杜玉琴，孫 超，崔建新

(1.中國社會科學院大學 經(jīng)濟學院，北京 102488；2.中國傳媒大學 數(shù)據(jù)科學與智能媒體學院，北京 100024；3.中鐵投資集團有限公司，北京 100039)

由于社會環(huán)境的不確定性以及實際問題的復(fù)雜性和可變性，通常無法用明晰的數(shù)字來表示屬性值，尤其是定性屬性值。為了解決這個問題，Zadeh[1]提出了模糊集的概念，隨后Atanassov[2]提出了直覺模糊集(Intuitionistic Fuzzy Sets, IFS)，它同時評估決策問題中支持和反對的替代方案。2013年，Yager等[3]給出了Pythagorean模糊集(Pythagorean Fuzzy Sets, PFS)的定義，其隸屬度μ和非隸屬度v之和可以大于1，并且滿足條件0≤u2+v2≤1。與IFS相比，PFS的應(yīng)用范圍更廣，PFS可以解決IFS無法解決的一些決策問題。之后，許多學者將PFS進一步擴展來解決多屬性群決策問題[4-6]。

2017年，Yager[7]在IFS和PFS的基礎(chǔ)上，結(jié)合文獻[8-10]提出了q-階正交模糊集(q-Rung Orthopair Fuzzy sets,q-ROF)的概念，其隸屬度μ的q次冪和非隸屬度v的q次冪之和要求小于等于1，即0≤uq+vq≤1。由于IFS和PFS都是q-ROF的特例，因此q-ROF在處理不確定信息等方面比IFS和PFS更具靈活性，更具有一般性，從而引起了國內(nèi)外一些學者的關(guān)注。Liu等[11]定義了q-階正交模糊加權(quán)平均(q-Rung Orthopair Fuzzy Weighted Average,q-ROFWA)算子和q-階正交模糊加權(quán)幾何(q-Rung Orthopair Fuzzy Weighted Geometry,q-ROFWG)算子。Liu等[12]將Bonferroni平均(Bonferroni Mean, BM)算子與q-階正交模糊數(shù)(q-Rung Orthopair Fuzzy Numbers,q-ROFNs)相結(jié)合，提出了q-階正交模糊BM(q-Rung Orthopair Fuzzy Bonferroni Mean,q-ROFBM)算子和q-階正交模糊幾何BM算子。Wang等[13]提出了q-階正交區(qū)間模糊信息的多屬性群決策方法，并將其應(yīng)用于綠色供應(yīng)商選擇問題。Xing等[14]提出了一些q-階正交模糊點加權(quán)集成算子，并將其用于解決多屬性決策問題。

算子集成理論是模糊集理論中的一個重要組成部分，研究信息算子集成問題[15]具有一定的理論價值。由于Einstein T模和Einstein S模[16]是代數(shù)T模和S模的一種推廣，應(yīng)用更廣泛，Zhang[17]定義了擬直覺模糊Einstein混合加權(quán)平均算子和擬直覺模糊Einstein混合加權(quán)幾何平均算子。Yu等[18]提出了猶豫的模糊Einstein集成算子并將其應(yīng)用到實際問題中。Liu等[19]提出了幾種直覺不確定語言模糊powered Einstein信息集成算子。Garg[20]將Einstein T模和S模推廣到了Pythagorean模糊環(huán)境中，定義了Pythagorean模糊Einstein加權(quán)平均(Pythagorean Fuzzy Einstein Weighted Average, PFEWA)算子。目前，對Einstein算子在q-階正交模糊環(huán)境下的應(yīng)用的研究尚處于起步階段，Einstein算子在多屬性群決策的應(yīng)用還很少見。

隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，科學技術(shù)的進步，人們生活所處環(huán)境越來越復(fù)雜，不確定性因素逐漸增加。q-階正交模糊集涵蓋了直覺模糊集、Pythagorean模糊集，相對于直覺模糊集和Pythagorean模糊集而言，q-階正交模糊集的約束條件更寬，決策者具有更為靈活的應(yīng)用空間，信息失誤范圍會更小，q-階正交模糊集能夠更好地詮釋人們對客觀不確定性事物描述的慣性思維。目前q-階正交模糊集被應(yīng)用于供應(yīng)鏈、風險投資、模式識別等領(lǐng)域，同時，其也成為了決策領(lǐng)域的一個重點研究方向。

