甘志超 劉丹

摘? 要：文章提出一種基于離散小波變換（DWT）、Hessenberg分解（HD）和奇異值分解（SVD）的圖像水印方法。在嵌入過程中，對(duì)原始載體圖像進(jìn)行多級(jí)DWT分解，并將得出的子帶系數(shù)作為HD的輸入。在創(chuàng)建水印的同時(shí)對(duì)SVD進(jìn)行操作，通過縮放因子將水印嵌入到主圖像中。運(yùn)用果蠅優(yōu)化算法，通過給出的客觀評(píng)價(jià)函數(shù)來尋找比例因子。在各種欺騙攻擊下，將所提出的方法與其他方法進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法對(duì)水印具有良好的魯棒性和不可見性。

關(guān)鍵詞：圖像水印;離散小波變換;Hessenberg分解;奇異值分解

中圖分類號(hào)：TP391.4? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2096-4706（2022）01-0040-04

Abstract： This paper proposes an image watermarking method based on discrete wavelet transform （DWT）， Hessenberg decomposition （HD） and singular value decomposition （SVD）. In the embedding process， the original carrier image is decomposed by multi-level DWT， and the obtained subband coefficients are used as the input of HD. While creating the watermark， the SVD is operated， and the watermark is embedded into the main image through the scaling factor. Using the fruit fly optimization algorithm， the scale factor is found through the given objective evaluation function. Under various spoofing attacks， the proposed method is compared with other methods. The experimental results show that this method has good robustness and invisibility to watermark.

Keywords： image watermarking; discrete wavelet transform; Hessenberg decomposition; singular value decomposition

0? 引? 言

圖像的魯棒性和不可見性是評(píng)價(jià)水印技術(shù)有效性的兩個(gè)主要指標(biāo)。水印技術(shù)大致可以分為三類，即魯棒水印、脆弱水印和半脆弱水印[1]。魯棒水印對(duì)圖像數(shù)據(jù)的保護(hù)至關(guān)重要，因?yàn)樗粫?huì)顯著降低水印圖像的視覺質(zhì)量，而且還能夠抵御各種攻擊。因此，魯棒水印廣泛用于版權(quán)保護(hù)和所有權(quán)驗(yàn)證。脆弱水印僅用于保證圖像的完整性，并不能驗(yàn)證實(shí)際的所有權(quán)。半脆弱水印融合了脆弱水印和魯棒水印的優(yōu)點(diǎn)，旨在檢測未經(jīng)授權(quán)的操作，同時(shí)保持對(duì)授權(quán)操作的魯棒性。此外，還可以在變換后的域內(nèi)完成嵌入過程，如奇異值分解（SVD）、離散余弦變換（DCT）、離散傅立葉變換（DFT）、離散小波變換（DWT）。

1? 相關(guān)理論

研究表明，人眼視覺對(duì)中低頻系數(shù)更為敏感。因此，變換域內(nèi)的運(yùn)算方法具有良好的性能，特別是當(dāng)水印嵌入在低頻范圍內(nèi)時(shí)。基于DWT的水印方法具有分辨率高、能量壓縮性好、視覺質(zhì)量高等優(yōu)點(diǎn)，可用于圖像水印。然而，基于DWT的水印難以抵抗幾何攻擊。這個(gè)弊端可以采用矩陣分解方法提取圖像的幾何特征來解決，基于DWT和矩陣分解的方法廣泛應(yīng)用于圖像水印中，從而使水印能夠耐受一定程度的圖像處理和圖像幾何攻擊[2]。水印中最常用的矩陣分解方法包括SVD和Hessenberg分解（HD）。此外，魯棒性和不可見性是評(píng)價(jià)圖像水印的兩個(gè)主要指標(biāo)，二者之間的性能平衡是非常具有挑戰(zhàn)性的。本文利用FOA算法對(duì)算法中的參數(shù)因子進(jìn)行了改進(jìn)，在魯棒性和不可見性之間進(jìn)行了權(quán)衡。本文提出一種結(jié)合DWT、HD和SVD的圖像水印算法[3]。性能測試結(jié)果表明，該方法具有較高的魯棒性和不可見性，且沒有水印大小的約束。具體來說，本研究利用FOA找到一個(gè)最優(yōu)的自適應(yīng)比例因子，實(shí)現(xiàn)不可見性和魯棒性之間的平衡。

