姜其暢,張存,蘇艷麗,孫悅,馬紫微

(運城學(xué)院物理與電子工程系,山西 運城 044000)

0 引言

激光自誕生之日起就受到人們的廣泛關(guān)注,科研人員針對激光的強度特性、頻率特性、空間分布特性做了大量的研究。一般激光器產(chǎn)生的激光在空間上呈現(xiàn)高斯函數(shù)分布,稱之為高斯光束,是人們研究激光相關(guān)特性常常采用的研究對象。但是高斯光束自身所具有的中心光強大、邊緣光強弱的強度分布,在材料加工、核聚變技術(shù)、生物醫(yī)療等方面會產(chǎn)生某些不利于應(yīng)用的效應(yīng),所以人們設(shè)計了一種在一定范圍內(nèi)呈現(xiàn)強度均勻分布的特殊光束,即平頂光束。目前,產(chǎn)生平頂光束的方法比較多,最常見的是光束整形方法,而光束整形又分為腔內(nèi)設(shè)計和腔外整形,如非球面透鏡法、雙折射透鏡組法、微透鏡陣列整型法、衍射光學(xué)元件整型法、液晶空間光調(diào)制器整型法等[1-3]。同時,研究平頂光束的理論模型也有多個,包括超高斯光束模型[4]、平頂高斯光束模型[5]、費米-狄拉克光束模型[6]、平頂洛倫茲光束模型[7]和低階高斯光束疊加模型[8]等等。

近年來,研究人員對平頂光束的產(chǎn)生和傳輸特性有了一些新的研究[9-11],分析了傳輸軸線上的焦點相對于幾何焦點的偏移情況,但是關(guān)于傳輸過程的分析(尤其是同一平頂光束模型在不同光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸特性分析)還不夠充分。本文對超高斯光束、平頂高斯光束和低階高斯光束疊加等模型做了系統(tǒng)分析,并著重以平頂高斯光束為例,分析其在自由空間、單透鏡系統(tǒng)和復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸特性。

1 平頂光束的相關(guān)模型

1.1 超高斯光束

關(guān)于平頂光束的理論模型,最早的是Silvestri等[4]在1988年建立的超高斯光束模型,此模型中采用直角坐標(biāo)系,超高斯光束的二維和三維形式分別表示為

式中:E0是光束的振幅常數(shù);ω是光束的束腰半徑;N為超高斯光束的階數(shù),一般為偶數(shù)。為簡單起見,這里的坐標(biāo)參數(shù)和束腰半徑參數(shù)均已無量綱化處理。超高斯光束的表達(dá)式非常簡潔,但是在研究平頂光束的傳輸特性時不利于進(jìn)行解析分析,需要借助數(shù)值方法。圖1是超高斯光束在不同階數(shù)下的二維圖形,其中ω=1,縱坐標(biāo)光強已歸一化處理。由圖可見N=2時,超高斯光束就退化為一般高斯光束,隨著階數(shù)的逐漸增大,平頂特性越來越明顯。圖2是N=12、ω=2所對應(yīng)的超高斯光束三維立體圖形和相應(yīng)的二維投影圖。

圖1 不同階數(shù)下的超高斯光束Fig.1 Super-Gaussian beams at different orders

圖2 超高斯光束三維立體圖(a)和投影圖(b)Fig.2 The three-dimensional stereogram(a)and projection drawing(b)of super-Gaussian beams

1.2 平頂高斯光束

為了克服超高斯光束模型的不足,Gori[5]在1994年提出了平頂高斯光束模型,將平頂光束看成是多光束合成的結(jié)果。平頂高斯光束的數(shù)學(xué)形式比超高斯光束的形式復(fù)雜,但是平頂高斯光束模型有利于研究平頂光束的傳輸特性,后文研究傳輸特性時采用的即為平頂高斯光束模型。平頂高斯光束模型又分為原始形式和改進(jìn)形式,可分別表示為

當(dāng)光束階數(shù)N=0時,兩種形式都退化為高斯光束。取束腰半徑參數(shù)ω=2,階數(shù)N=2、6、10,可以得到平頂高斯光束的二維圖形,如圖3所示,其中圖3(a)是原始形式的圖形,圖3(b)是改進(jìn)形式的圖形。由圖可見,改進(jìn)后的平頂高斯光束束腰寬度隨階數(shù)N的變化不大,是研究人員經(jīng)常采用的形式。