由于q-階正交區(qū)間模糊變量[7]可以更客觀、更準確地表達客觀世界的不確定性和模糊性，因此，本文在q-階正交區(qū)間模糊集和文獻[21]的基礎(chǔ)上，研究了q-階正交區(qū)間模糊環(huán)境下的Einstein信息算子的應(yīng)用問題，并將其應(yīng)用到高校教育教學優(yōu)劣評估的多屬性決策的問題中，同時驗證了所提方法的實用性和正確性。

1 預(yù)備知識

(1)

αj的精確值函數(shù)H(αj)定義為

(2)

定義3[13]令α1和α2為任意兩個q-階正交區(qū)間模糊變量，則q-階正交區(qū)間模糊變量的排序方法可定義如下:

1) 如果E(α1)>E(α2)，那么，α1>α2;

2) 如果E(α1)=E(α2)，那么，若H(α1)>H(α2),則α1>α2;若H(α1)=H(α2)，則α1=α2。

定義4[16]Enistein T模和S模的表達形式如下:

式中:x,y∈[0,1]。

2 q-階正交區(qū)間模糊環(huán)境下Enistein信息集成算子的運算規(guī)則

根據(jù)q-階正交區(qū)間模糊變量和Enistein T模和S模的定義，下面定義了q-階正交區(qū)間模糊環(huán)境下Enistein信息集成算子的運算規(guī)則。

容易證明上述幾種計算結(jié)果仍為q-階正交區(qū)間模糊變量。

定義6設(shè)αi和αj為兩個q-階正交區(qū)間模糊變量，k,ki,kj≥0，則有如下運算規(guī)則:

1)αi⊕αj=αj⊕αi；2)αi?αj=αj?αi；3)k(αi⊕αj)=kαi⊕kαj；4) (ki⊕kj)αi=kiαi⊕kjαi；

結(jié)論易證，此處省略。

3 q-階正交區(qū)間模糊Enistein信息集成算子

根據(jù)q-階正交區(qū)間模糊Enistein信息集成算子的運算規(guī)則，下面定義兩種q-階正交區(qū)間模糊Enistein信息集成算子。

定義7設(shè)αj(j=1,2,…,n)是一組q-階正交區(qū)間模糊變量，則q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均(q-Rung Interval-Valued Orthopair Fuzzy Einstein Weighted Average,q-RIVOFEWA)算子可定義如下，且有

q-RIVOFEWA:Ωn→Ω，

(3)

q-RIVOFEWA(α1,α2,…,αn)=a。

證明比較容易，略。

則有

即有

根據(jù)定義2和定義3可得

證畢。

定理3(單調(diào)性)設(shè)αj，α′j(j=1,2,…,n)是兩組q-階正交區(qū)間模糊變量，對所有的j，均有αj≤α′j，那么

q-RIVOFEWA(α1,α2,…,αn)≤q-RIVOFEWA(α′1,α′2,…,α′n)。

與有界性證明類似，此處省略。

定義8設(shè)αj(j=1,2,…,n)是一組q-階正交區(qū)間模糊變量，那么q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)幾何平均(q-Rung Interval-Valued Orthopair Fuzzy Einstein Weighted Geometry,q-RIVOFEWG)算子可定義如下，且有

q-RIVOFEWG:Ωn→Ω，

(4)

顯然，與q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均算子(q-RIVOFEWA)類似，q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)幾何平均算子(q-RIVOFEWG)也同樣具有界性、冪等性、單調(diào)性等性質(zhì)。

