兩點弦方程在拋物線中的應(yīng)用

傅立明

[摘? 要] 文章以2021年全國乙卷理科第21題為例，運(yùn)用兩點弦方程，快速寫出直線方程，便于發(fā)現(xiàn)同構(gòu)式，化解拋物線問題的難點，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解拋物線與方程的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 拋物線;兩點弦方程;同構(gòu)

拋物線是新高考考查的重點，也是難點，它考查綜合能力，涵蓋知識面廣，常與向量、三角、函數(shù)等知識結(jié)合，通常計算量非常大. 筆者認(rèn)為，要很好地解決拋物線問題，必須先對拋物線相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行充分挖掘和分析，只有選擇好性質(zhì)和計算源頭才能輕松運(yùn)算. 文章從2021年全國乙卷理科第21題的解析出發(fā)，談一下兩點弦方程在拋物線中的作用.

[?] 試題呈現(xiàn)

（2021年全國乙卷理科第21題）已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.

（1）求p;

（2）若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值.

分析：（1）略;

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出直線PA，PB的方程，進(jìn)一步求得直線AB的方程，然后聯(lián)立直線AB的方程與拋物線的方程，求出AB以及點P到直線AB的距離，利用三角形的面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得△PAB面積的最大值.

這種方法需要進(jìn)行大量的運(yùn)算與變形，計算量較大且煩瑣.而通過設(shè)點P的坐標(biāo)，利用切點弦方程寫出直線AB的方程，再設(shè)點A，B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點弦方程快速地找到點A，B的坐標(biāo)與點P的坐標(biāo)的關(guān)系，可以大大提高解題速度，能起到事半功倍的效果.

[?] 拋物線的兩點弦方程

拋物線的兩點弦方程是在切點弦方程和切線方程基礎(chǔ)上總結(jié)歸納而來的，其發(fā)現(xiàn)過程體現(xiàn)了新高考中最常見的同構(gòu)思想. 在此以拋物線y2=2px（p>0）為例推導(dǎo)其兩點弦方程（拋物線x2=2py（p>0）通過類比即可推導(dǎo)）.

探究1：拋物線y2=2px的切線方程.

當(dāng)y>0時，設(shè)y=f（x）=，y=;f′（x）=，f′（x）==;切線方程為y-y=（x-x），即yy-y=p（x-x）. 因為y=2px，所以切線方程為yy=p（x+x）. 同理，當(dāng)y<0時，切線方程為yy=p（x+x）. 同理，拋物線x2=2py（p>0）的切線方程為xx=p（y+y）. 為了方便記憶，可以簡單地記為“代一留一”.

探究2：拋物線y2=2px（p>0）的切點弦方程.

求切線方程，必須要知道切點的坐標(biāo)，如果過拋物線外一點P作切線，我們能得到切點弦方程.

設(shè)P（m，n），切點M（x，y），N（x，y），直線PM的方程為yy=p（x+x），將P（m，n）代入方程得yn=p（m+x）①;直線PN的直線方程為yy=p（x+x），將P（m，n）代入方程得yn=p（m+x）②.

我們發(fā)現(xiàn)①②兩個式子同構(gòu)，由此得到M（x，y），N（x，y）是方程ny=p（m+x）的兩解，所以直線MN的方程為ny=p（x+m），稱為切點弦方程.同理，拋物線x2=2py（p>0）的切點弦方程為nx=p（y+m）. 為了方便記憶，可以簡單地記為“代一留一”.

探究3：拋物線y2=2px（p>0）的兩點弦方程.

切點弦是特殊的弦，交點必須是切點，那么拋物線上任意兩點所在直線的方程是什么？再來研究一下探究2中的切點.

設(shè)P（m，n），切點M（x，y），N（x，y），由探究1和探究2可知，直線PN的方程為yy=p（x+x）①，直線PM的方程為yy=p（x+x）②，直線MN的方程為ny=p（x+m）. 聯(lián)立①②，得直線PN與直線PM的交點坐標(biāo)P

，

. 此時，直線MN的方程為y=p

+x

，即2px-（y+y）y+yy=0.

