象的語言來描述概念，但效果都不是很好。實踐證明，數(shù)形相助能幫助學(xué)生實現(xiàn)思維與概念對接，清晰把握概念特征。

（一）以形助數(shù)，理清概念

以形助數(shù)，就是把抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化成具體的圖形，這對學(xué)生理清數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵有很好的效果。如講授“因數(shù)和倍數(shù)”時，由于學(xué)生要掌握的概念很多，即使教師在進行每個概念的教學(xué)時都循序漸進，學(xué)生還是會出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象。原因在哪呢？一方面，是教師教學(xué)時多以講授為主，平白膚淺，學(xué)生無法深入體會其中含義;另一方面，是學(xué)生沒有建立清晰的概念理解框架。為了幫助學(xué)生弄清概念的內(nèi)涵，筆者采用以形助數(shù)的策略。在課上，筆者向?qū)W生提問：“你們要找誰的因數(shù)和倍數(shù)？”學(xué)生說：“12。”筆者繼續(xù)說下去：“那我們就把‘12’當(dāng)中心，在圖上找出它的因數(shù)和倍數(shù)?！睂W(xué)生畫圖時發(fā)現(xiàn)，“12”的因數(shù)除了它本身，都在“12”的前面;而“12”的倍數(shù)除了它本身，都在“12”的后面，線段圖中“12”的因數(shù)和倍數(shù)明顯分布在了兩邊。在圖中，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了因數(shù)和倍數(shù)的其他特征。一個學(xué)生興奮地說：“從圖上我還明白了為什么一個數(shù)的因數(shù)是有限的，而倍數(shù)是無限的?！绷硗庖粋€學(xué)生說：“我發(fā)現(xiàn)‘12’有三種身份，除了是‘12’本身，它也是自己的因數(shù)和倍數(shù)?！边@樣以形助數(shù)的教學(xué)方式使得原本容易混淆的因數(shù)、倍數(shù)概念變得清晰，學(xué)生就能夠很好地觀察，厘清它們的邊界點，從而很好地弄清概念內(nèi)涵。

（二）以數(shù)助形，把握特征

小學(xué)生空間觀念薄弱，對于一些圖形的“隱性”特征不能很好把握。這時候就需要以數(shù)助形，用數(shù)的精確性來彌補形的模糊性。如講授“圓的周長”時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先測量幾個大小不同的圓的直徑長度，再把這些圓分別滾動一周，然后探究圓的周長和直徑的關(guān)系。通過測量，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，圓的周長都是它直徑的三倍多一些。雖然“三倍”已經(jīng)很明確，但是“多一些”就很模糊，到底是多少呢？這時候，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)助形，把形的關(guān)系用數(shù)來表示，最后得出整個倍數(shù)準(zhǔn)確的表達數(shù)字就是π。這樣把形的關(guān)系用精確的數(shù)來描述，學(xué)生就能很好地把握圓的周長是它直徑“三倍多一些”的內(nèi)涵。

又如在講授“直線”時，教師可以出示一束光線，引導(dǎo)學(xué)生想象。光線的兩頭會向教室外延伸，穿過田野。通過觀察，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)直線是無限延長、沒有盡頭的。因此，數(shù)學(xué)中無法用任何一個數(shù)來表示直線的長度，學(xué)生可以由此領(lǐng)悟直線長度“無法測量”的特性。以數(shù)助形的應(yīng)用，能使學(xué)生對幾何圖形的特征有更深入的發(fā)現(xiàn)，為他們深度學(xué)習(xí)的產(chǎn)生奠定基礎(chǔ)。

二、數(shù)形相解，精準(zhǔn)把握數(shù)量關(guān)系

數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系，有時候是復(fù)雜、潛隱的，學(xué)生由于經(jīng)驗或領(lǐng)悟力不足，很難按常規(guī)的思路去理解它。此時，若教師采用數(shù)形相解的策略，把內(nèi)在不明的數(shù)量關(guān)系明面化、路徑化，學(xué)生就能順藤摸瓜，理清數(shù)量關(guān)系，較精準(zhǔn)地找出解決問題的方案。

（一）以形解數(shù)，發(fā)現(xiàn)關(guān)系

如題：“有兩個自然數(shù)甲和乙，如果把甲增加6，乙不變，甲乙的積就增加30;如果甲不變，乙增加15，甲乙的積就增加90，求甲乙兩數(shù)的積?！庇捎陬}目比較抽象，學(xué)生無法在大腦中進行運算，因此大部分學(xué)生都難以下筆。此時，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生把題目轉(zhuǎn)換成圖形，以圖形來解釋題目，數(shù)量關(guān)系就會比較清楚。教師可以引導(dǎo)學(xué)生先畫一個長方形，長表示甲，寬表示乙，這個長方形的面積就是原來兩數(shù)的積。然后，根據(jù)條件把甲增加6，則長延長6，乙不變即寬不變;同樣甲不變即長不變，乙增加15，則寬延長15。從圖中學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：原長方形的長（甲）是90÷15=6，原長方形的寬（乙）是30÷6=5，則兩數(shù)的積為6×5=30。借助圖形的形象和可操作性，學(xué)生就能弄清楚題中數(shù)量關(guān)系的變化過程，很快地找到了解題方法。

