一橋橫跨南北，“曲直”變通途

杭仁禮 張毅

[摘? 要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中對數(shù)學(xué)文化給予了高度重視，強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)文化在科學(xué)技術(shù)和人類社會發(fā)展中所起到的重要作用，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)和文化價值. 文章主要論述了如何利用祖暅原理將求解旋轉(zhuǎn)體和多面體體積達(dá)到完美柔和.

[關(guān)鍵詞] 祖暅原理;多面體;旋轉(zhuǎn)體

初遇問題

在備課過程中，筆者提出：能否構(gòu)造一個完整的幾何體可以直接求得球的體積呢？鑒于球是高度對稱的幾何體，起初筆者設(shè)想構(gòu)造一個正四面體ABCD，棱長為a.

如果想要利用祖暅原理，構(gòu)造的幾何體必須滿足三個條件：

①構(gòu)造的幾何體與球等高;

②構(gòu)造的幾何體與球的體積相等;

③將構(gòu)造的幾何體與球放置在同一水平面，用平行于水平面的平面去截幾何體和球，得到的截面積處處相等.

于是構(gòu)造一個正四面體ABCD，如圖1所示，棱長為a，取AC，BD中點(diǎn)E，F(xiàn). 連接EF，則EF⊥AC，EF⊥BD.

不符合條件②，所以構(gòu)造的正四面體ABCD不符合要求.

改進(jìn)設(shè)計

如此，筆者便實(shí)現(xiàn)了構(gòu)造一個多面體、一次性求得球的體積的設(shè)想，那么，這樣的結(jié)論能否加以推廣呢？

推廣結(jié)論

1. 求橢球（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體）的體積

方法1：推廣課本的方法，構(gòu)造幾何體（將圓柱挖去同底等高的倒置圓錐得到的幾何體）.

為此，構(gòu)造底面半徑為b，高為a的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱右底面為底面，左底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐（如圖7所示），把所得的幾何體與半橢球放在同一個豎平面上.

方法2：構(gòu)造四面體，一次性完整推導(dǎo)橢球的體積.

構(gòu)造四面體ABCD，使得AC=BD=m，其余棱長都為n.

上述都是封閉曲線所得的旋轉(zhuǎn)幾何體，如果是半開放曲線繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體，又該如何求解其體積呢？

2.構(gòu)造三棱柱，求解拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積

已知拋物線y=x2（0≤y≤m），繞y軸旋轉(zhuǎn)得到幾何體Z，求該幾何體的體積.

祖暅原理的內(nèi)容淺顯易懂，只要能構(gòu)造出可求體積的幾何體，就能求出所需求的幾何體的體積.中華數(shù)學(xué)文化博大精深、資源豐富，筆者只是從構(gòu)造多面體的角度求解論證了一些常見的旋轉(zhuǎn)體的體積，在教學(xué)過程中就感悟到了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的歷史自豪感. 這一原理的深化，便是現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)微積分思想.