謝瑜凡

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000）

2009年,Danilov[1]提出了從拓?fù)涞慕嵌扔懻撝R空間,運(yùn)用知識空間的背景,結(jié)合Császár[2]提出廣義拓?fù)淇臻g的概念,林福財(cái)?shù)萚3]系統(tǒng)研究了一種更強(qiáng)的廣義拓?fù)淇臻g,即pre-拓?fù)淇臻g.事實(shí)上,李進(jìn)金[4]首先討論了pre-拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).之后,劉德金[5-6]討論了pre-拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一些基本性質(zhì).

自20世紀(jì)以來,拓?fù)淙豪碚摷捌湎嚓P(guān)推廣一直是一般拓?fù)鋵W(xué)研究的熱點(diǎn),見文獻(xiàn)[1,7-10].文獻(xiàn)[7]在群上定義了pre-拓?fù)涫沟胮re-拓?fù)渑c群的運(yùn)算相互協(xié)調(diào),即pre-拓?fù)淙?由于τ-narrow子集在研究拓?fù)淙褐蟹浅Ｖ匾?自然地,考慮能否將文獻(xiàn)[1]中拓?fù)淙害?narrow 子集的性質(zhì)推廣到pre-拓?fù)淙荷?因此,在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上研究了pre-拓?fù)淙褐笑?narrow 子集的相關(guān)性質(zhì),并證明了幾乎拓?fù)淙篏的子集B是τnarrow當(dāng)且僅當(dāng)由B代數(shù)生成G的子群B是τ-narrow.

1 預(yù)備知識

定義1[3]若集合X的子集的集族σ滿足對任意并封閉且X∈σ.特別地,?∈σ,則稱σ是X的pre-拓?fù)?σ中的元素稱為pre-拓?fù)涞拈_集.

定義2[3]設(shè)X和Y是兩個(gè)pre-拓?fù)淇臻g,f:X→Y是一個(gè)映射.如果Y中每一個(gè)開集U的原像f-1(U)是X中的一個(gè)開集,則稱映射f是pre-連續(xù).

定義3[7]非空集合G是一個(gè)群同時(shí)又是pre-拓?fù)淇臻g,使得乘法運(yùn)算f(x×y)=x·y是G×G→G的pre-連續(xù)映射且逆運(yùn)算g(x)=x-1是G→G的pre-連續(xù)映射,則稱G為pre-拓?fù)淙?

定義4[7]設(shè)G是pre-拓?fù)淙呵褺e是單位元e處的pre-基,若滿足：

1)對任意U∈Be,存在V∈Be使得V2?U,則稱G是強(qiáng)pre-拓?fù)淙?

2)如果Be是對稱的,即對任意V∈Be使得V=V-1,則稱G是對稱pre-拓?fù)淙?

3)若G既是對稱pre-拓?fù)淙阂彩菑?qiáng)pre-拓?fù)淙?則稱G是幾乎拓?fù)淙?

定義5如果對pre-拓?fù)淙篏中單位元的任意開鄰域U,存在G的子集F使得|F|≤τ且B?FU∩UF,其中τ是無限基數(shù),則稱pre-拓?fù)淙篏的子集B在G中是τ-narrow.

定義6[7]設(shè)X是pre-拓?fù)淇臻g,對X的任意開覆蓋U 都有U 的子集族ν使得|ν|≤κ且∪ν=X,則稱該最小基數(shù)κ是pre-拓?fù)淇臻gX的Lindel?f數(shù),記作l(X).若l(X)=ω,則稱X是Lindel?f.

定義7[7]假設(shè)U是pre-拓?fù)淙篏的單位元的鄰域且B是G的子集,如果對?a,b∈B且a≠b有b?aU,則稱G的子集B是U-不相交.

引理1[7]設(shè)G是幾乎拓?fù)淙?U和V是G中單位元的兩個(gè)開鄰域使得V4?U且V-1=V.如果G的子集B是U-不相交,則開集族{aV:a∈B}在G中是離散的.