又如這題：“鋪一條路，用每塊16平方分米的方磚鋪要800塊;若改用邊長5分米的方磚鋪，要多少塊？”不少學(xué)生錯誤使用“16×800÷5”解題，因為這些學(xué)生把“邊長5分米的方磚”理解成了“面積是5平方分米的方磚”。此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意作圖，重點強調(diào)邊長5分米的“邊長”兩個字，如此學(xué)生就會明白哪里計算錯了。這樣以形解數(shù)，將抽象的數(shù)量關(guān)系展示出來，變“看不見”為“看得見”，有助于學(xué)生更精準(zhǔn)地發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，從而促進他們的深度學(xué)習(xí)。

（二）化數(shù)為形，理解關(guān)系

在講授“時、分、秒”時，許多學(xué)生對時、分、秒的關(guān)系掌握不清楚，容易混淆。此時，教師可以制作一個特殊的鐘，時針由烏龜代替，分針由兔子代替，結(jié)合學(xué)生熟知的“龜兔賽跑”，讓學(xué)生理解分針與時針的關(guān)系。烏龜和兔子繞著鐘面進行跑步比賽，一聲令下，龜、兔開始賽跑，當(dāng)兔子也就是分針跑了60個小格的時候，烏龜也就是時針才走了1個大格。這樣把時、分、秒之間抽象的數(shù)量關(guān)系，用化數(shù)為形的策略加以詮釋，學(xué)生就能很準(zhǔn)確地理解時、分、秒的關(guān)系。

三、數(shù)形相通，聚焦突破教學(xué)疑難

學(xué)生一旦進入了學(xué)習(xí)深水區(qū)，就會遇到各種疑難和具有挑戰(zhàn)性的問題，這是認知發(fā)展的必然現(xiàn)象，也是不斷提高、錘煉學(xué)生核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路，所以教師要教育學(xué)生不要有畏難情緒，要主動迎接挑戰(zhàn)。俗話說，辦法總比困難多。此時，教學(xué)如果能做到數(shù)形相通，那將非常有利于疑難問題的成功解決。

（一）數(shù)形對比，化解難點

如講授“進位加法”時，許多學(xué)生很難明白為什么要“滿十進一”。為了讓學(xué)生形象、生動感受“滿十進一”的推導(dǎo)過程，筆者進行了以下操作：

1.先出示一道算式“25+28= ”，問學(xué)生這要怎么算，再動畫演示豎著擺的小棒，這些小棒捆與捆對齊，根與根對齊。

2.讓學(xué)生觀察整捆的小棒有幾捆（4捆），把它們?nèi)ζ饋怼?/p>

3.問學(xué)生5根小棒和8根小棒加起來一共幾根（13根）;按10根1捆，夠捆成1捆嗎。學(xué)生數(shù)一數(shù)，還是夠捆成1捆的。

4.相機出示動畫，演示5根加8根就是1捆剩3根。

5.讓學(xué)生數(shù)一數(shù)現(xiàn)在一共有幾捆，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一共5捆。

6.繼續(xù)問學(xué)生，捆與捆相加，根與根相加，現(xiàn)在一共是多少。

筆者邊與學(xué)生互動，邊演示課件，使學(xué)生清楚地感知進位加法的過程，明白了進位加法“滿十進一”的算理。這樣把靜止的數(shù)與運動的形對應(yīng)起來，不僅為接下來的筆算進位加法提供了支持，而且也讓學(xué)生感受到知識的形成過程，這是發(fā)生深度學(xué)習(xí)的必要途徑之一。

（二）數(shù)形對照，突破疑難

如題：“客車和貨車分別從甲乙兩地同時相向而行，在離中點3千米處兩車相遇，已知客車和貨車的速度比是7∶6，那甲乙兩地的距離是多少千米？”根據(jù)筆者對班級學(xué)生的統(tǒng)計，題目中“速度比是7∶6”與“離中點3千米”這兩個疑難點，是學(xué)生認知上的障礙。在說不清楚、聽不明白的情況下，教師可以借助畫圖來幫助學(xué)生理解題意、理清脈絡(luò)、突破難點。對照圖形學(xué)生可以很清楚地看出，客車和貨車相遇時由于所花的時間相同，所以它們的速度比就是它們的路程比，即兩車所行的路程比為7∶6。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)客車行駛的路程已超過中點3千米，貨車到中點還差3千米，客車比貨車多行的并不是3千米，而是兩個3千米，也就是6千米。一份是6千米，總共有7+6=13份，那么甲乙的路程就是6×13=78千米。通過題目和圖形的對照，題中的未知點、疑難點和關(guān)聯(lián)點就充分顯露出來，然后學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系順藤摸瓜，就能很好地解決問題。這種數(shù)形對照的策略，不僅可以幫助學(xué)生提高題目解讀層次，而且也會幫助教師解決教學(xué)疑難點，為學(xué)生進一步發(fā)生深度學(xué)習(xí)提供有效的支撐。