圖3 平頂高斯光束的二維強度包絡(luò)。(a)原始形式;(b)改進(jìn)形式Fig.3 Two-dimensional intensity profiles of flattened Gaussian beams.(a)Original form;(b)Improved form

對(4)式所表示的常用形式進(jìn)行擴展,得到三維平頂高斯光束的分離形式和圓域形式,可分別表示為

(5)式中N、M分別是平頂高斯光束在x、y方向的階數(shù);ωx、ωy分別是平頂高斯光束在x、y方向的束腰半徑。選擇合適的束腰半徑和階數(shù)參數(shù)組合,就可以得到特殊形式的平頂光束,圖4是不同參數(shù)組合下的平頂高斯光束圖形。其中圖4(a)、(b)分別為x、y方向的束腰半徑參數(shù)、階數(shù)分別相等,即ωx=ωy=2、N=M=10時的三維立體圖和對應(yīng)的二維投影圖,此時,平頂高斯光束如一正方形的城堡。圖4(c)、(d)中束腰半徑參數(shù)和階數(shù)分別為ωx=2、ωy=1、N=10、M=4,此時平頂光束如一長方體。如果采用圓域公式(6),取ω=2、r=2、N=10,可以得到圖4(e)、(f)。可見,通過選擇不同參數(shù)組合可以控制平頂部分的形狀及面積大小。

圖4 不同參數(shù)組合下平頂高斯光束的立體圖和投影圖。(a),(b)ωx=ωy=2,N=M=10;(c),(d)ωx=2,ωy=1,N=10,M=4;(e),(f)ω =2,r=1,N=10Fig.4 The stereogram and projection drawing of flattened Gaussian beams under different parameter combination.(a),(b)ωx= ωy=2,N=M=10;(c),(d)ωx=2,ωy=1,N=10,M=4;(e),(f)ω =2,r=1,N=10

1.3 低階高斯光束疊加模型

2002年,Li[8]提出平頂光束可以由多個低階高斯模式疊加而成,在疊加模式滿足平頂光束性質(zhì)的限制下,最終給出了此模型下平頂光束的表達(dá)式

式中光束階數(shù)N主要表征疊加的函數(shù)個數(shù)。當(dāng)N=1時,(7)式退化成高斯光束;當(dāng)N＞1時,就可以構(gòu)造出各類型的平頂光束。圖5(a)是此模型下ω=2、階數(shù)N取不同值的情況,可以看到,隨著疊加函數(shù)個數(shù)的增加,平頂特性越來越明顯。這一模型下,當(dāng)階數(shù)N＜1時,會出現(xiàn)三角形強度包絡(luò)和尖峰強度包絡(luò),如圖5(b)所示。圖6是圖5中階數(shù)分別為N=6和N=0.5情況下的三維立體圖。

圖5 低階高斯光束疊加模型下的二維光束強度包絡(luò)。(a)N＞1;(b)N≤1Fig.5 The two-dimensional intensity profiles in low-order Gaussian beams overlay model.(a)N＞1;(b)N≤1

圖6 低階高斯光束疊加模型下的三維立體圖。(a)N=6;(b)N=0.5Fig.6 The three-dimensional stereogram in low-order Gaussian beams overlay model.(a)N=6;(b)N=0.5

2 平頂光束的傳輸特性

以平頂高斯光束的常用形式為例,分析平頂高斯光束在自由空間、單透鏡系統(tǒng)和復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸特性。

首先,借助柯林斯公式研究平頂高斯光束在自由空間和單透鏡系統(tǒng)中的傳輸。按照常用的處理方法,自由空間或者單透鏡系統(tǒng)采用ABCD矩陣系統(tǒng)表示。其中自由空間的傳輸矩陣表示為

單透鏡系統(tǒng)的傳輸矩陣表示為

在上述傳輸系統(tǒng)中,假定透鏡置于傳輸距離z=0處,透鏡后面的傳輸距離為任意z值。

光束通過ABCD矩陣系統(tǒng)的傳輸由柯林斯公式處理[12]