由此，我們發(fā)現(xiàn)雖然M，N是兩個切點，但是直線MN的方程與P的坐標(biāo)沒有關(guān)系，因此，我們可以認(rèn)為只要知道弦的兩個端點的坐標(biāo)就可以將弦所在直線的方程寫出來. 推導(dǎo)過程如下：

設(shè)M（x，y），N（x，y），將點M的坐標(biāo)代入拋物線方程得y=2px，即2px-y=0，即2px-y-yy+yy=0，即2px-y（y+y）+yy=0①. 同理，將點N的坐標(biāo)代入拋物線方程，得2px-y（y+y）+yy=0②.

由①②兩個式子同構(gòu)，得直線MN的方程為2px-（y+y）y+yy=0，稱為拋物線的兩點弦方程. 同理，拋物線x2=2py（p>0）的兩點弦方程為2py-（x+x）x+xx=0.

[?] 兩點弦方程的應(yīng)用

例1 2021年全國乙卷理科第21題（見“試題呈現(xiàn)”）.

解：（1）F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為+3=4，所以p=2.

（2）拋物線x2=4y，設(shè)A（x，y），B（x，y），P（x0，y0）. 由拋物線的兩點弦方程得l：4y-（x+x）x+xx=0，由拋物線的切線方程得xx=2（y1+y0）①，xx=2（y2+y0）②. 由①②兩個式子同構(gòu)可得l：xx=2（y+y），即l：2y-xx+2y=0. 所以

x

+x

=2x，

x

x

=4y，所以AB=·=·=·;又d=，所以S=·AB·d=·x

-4y·=（-y-12y-15）. 而y∈[-5，-3]，當(dāng)y=-5時，S達(dá)到最大，最大值為20.

評注：利用切點弦方程和兩點弦方程以及三角形的面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得△PAB面積的最大值，起到了事半功倍的效果.

例2 （八省聯(lián)考）已知拋物線y2=2px上三點A（2，2），B，C，直線AB，AC是圓（x-2）2+y2=1的兩條切線，求直線BC的方程.

解：設(shè)B（x，y），C（x，y），由兩點弦方程得l：2x-（2+y）y+2y=0，l：2x-（2+y）y+2y=0.因為直線AB與圓相切，所以=1，得3y+12y+8=0;同理，3y+12y+8=0. 故y，y是方程3y2+12y+8=0的兩個根，所以y+y=-4，yy=. 又由兩點弦方程得l：2x-（y+y）y+yy=0，所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.

評注：本題通過兩點弦方程可以直接將直線AB、直線AC、直線BC的方程寫出來，然后根據(jù)題設(shè)條件找出這三條直線方程滿足的關(guān)系式，準(zhǔn)確而迅速地完成本題的求解.

例3 （湖北八校聯(lián)考）拋物線y2=2x，定點C（4，2），D（-4，0），M是拋物線上一動點，設(shè)直線CM，DM與拋物線的另一個交點分別為E，F(xiàn). 求證：當(dāng)M點在拋物線上變動時（只要E，F(xiàn)存在且不重合），直線EF恒過一個定點，并求出這個定點的坐標(biāo).

解：設(shè)M（x，y），F(xiàn)（x，y），E（x，y）. 由兩點弦方程得l：2x-（y+y）y+yy=0①，l：2x-（y+y）y+yy=0②，l：2x-（y+y）y+yy=0. 將點C的坐標(biāo)代入方程②，得8-2（y+y）+yy=0③;將點D的坐標(biāo)代入方程①，得-8+yy=0，即y=. 將y=代入式子③，得8-4（y+y）+yy=0，所以直線EF恒過定點（4，4）.

評注：本題的一般解法是，設(shè)直線DM的方程為x=ty-4，直線CM的方程為x=t（y-2）+4，M

，y

，F(xiàn)（x，y），E（x，y）. 聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，得E

，

，k=，直線EF的方程為y=x+，定點為（4，4）. 這樣做計算量較大，而利用兩點弦方程可以直接寫出直線方程，這樣便于發(fā)現(xiàn)同構(gòu)式，能快速找到變量之間的關(guān)系，可以將考生從復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算中解放出來.

[?] 結(jié)束語

兩點弦方程能避免煩瑣的計算，筆者也是從高考題中發(fā)現(xiàn)可以用兩點弦方程來處理拋物線問題的，如果掌握了它可以很快地找到解決問題的根源. 當(dāng)然，拋物線的結(jié)論有很多，所以教師在教學(xué)中應(yīng)予關(guān)注，對拋物線的性質(zhì)進(jìn)行分類、歸納與剖析， 培養(yǎng)學(xué)生思維能力， 提高學(xué)習(xí)效率.