定義8[7]設(shè)(G,τ)是pre-拓?fù)淇臻g,若G中任意局部有限開子集族是有限的,則稱G是feebly緊.

定義9若X的任意離散的非空開集族的基數(shù)是嚴(yán)格小于τ,則稱空間X的離散胞腔數(shù)dc(X)=τ.顯然,dc(X)=0當(dāng)且僅當(dāng)X是feebly 緊空間；dc(X)≤1當(dāng)且僅當(dāng)X的任意離散的非空開集族是可數(shù)的,則稱X是feebly-1-緊.

定理1[7]τ-narrow pre-拓?fù)淙旱娜我獬碜尤篐是τ-narrow.

2 主要結(jié)果與證明

引理2設(shè)B是pre-拓?fù)淙篏的子集.若l(B)≤τ,則pre-拓?fù)淙篏的子集B是τ-narrow.

證明取B中單位元e的任意開鄰域V,則{xV:x∈B}是B的開覆蓋.因?yàn)閘(B)≤τ,所以存在B的子集F1使得|F1|≤τ且集族{xV:x∈F1}覆蓋B.故有B?F1V.

同理可證,存在B的子集F2使得B?VF2.令F=F1∪F2且|F|≤τ,從而B?FV∩VF.所以B是τnarrow.

引理3設(shè)B是幾乎拓?fù)淙篏的子集.若c(B)≤τ,則B是τ-narrow.

證明設(shè)U是單位元e的開鄰域.因?yàn)镚是幾乎拓?fù)淙?所以取e的對稱開鄰域V使得V2?U.

設(shè)ξ是由B的所有V-不相交子集組成的集合,在集族ξ上賦予包含的偏序結(jié)構(gòu),且V-不相交集的任意鏈的并也是V-不相交集.由Zorn引理,集族ξ存在極大元A1.顯然{aV:a∈A1}是B中非空開集組成的不相交集族.因?yàn)閏(B)≤τ,所以|A1|≤τ.由極大元的性質(zhì)可知,對任意的x∈B/A1,存在a∈A1使得xV∩aV≠?,則x∈aVV-1=aV2?aU,所以B?A1U.

同理可證,存在集族ξ的極大元A2使得B?UA2.令A(yù)=A1∪A2且|A|≤τ,因此B?AU∩UA,所以B是τ-narrow.

根據(jù)定義9易知下面這個(gè)推論顯然成立.

推論1若B是幾乎拓?fù)淙篏的子集且滿足l(B)≤τ或c(B)≤τ,則dc(B)≤τ+，其中τ+=τ∪{τ}.

命題1設(shè)B是幾乎拓?fù)淙篏的子空間且滿足dc(B)≤τ+,則B在G中是τ-narrow.

證明反證法.假設(shè)B在G中不是τ-narrow,則存在G中單位元e的鄰域U,使得對?F?G滿足|F|≤τ有BFU≠?或BUF≠?.由Zorn 引理存在B的極大子集X,使得對?x∈X存在X∩{xU}={x}.根據(jù)假設(shè)|X|＞τ,因?yàn)镚是幾乎拓?fù)淙?所以取G中單位元的對稱開鄰域V,使得V4?U.由引理1 可知,集族γ={xV:x∈X}在G中是離散的,所以B的非空開集族θ={B∩W:W∈γ}在B中是離散的且|θ|=|γ|＞τ,這與dc(B)≤τ+矛盾.

下面證明幾乎拓?fù)淙篏的子集B是τ-narrow,當(dāng)且僅當(dāng)B代數(shù)生成G的子群B是τ-narrow.

命題2設(shè)G是幾乎拓?fù)淙呵褺是G的子集,則下列性質(zhì)等價(jià):

1)B在G中是τ-narrow；

2)對于G中某一包含B的子群H,則B在H中是τ-narrow；

3)對于G的任意包含B的子群H,則B在H中是τ-narrow；

4)G的子群B的任意子集是τ-narrow.