式中:x1、x2分別為入射和出射光場的橫向坐標(biāo),λ為波長,k=2π/λ為波數(shù)。入射光束采用(4)式描述的形式,經(jīng)過繁瑣的運算化簡后,平頂高斯光束通過ABCD矩陣系統(tǒng)后的表達(dá)式為

對自由空間系統(tǒng)而言,傳輸矩陣采用(8)式,上述坐標(biāo)都認(rèn)為是歸一化的坐標(biāo),光強是任意單位,階數(shù)N=10,ω=1?？梢缘玫狡巾敻咚构馐膫鬏斕匦匀鐖D7所示,由圖可見:隨著傳輸距離的增加,在自然衍射效應(yīng)的影響下平頂部分首先凹陷形成兩個側(cè)峰,類似于典型的衍射環(huán)[5];然后兩個側(cè)峰逐漸向中間靠攏演變?yōu)橐粋€峰,最后保持較長傳輸距離的類高斯光束分布。此處,傳輸距離也已經(jīng)無量綱化處理,圖中的傳輸距離對應(yīng)實際的毫米量級。

圖7 平頂高斯光束在自由空間中的傳輸Fig.7 Propagation of flattened Gaussian beams in free space

如果考慮簡單的單個透鏡系統(tǒng),傳輸矩陣采用(9)式,假設(shè)透鏡置于傳輸距離z=0處,從透鏡前表面入射的平頂光束在透鏡后任意距離z處的傳輸情況如圖8所示,其中f=200,N=10,ω=1。由圖可見:相比于自由空間,在單透鏡系統(tǒng)中,透鏡的聚焦作用使得平頂光束在焦點處呈現(xiàn)強聚焦效應(yīng),最大光強為初始光強的37倍左右,焦點之后逐漸恢復(fù)平頂分布而不是類高斯分布;在3倍焦距處光強幾乎減半,半峰全寬幾乎增加一倍。

圖8 單透鏡系統(tǒng)中平頂高斯光束的傳輸。(a)z=0;(b)z=100;(c)z=150;(d)z=200;(e)z=250;(f)z=300;(g)z=400;(h)z=500;(i)z=600Fig.8 Propagation of flattened Gaussian beams in single lens system.(a)z=0;(b)z=100;(c)z=150;(d)z=200;(e)z=250;(f)z=300;(g)z=400;(h)z=500;(i)z=600

最后分析平頂高斯光束在復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸。為簡單起見,直接采用參考文獻(xiàn)[9]中的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)。系統(tǒng)中光闌上下縫隙為2a,從光闌到透鏡的距離為s,透鏡的焦距為f,透鏡后焦點到出射面的距離為Δz,即透鏡后焦點位置處為z=0,光闌-透鏡組成的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)所對應(yīng)的ABCD傳輸矩陣為

圖9是平頂高斯光束通過上述復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)后的傳輸情況,其中相關(guān)參數(shù)分別為2a=2、f=200、s=250、N=10、ω=1,這里光闌參數(shù)的取值是為了體現(xiàn)光闌的作用,同時又不損耗過多能量。由圖可見:對于光闌-透鏡構(gòu)成的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng),由于光闌的限制,相比于單個透鏡系統(tǒng),光束形變加劇,尤其是在焦點[圖9(c)]之后,光束凹陷加劇,在傳輸相當(dāng)長的距離內(nèi)均沒有恢復(fù)平頂分布,說明在平頂光束的光路中應(yīng)當(dāng)盡量避免光闌元件的干擾。

圖9 復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)中平頂高斯光束的傳輸。(a)z=-100;(b)z=-50;(c)z=0;(d)z=50;(e)z=100;(f)z=150;(g)z=200;(h)z=300;(i)z=400Fig.9 Propagation of flattened Gaussian beams in complex optical system.(a)z=-100;(b)z=-50;(c)z=0;(d)z=50;(e)z=100;(f)z=150;(g)z=200;(h)z=300;(i)z=400

3 結(jié)論

系統(tǒng)分析了超高斯光束、平頂高斯光束和低階高斯光束疊加三類平頂光束模型的基本情況,并以平頂高斯光束為例,對比了其在自由空間、單透鏡系統(tǒng)和復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸特性。所得結(jié)果對理解平頂光束的特性、分析平頂光束在不同光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸具有一定的借鑒意義。