1.1? 小波變換

輸入圖像經(jīng)過多級(jí)小波分解后，生成三個(gè)高頻帶HH、LH、HL以及一個(gè)低頻帶LL，如圖1所示。其中低頻帶系列是小波分解級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的最小分辨率和最大尺度下對(duì)原始圖像的最佳逼近。其統(tǒng)計(jì)特征與原圖像近似，圖像的大部分能量集中于此。高頻帶是圖像在不同分辨率和不同尺度下蘊(yùn)含的細(xì)節(jié)信息。分辨率越低，其中的有用信息比例就越高。圖像小波分解分成若干級(jí)，對(duì)于同級(jí)圖像，低頻子圖像LLj最重要，其次是LHj和HLj，而高頻子圖像HHj相對(duì)不重要。對(duì)于不同級(jí)來說，級(jí)高者重要，級(jí)低者不重要，如圖1所示。小波理論使得進(jìn)一步的分解成為可能，直至子帶的大小達(dá)到水印的標(biāo)準(zhǔn)。與其他子帶相比，LL的攻擊性能更優(yōu)，例如對(duì)濾波、壓縮攻擊。這一特性使LL子帶成為魯棒水印的最佳候選[4]。

1.2? HESSENBERG分解（HD）

HD是一種矩陣分解方法，可用于方陣分解[4]。HD可以找到更精確的圖像信息，因此魯棒性得到了提高，可以用HD來分解一個(gè)N×N的方陣X。其中H是上Hessenberg矩陣，P是正交矩陣，當(dāng)i>j+1時(shí)，hi，j=0。HD與宿主矩陣的計(jì)算關(guān)系為：

宿主矩陣Q也是一個(gè)正交矩陣，Q的表達(dá)式為：

其中，μ是Rn中的一個(gè)非零向量，而In是一個(gè)N×N的單位矩陣。整個(gè)過程包含n-2個(gè)步驟，HD計(jì)算公式為：

1.3? 奇異值分解（SVD）

奇異值分解是一種常用且重要的矩陣分解方法，其基于特征的分解可運(yùn)用于任意矩陣的分解，并可將圖像看作是由若干非負(fù)標(biāo)量組成的非負(fù)矩陣。奇異值分解可用來提取圖像的特征值，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的降維與壓縮，應(yīng)用到數(shù)字水印中可以提高水印的魯棒性，奇異值分解的優(yōu)勢在于可以對(duì)長矩陣進(jìn)行處理，并不局限于方陣矩陣。圖像在經(jīng)過SVD分解后可以得到3個(gè)矩陣（2個(gè)正交矩陣和1個(gè)對(duì)角矩陣），分別對(duì)應(yīng)左奇異值矩陣U、右奇異值矩陣V和奇異值矩陣S[5]。在奇異值矩陣中，奇異值按照由大到小的順序排列成對(duì)角矩陣。尺代表實(shí)數(shù)域，矩陣A的大小為M×N。其中UUT=In，VVT=In（In是一個(gè)N×N的單位矩陣）。若r為待分解矩陣Y的秩且滿足r≤n，則對(duì)角矩陣S的元素滿足式（7）中的關(guān)系，而待分解矩陣Y可以寫成式（8）。

其中，σi為第i個(gè)奇異值，μi，νi分別為U和V的第i個(gè)特征向量。采用奇異值分解的奇異值矩陣S，通過合適的比例因子系數(shù)將水印的奇異值嵌入到載體圖像的信息中。

1.4? 果蠅優(yōu)化算法（FOA）

FOA是一種仿生優(yōu)化算法。實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常運(yùn)用一些仿生算法來求解優(yōu)化問題，相較于其他仿生算法，F(xiàn)OA算法實(shí)現(xiàn)簡單，具有較強(qiáng)的全局優(yōu)化能力。FOA算法啟發(fā)于果蠅的閃爍行為，該行為的作用相當(dāng)于一個(gè)中樞信號(hào)系統(tǒng)，目的在于吸引其他果蠅[6]。本文運(yùn)用該方法找到一個(gè)最優(yōu)的自適應(yīng)比例因子，實(shí)現(xiàn)不可見性和魯棒性之間的平衡。

2? 數(shù)字圖像水印算法

2.1? 水印嵌入算法

水印W和載體圖像C是水印嵌入算法的輸入，含水印圖像C*是輸出。C、W、C*的尺寸分別為M×M、N×N和M×M。此外，該水印方法可以容納多個(gè)尺寸不同的水印，并對(duì)宿主圖像進(jìn)行r級(jí)DWT分解。水印嵌入的過程如圖1所示，具體的嵌入步驟為：

（1）基于R級(jí)DWT，將C分解為LL、LH、HL、HH的分量，其中R=log2（M/N）。

（2）HD在LL上執(zhí)行，顯示為：

（3）將SVD應(yīng)用于H：

（4）W與SVD結(jié)合使用：

接著使用Logistic映射產(chǎn)生的混沌系統(tǒng)對(duì)Uw、VwT的運(yùn)算加密，加密后的兩個(gè)組件標(biāo)記為Uw1和VTw1。