四、數(shù)形相悟，促進高階思維發(fā)展

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的一項重要特征就是促進學(xué)生高階思維的發(fā)展，數(shù)形相悟則是促進學(xué)生高階思維發(fā)展的一種有效手段。教師要利用圖形的形象性和可變性，使用多種方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生領(lǐng)悟生成多樣的解題策略，促使學(xué)生的思維變得更靈活、更富有創(chuàng)造性，不斷向高階思維發(fā)展。

（一）形來悟數(shù)，發(fā)展思維

如題：“霞浦游泳館原有一個長30米，寬20米的長方形游泳池。游泳館擴建時，游泳池的長和寬都增加了10米。游泳池的面積增加了多少平方米？”這是一道形的問題，如果以形解形，學(xué)生們只要畫個圖，問題就解決了。但以形解形的思路過于常規(guī)，沒有新意，因此為了進一步挖掘本題的思維價值，讓學(xué)生體驗數(shù)的深刻性，筆者鼓勵學(xué)生，不斷重組圖形，去尋找更多富有思維挑戰(zhàn)性的做法。學(xué)生邊畫圖，邊探索，悟出了以下多種解題新方法：

1.游泳池增加的面積是40×10+20×10=600（平方米）;

2.游泳池增加的面積是30×10+30×10=600（平方米）;

3.游泳池增加的面積是30×10+10×10+20×10=600（平方米）;

4.游泳池增加的面積是（30+10+20）×10=600（平方米）。

隨著圖形組合的不斷創(chuàng)新，學(xué)生對數(shù)的感悟也在不斷升級，利用形來悟數(shù)的過程，就是學(xué)生主動探索和思維積極生長的過程。教學(xué)是否有深度，首先得看學(xué)生的思維是否有深度，學(xué)生對問題解決的多元性和創(chuàng)新性是否有足夠的感悟。

（二）數(shù)來悟形，增長智慧

當(dāng)學(xué)生對事物的認識達到一定高度的時候，就會擺脫形的束縛，上升到理性認識，但這個理性認識還不是很成熟，學(xué)生需要進一步借助數(shù)來領(lǐng)悟本質(zhì)，增長智慧。如教授“三角形的三邊關(guān)系”時，筆者讓學(xué)生擺各種三角形來領(lǐng)會“三角形三邊關(guān)系”，體現(xiàn)用數(shù)來悟形。教學(xué)片段如下：

師：通過擺三角形，我們發(fā)現(xiàn)了3+4﹥5這樣的關(guān)系式，你還有其他關(guān)系的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：3+4﹥5，3+5﹥4，5+4﹥3

師：總結(jié)起來呢？

生：“任意”兩邊長度之和大于第三邊，就可以圍成三角形。

師：換一個三角形也有這樣的關(guān)系嗎？算算看。

生：3+8﹥10，3+10﹥8，8+10﹥3，另一個三角形也是存在這樣的關(guān)系的。

師：3厘米、4厘米、8厘米的這三根小棒不能圍成三角形，但是4+8﹥3，也兩邊長度之和大于第三邊呀，怎么不能圍成三角形呢？

生：因為存在一組兩邊長度之和小于第三邊，沒有滿足“任意”兩邊長度之和大于第三邊，所以不能圍成三角形。

學(xué)生原先認為能圍成三角形的，僅僅是“兩短邊長度的和大于最長邊”的這一關(guān)系。通過操作、辨析，學(xué)生能抽象出“三角形任意兩邊的長度的和大于第三邊”這層更深刻的關(guān)系。就在學(xué)生們思緒高漲的時候，老師提出個質(zhì)疑，這個質(zhì)疑看似“回馬槍”，實際上是提示學(xué)生用數(shù)來悟形，進一步推動學(xué)生思辨，以使學(xué)生達到對形的最高理性覺悟，閃耀智慧之光。

結(jié)語

深度學(xué)習(xí)是當(dāng)前課改的重要理念。深度學(xué)習(xí)，深在概念的清晰、關(guān)系的明確、疑難的解決、思維的提升、智慧的增長。數(shù)學(xué)課堂要實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)教學(xué)，離不開數(shù)與形的結(jié)合教學(xué)，這不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展的特性，也是學(xué)生認知發(fā)展的需要。數(shù)與形，一表一里、一顯一隱，互相交織，相得益彰，能有力地促進深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。在課堂教學(xué)中，我們要把數(shù)形結(jié)合與深度學(xué)習(xí)教學(xué)交融，為學(xué)生學(xué)好有價值的數(shù)學(xué)服務(wù)，為提高學(xué)生全面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)服務(wù)。

【參考文獻】

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