鄭秋燕,劉立漢,陳容
重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331
在聲波和電磁波的反散射問題中,傳輸特征值的性質(zhì)可以用來估計(jì)散射體材料的性質(zhì),并且此時(shí)的傳輸特征值問題是橢圓方程特征值問題的標(biāo)準(zhǔn)理論所沒有包含的非線性、非自伴隨特征值問題。因此,對(duì)反散射問題中的傳輸特征值的研究,引起了國內(nèi)外許多學(xué)者的興趣和關(guān)注,也成為近年來一個(gè)非?;钴S的研究熱點(diǎn),有關(guān)這方面的詳細(xì)綜述見文獻(xiàn)[1-6]。目前已經(jīng)研究了一些關(guān)于傳輸特征值的性質(zhì),包括傳輸特征值的離散性[7-8]、實(shí)傳輸特征值的存在性[7,9]、傳輸特征值在復(fù)平面的位置[10]和傳輸特征值在多種假設(shè)下的一般光譜性[11-12]等。同時(shí),也涌現(xiàn)一些研究傳輸特征值問題的數(shù)學(xué)方法,包括變分法[7,13]、邊界積分方程方法[1,14-16]和半經(jīng)典分析[12,17]。尤其文獻(xiàn)[18-19]指出,從散射數(shù)據(jù)中可以確定傳輸特征值,并根據(jù)折射率可以建立傳輸特征值的單調(diào)性,這使得傳輸特征值問題的性質(zhì)分析能夠作為反散射問題研究的關(guān)鍵點(diǎn)。
本文利用邊界積分方程方法研究了可穿透非均勻介質(zhì)反散射中的傳輸特征值問題。邊界積分方程方法首先是由Cossonnière 和Haddar在傳輸特征值問題中使用,他們是利用格林公式對(duì)傳輸特征函數(shù)進(jìn)行作用,然后推導(dǎo)出一個(gè)與傳輸特征值問題等價(jià)的線性邊界積分方程組,且線性邊界積分方程組是由兩個(gè)邊界積分方程構(gòu)成,其對(duì)應(yīng)于依賴非線性特征值參數(shù)k的二乘二矩陣值算子。而本文則是只有一個(gè)線性邊界積分方程,也非線性依賴于特征值參數(shù)k,很大程度上減少了計(jì)算量。
本文的目的是從傳輸特征值的表征形式推導(dǎo)積分方程,因此根據(jù)方程組(1)~(4),定義Robin-Dirichlet 算子:
其中η>0;根據(jù)格林積分定理可知,Re(k) >0,Im(k) ≥0(如果Im(k) <0,則可以在阻抗條件中用η<0代替)。
引理1k是對(duì)應(yīng)于方程組(1)~(4)的傳輸特征值當(dāng)且僅當(dāng)算子
的核是非平凡的。進(jìn)一步,如果(Rk,1-Rk,n)φ= 0,那么傳輸特征值函數(shù)w,v,即方程組(1)~(4)的非平凡解是方程組(6)~(7)中任意折射率n和特殊折射率n= 1的解。
由式(7)和式(10)可知,
將式(12)代入式(11),可得
因此,Robin-Dirichlet 算子以及方程組(6)~(7)與方程組(1)~(4)是等價(jià)的,進(jìn)而可以利用Robin-Dirichlet算子以及方程組(6)~(7)去考慮傳輸特征值問題,得證。
其中“低于基本生活水平”和“窮盡其他幫助”兩項(xiàng)要件源于對(duì)法律規(guī)范的解釋,并通過政策文件的細(xì)化填充了豐富的內(nèi)容,“值得救助”源于中央與地方政策文件的內(nèi)容??梢?,與公法上其他權(quán)利多以法律規(guī)范為根基,輔之以適當(dāng)?shù)恼呓忉尣煌?,社?huì)救助權(quán)從要件解釋到要件構(gòu)造都明顯地依賴于政策的作用,而此時(shí)的法律規(guī)范更像是一幅未完成的畫作,填充顏色或是補(bǔ)充空白均需政策予以完成。就此意義上,我國當(dāng)下的社會(huì)救助權(quán)具有強(qiáng)烈的政策意味,“法味”不足,呈現(xiàn)出以下特點(diǎn):
為了用邊界積分算子來表示Robin-Dirichlet 算子,引入單層勢(shì)算子Sk:
其中
于是得到
其中w∈H2(D),使得w=τ且?w/?νA= 0.
根據(jù)Robin問題:
的唯一性,在k= i和η= i的情況下,引理3同樣成立。
通過以上分析,可以用邊界積分算子表示Robin-Dirichlet算子,即:
進(jìn)一步分析Robin-Dirichlet算子關(guān)于k,kn的差:
于是,有以下正則性結(jié)論。
引理4 線性算子
將式(20)化為
證明 對(duì)任意u,v∈H2(D),有
其中任意u∈H2(D),存在常數(shù)c?>0.
進(jìn)一步得到
因此,得到邊界條件
這里令v=uˉ,將式(27)~(30)代入式(25),有
并且有
其中F(u,ui) ∈L2(D),且