有時雖然獲得了屬性的位置權(quán)重，但卻很難獲得其權(quán)重信息，上述集成算子無法解決這種問題。針對此種情形，我們定義了有序加權(quán)信息集成算子。

q-RIVOFEOWA:Ωn→Ω，

式中:sσ(j)為sj(s=u,v;j=1,2,…,n)中第j大的元素；Ω為所有q-階正交區(qū)間模糊變量的集合。

與q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均(q-RIVOFEWA)算子類似，q-階正交區(qū)間模糊Enistein有序加權(quán)算術(shù)平均(q-RIVOFEWA)算子同樣具有界性、冪等性、單調(diào)性等性質(zhì)。

q-RIVOFEOWG:Ωn→Ω，

式中:sσ(j)為sj(s=u,v;j=1,2,…,n)中第j大的元素；Ω為所有q-階正交區(qū)間模糊變量的集合。

4 q-階正交區(qū)間模糊Enistein集成算子在決策中的應(yīng)用

步驟1 運用q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均算子(q-RIVOFEWA)或q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)幾何平均算子(q-RIVOFEWG)對R=[αij]m×n中的第i行進行集成，并求方案Ai的屬性值αi:

或

步驟2 計算Ai(i=1,2,…,m)方案的期望函數(shù)E(Ai)，若出現(xiàn)E(Ai)=E(Ai′)(i≠i′)，根據(jù)定義2，則需要進一步計算Ai(i=1,2,…,m)方案的精確函數(shù)H(Ai)(i=1,2,…,m)。

步驟3 根據(jù)定義3，選出最佳方案。

由于q-階正交區(qū)間模糊集比直覺模糊集和Pythagorean模糊集應(yīng)用范圍更廣，而Enistein T模和S模不僅可以進行運算，而且比代數(shù)運算更靈活，效果更好，本節(jié)基于q-階正交區(qū)間模糊集和Enistein算子，提出了基于q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均算子和q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)幾何平均算子的兩種多屬性決策方法，這兩種方法可以處理更復(fù)雜的信息，專家或決策者可以根據(jù)自身的興趣和實際需求，來選擇適當?shù)膓的值,在應(yīng)用上具有一定的方便性和靈活性。

5 示 例

某教育部門對當?shù)氐?個學校{A1,A2,A3,A4}進行教學評估，從以下方面進行考核: 教學運行與監(jiān)控C1；教育質(zhì)量與成果C2；專業(yè)建設(shè)C3；社會評價C4。這4個方面的屬性權(quán)重為w=(0.25,0.30,0.30,0.15)。專家運用q-階正交區(qū)間模糊集給出各個學校的評價值R=[αij]m×n，見表1。請根據(jù)評估結(jié)果對上述4個學校進行優(yōu)劣排序。

表1 4個學校的評價值

下面研究當q=3時4個學校的優(yōu)劣排序情況。

方法1 運用q-RIVOFEWA算子。

步驟1 根據(jù)式(5)，利用q-RIVOFEWA算子對矩陣R=[αij]m×n中的第i行進行集成，得到Ai的屬性值αi。

步驟2 由定義2可以計算出αi的期望值:

E(α1)=0.445,E(α2)=0.373,E(α3)=0.343,E(α4)=0.420。

步驟3 根據(jù)定義3,對方案Ai(i=1,2,3,4)進行排序，其中得分函數(shù)s(Ai)=E(αi)，得A1?A4?A2?A3，可知A1為最佳選擇方案。

方法2 運用q-RIVOFEWG算子，得出的結(jié)論和方法1相同，此處省略。

我們通過分別改變q-RIVOFEWA算子和q-RIVOFEWG算子中q的值來描述參數(shù)對排序結(jié)果的影響，見表2和表3。

表2 根據(jù)不同的q值運用q-RIVOFEWA算子對方案Ai進行優(yōu)劣排序

表3 根據(jù)不同的q值運用q-RIVOFEWG算子對方案Ai進行優(yōu)劣排序

由表2和表3可知，基于q-RIVOFEWA算子和q-RIVOFEWG算子的群決策方法，隨著q由1增加到12，示例中顯示的排序結(jié)果趨于穩(wěn)定，用兩種不同的決策方法得出的最終結(jié)果是一致的，A1的評估分數(shù)最高，即A1為最佳選擇方案。

為了更好地闡述文中所提方法的正確性和實用性，下面分別運用現(xiàn)有的幾種決策方法對示例進行求解:

1) 基于區(qū)間直覺模糊加權(quán)算術(shù)平均(Interval-Valued Intuitionistic Fuzzy Weighted Average, IVIFWA)算子和區(qū)間直覺模糊加權(quán)幾何平均(Interval-Valued Intuitionistic Fuzzy Weighted Geometry, IVIFWG)算子[22]的群決策方法進行計算，所得結(jié)果如表4所示。

表4 基于IVIFWA算子和IVIFWG算子的決策方法求解的結(jié)果

2) 運用優(yōu)劣解距離(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution, TOPSIS)方法[23]，對上述例題求其貼進度，可求得上述多屬性群決策問題的優(yōu)劣排序為A1?A4?A2?A3，即A1為最優(yōu)方案。

從排序結(jié)果來分析，基于IVIFWA算子和IVIFWG算子的方法與運用TOPSIS方法所得的結(jié)論一致，即A1為最優(yōu)方案。這與我們基于q-RIVOFEWA算子的評價方法和基于q-RIVOFEWG算子的評價方法的結(jié)論相同。

通過與其他兩種方法的比較，本文提出的決策方法具有以下的優(yōu)點:

1) 第1種方法運用區(qū)間直覺模糊集來處理決策問題，由于此模糊集具有一定的局限性，無法解決隸屬度與非隸屬度之和大于1的情形，本文運用的q-階正交區(qū)間模糊集是區(qū)間直覺模糊集的推廣，能更好地處理此類問題，并且可以根據(jù)決策者偏好，適當選擇q的取值來研究決策問題。

2) 第2種方法運用了TOPSIS方法，由于此方法在研究貼進度時有一定的缺陷性，最優(yōu)解與負理想解的距離越遠，越無法滿足最優(yōu)解靠近正理想解，而本文提出的方法可以有效避免上述問題。因此，本文所提方法更加優(yōu)越，適用性更廣。文中所提出的兩種算子比區(qū)間直覺模糊算子和直覺模糊算子在應(yīng)用上更具有一般性和普遍性，從而驗證了文中所提方法的有效性和正確性。

6 結(jié) 語

本文在q-階正交區(qū)間模糊集的基礎(chǔ)上研究Enistein算子在多屬性決策中的應(yīng)用問題，此類研究在國內(nèi)外尚處于起步階段，本文的研究具有較大的理論價值和實際意義。

本文首先在q-階正交區(qū)間模糊集和Enistein算子的基礎(chǔ)上，定義了Enistein算子在q-階正交區(qū)間模糊環(huán)境下的運算公式、期望函數(shù)、精確函數(shù)以及比較大小的規(guī)則；然后，定義了幾種q-階正交區(qū)間模糊Enistein信息集成算子，如q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)算術(shù)平均算子、q-階正交區(qū)間模糊Enistein加權(quán)幾何平均算子、q-階正交區(qū)間模糊Enistein有序加權(quán)算術(shù)平均算子、q-階正交區(qū)間模糊Enistein有序加權(quán)幾何平均算子，并給出了算子具有的冪等性、單調(diào)性、有界性等性質(zhì)；最后，將這些算子應(yīng)用于屬性權(quán)重確知且屬性值以q-階正交區(qū)間模糊變量形式給出的教育評估決策問題中。

本文有如下創(chuàng)新: 1) 將q-階正交區(qū)間模糊集和Enistein算子相結(jié)合，提出了q-階正交區(qū)間模糊Enistein算子的運算規(guī)則以及比較原則；2) 定義了兩種q-階正交區(qū)間模糊Enistein信息集成算子；3) 介紹了兩種不同的方法來研究多屬性群決策問題，本文提出的群決策方法可進一步運用到風險管理、最優(yōu)化理論、供應(yīng)鏈等領(lǐng)域。

致謝:感謝中國社會科學院大學2019年校級拔尖項目(20190027)、中國社會科學院大學2019年校級卓越項目(20190006)、中國社會科學院大學2020年重大專項項目(2020-KYLX01-06)對本研究的大力支持！