證明若H是G的子群且B?H,則B?H.顯然有4)?3)?2)?1),因此只需證1)?4).假設(shè)B在G中是τ-narrow,令K=B;設(shè)U是K中單位元e的任意開鄰域,取G中e的對稱開鄰域V,使得V∩K=U.設(shè)X是B的最大子集使得對?x∈X有X∩{xV}={x}.下證|X|≤τ.事實(shí)上,若|X|＞τ,取G中e的對稱開鄰域W,滿足W2?V.因?yàn)锽在G中是τ-narrow,存在G的子集F,使得B?FW且|F|≤τ,從而有|F|＜|X|且X?FW.因此,存在y∈F使得|X∩yW|≥2.設(shè)x1和x2是X∩yW中的兩個(gè)不同元素,則

因此x2∈x1V,這與B的子集X是V-不相交矛盾,故|X|≤τ.

又由X的極大性可知,B?XV,下證B?XU.事實(shí)上,若b∈B,則?x∈X且v∈V使得b=xv,從而有v∈x-1b∈B=K.所以v∈V∩K?U,由上述式子可得b=xv∈xU.所以B?XU.同理取B的子集Y使得B?UY且|Y|≤τ.于是B在B中是τ-narrow.

引理4設(shè)A和B是pre-拓?fù)淙篏的τ-narrow子集,則集合A-1和AB在G中也是τ-narrow.

證明設(shè)U是G中單位元e的鄰域,存在G中e的鄰域O使得O-1?U.因?yàn)锳是τ-narrow 且存在子集F?G,所以有A?FO∩OF.令K=F-1,則|K|=|F|≤τ且

A-1?(FO)-1∩(OF)-1=O-1K∩KO-1?UK∩KU.

所以A-1在G中是τ-narrow.

下證AB在G中也是τ-narrow.取G中單位元e的開鄰域V1,V2,使得V1V2?U且G的子集L滿足|L|≤τ和B?LV2.對任意的y∈L,取G中e的鄰域Wy使得yWy y-1?V1.

因?yàn)锳在G中是τ-narrow,所以存在G的子集Ky使得|Ky|≤τ且A?KyWy.令且M=KL,顯然|M|≤τ.下證AB?MU.假設(shè)a∈A,b∈B.取y∈L,使得b∈yV2且存在x∈Ky有a∈xWy.因此,

ab∈xWy yV2=xy(y-1Wy y)V2?xyV1V2?xyU，

即ab∈MU.從而AB?MU得證.

同理,存在G的子集M′使得AB?UM′且|M′|≤τ.令E=M∪M′,則|E|≤τ且AB?EU∩UE.所以,AB在G中也是τ-narrow.

定理2設(shè)X是代數(shù)生成pre-拓?fù)淙篏的τ-narrow子集,則群G是τ-narrow.

證明由引理4 可知,集合Y0=X∪X-1在G中是τ-narrow.對?n∈ω,定義Yn+1=YnY0.再次利用引理4對n進(jìn)行歸納,即對?n∈ω有Yn+1是τ-narrow.因?yàn)棣印荭厍襒=∪n=0∞Yn,所以群G是τ-narrow.由定理2可得到下面推論2-3.

推論2如果pre-拓?fù)淙篏包含由Lindel?f子空間代數(shù)生成的稠子群,則G是ω-narrow.

證明設(shè)B是G的Lindel?f子空間,它生成G的稠子群H.由引理2 可知,B在G中是τ-narrow.又根據(jù)定理2得到群H是τ-narrow.最后,由定理1可知G是τ-narrow.

推論3如果幾乎拓?fù)淙篏包含由子空間B代數(shù)生成的稠子群且c(B)≤τ,則G是τ-narrow.