（5）通過將HSw和Sw與縮放因子α的乘積相加，計(jì)算嵌入的奇異值HS*w：

（6）帶水印的子帶H*是通過逆奇異值分解生成的，即：

（7）基于給出的逆HD，重建一個(gè)新的低頻近似子帶LL*：

（8）水印圖像C*是通過執(zhí)行逆r級(jí)小波變換獲得的，水印嵌入流程圖如圖2所示。

2.2? 水印提取算法

在水印提取算法中，加水印的宿主圖像C*是輸入，提取的水印W*是輸出。W*的大小為N×N。水印提取過程如圖3所示，具體提取步驟為：

（1）經(jīng)過水印的主圖像C*通過r級(jí)DWT分解為四個(gè)子帶，分別為LLw、LHw、HLw、HHw。

（2）對(duì)LLw執(zhí)行HD

（3）將SVD應(yīng)用于Hw，

（4）提取的奇異值Sw*為：

（5）Uw1和Vw1T由混沌系統(tǒng)解密，解密的兩個(gè)組件被標(biāo)記為Uw2和Vw2T。提取的水印W*通過逆奇異值分解（SVD）進(jìn)行重構(gòu)，公式為：

水印提取流程圖如圖3所示。

2.3? 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

原始載體圖像為64×64、128×128、256×256的lena標(biāo)準(zhǔn)彩色測試圖像，水印圖像采用256×256具有豐富細(xì)節(jié)的二值圖像。為了便于對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，宿主圖像的尺寸大小沒有造成明顯的數(shù)據(jù)偏差，本文圖片數(shù)據(jù)采用256×256的數(shù)據(jù)對(duì)比。從人眼視覺來看，經(jīng)過嵌入的圖像與原圖像沒有明顯的差別，但卻在不可見性上取得較好的效果，如圖4所示。為了測試該方法的魯棒性，本文對(duì)圖像進(jìn)行了不同種類和不同強(qiáng)度的攻擊和干擾，分別進(jìn)行了無攻擊、ɑ=0.05的高斯低通濾波、高斯濾波、中值濾波、斑點(diǎn)噪聲、椒鹽噪聲、JPEG壓縮、JPEG2000壓縮、銳化攻擊、直方圖均衡化、均值濾波、運(yùn)動(dòng)模糊等共16項(xiàng)攻擊，所提取的水印如圖5所示。該算法在無攻擊時(shí)能夠完美地提取出原水印圖像，在大部分情況下都能表現(xiàn)出出色的魯棒性，尤其是JPEG壓縮、JPEG2000壓縮以及各種濾波和噪聲。實(shí)驗(yàn)采用PSNR、SSIM、NC指標(biāo)來精準(zhǔn)量化圖片的不可見性和魯棒性。

3? 結(jié)? 論

本文采用的基于小波變換的水印方法具有分辨率高、視覺質(zhì)量好等優(yōu)點(diǎn)，在數(shù)字圖像水印的基礎(chǔ)上運(yùn)用一種基于DWT-HD-SVD變換的數(shù)字圖像水印技術(shù)。利用FOA來尋找最優(yōu)比例因子，結(jié)果表明，基于該技術(shù)的水印主機(jī)圖像具有良好的視覺質(zhì)量、PSNR值和SSIMS值。此外，在NC值較高的情況下，可以從不同攻擊下的水印主機(jī)圖像中清晰地提取水印。該方法對(duì)不同種類、不同強(qiáng)度的濾波和噪聲干擾以及JPEG2000壓縮、JPEG壓縮和銳化攻擊具有很強(qiáng)的魯棒性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳德陽，張金羽，容武艷，等.數(shù)字圖像水印技術(shù)綜述 [J].高技術(shù)通訊，2021，31（2）：148-162.

[2] ZHANG H，WANG C Y，ZHOU X.Fragile watermarking for image authentication using the characteristic of SVD [J].Algorithms，2017，10（1）：1382-1396.

[3] LIU J X，HUANG J D，LUO Y L，et al.An Optimized Image Watermarking Method Based on HD and SVD in DWT Domain [J].IEEE Access，2019，7：80849-80860.

[4] SU Q. Novel blind colour image watermarking technique using Hessen-berg decompositi [J].IET Image Process，2016，10（11）：817-829.

[5] RUN R S，Horng S J，LAI J L， et al. An improved SVD-based watermarking technique for copyright protection [J].Expert Systems with Applications，2012，39（1）：673-689.

[6] Pan W P. A new fruit fly optimization algorithm： Taking the financial distress model as an example [J]. Knowledge-Based Systems，2012，26：69-74.

作者簡介：甘志超（1999—），男，漢族，福建漳州人，碩士研究生在讀，主要研究方向：數(shù)字圖像水印;通訊作者：劉丹（1969—），女，漢族，天津人，教授，理學(xué)博士，主要研究方向：圖像處理、非線性數(shù)學(xué)、模式識(shí)別。