王仙業(yè) 劉海濤 黃 田

天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津，300354

0 引言

腿式機(jī)器人采用足端離散接觸地面的方式跨越障礙，對(duì)非結(jié)構(gòu)化環(huán)境具有很好的適應(yīng)性，因此在空間探索、戰(zhàn)場(chǎng)偵察、抗災(zāi)救援等方面具有良好的應(yīng)用前景[1-3]。其中，基于平面多閉環(huán)連桿機(jī)構(gòu)的腿式機(jī)器人具有控制簡(jiǎn)單、可靠性高等特點(diǎn)，引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[4-7]。在過去的幾十年中，研究人員提出了眾多閉鏈腿式機(jī)構(gòu)[8-12]，如Chebyshev機(jī)構(gòu)、Klann機(jī)構(gòu)、Theo Jansen機(jī)構(gòu)(TJL)等。

在此類機(jī)構(gòu)中，TJL可以生成與步行哺乳動(dòng)物相似的足端軌跡，且該軌跡底部平緩，可有效減小行進(jìn)過程中由慣性力造成的桿件與地面間的沖擊，保證了腿式機(jī)器人的平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)[13-14]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞TJL開展了大量研究工作[15-18]。KOMODA等[19]利用虛功原理，推導(dǎo)了Chebyshev、Klann和TJL三種機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并在曲柄尺寸、輸入角速度和機(jī)構(gòu)總質(zhì)量相同的條件下，對(duì)比了三種機(jī)構(gòu)的足端軌跡和能量消耗，結(jié)果表明TJL的足端軌跡底部最為平緩，且總能耗最低，更適用于腿式機(jī)器人。HAGHJOO等[20]以成年人在行走過程中踝關(guān)節(jié)相對(duì)于臀部生成的運(yùn)動(dòng)軌跡為目標(biāo)，優(yōu)化了TJL的尺度參數(shù)，據(jù)此設(shè)計(jì)了一款下肢康復(fù)訓(xùn)練設(shè)備。LIU等[21]以人在上樓梯時(shí)的步態(tài)作為目標(biāo)軌跡，研究了TJL的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，并基于優(yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)了一種爬樓梯機(jī)器人，實(shí)現(xiàn)了該步態(tài)軌跡的模仿。文獻(xiàn)[22-24]以輸入能量最小為優(yōu)化目標(biāo)，綜合了TJL的尺度參數(shù)。文獻(xiàn)[25-26]通過調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)和機(jī)架鉸接位置，將TJL設(shè)計(jì)成一種變參數(shù)機(jī)構(gòu)，從而獲得可變化的末端輸出運(yùn)動(dòng)。

鑒于TJL輸出的足端軌跡底部平緩、適用于腿式機(jī)器人的平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，本文以TJL的足端軌跡為優(yōu)化目標(biāo)，研究一種平面六桿閉鏈腿式機(jī)構(gòu)[27]的尺度參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，使其能夠很好地復(fù)現(xiàn)TJL輸出的運(yùn)動(dòng)軌跡。

1 機(jī)構(gòu)描述與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

本文研究的平面閉鏈腿式機(jī)構(gòu)如圖1所示。該機(jī)構(gòu)由6根連桿和7個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)組成，桿AD為機(jī)架，桿ABE為原動(dòng)件，桿CFG為輸出件，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為該機(jī)構(gòu)的足端軌跡。利用Grübler-Kutzbach準(zhǔn)則計(jì)算該機(jī)構(gòu)的自由度:

圖1 平面閉鏈腿式機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

(1)

式中，n、j、fi分別為桿件數(shù)目、轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)數(shù)目、第i個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的自由度,n=6，j=7，fi=1。

由式(1)可知，該機(jī)構(gòu)的自由度為1，因此該機(jī)構(gòu)在桿ABE的驅(qū)動(dòng)下具有確定的末端輸出運(yùn)動(dòng)。

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

如圖1所示，在點(diǎn)A處建立坐標(biāo)系A(chǔ)xy，水平方向?yàn)閤軸。在該坐標(biāo)系下，可將Ⅱ級(jí)桿組(桿EF-CFG)中點(diǎn)G的位置矢量表示為

rG=rC+q1(rF-rC)+q2M(rF-rC)

(2)

式中，lCF、lCG、lFG分別為桿CF、CG和FG的長(zhǎng)度。

由式(2)可知，為得到rG，需要先計(jì)算rC和rF。類似地，可將Ⅱ級(jí)桿組(桿BC-CD)中點(diǎn)C的位置矢量表示為

rC=rB+q3(rD-rB)+q4M(rD-rB)

(3)

lBD=‖rD-rB‖rB=(lAcosα，lABsinα)T

rD=(lADcosθ0，lADsinθ0)T

式中，lA、lAD、lBC、lCD分別為桿AB、AD、BC和CD的長(zhǎng)度；lBD為點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離；α為曲柄的輸入角；θ0為機(jī)架與x軸之間的固定安裝角度。

在Ⅱ級(jí)桿組(桿EF-CFG)中，點(diǎn)F的位置矢量為

rF=rC+q5(rE-rC)+q6M(rE-rC)

(4)

lCE=‖rE-rC‖rE=(lAEcosβ,lAEsinβ)T

式中，lAE、lBE、lEF分別為桿AE、BE和EF的長(zhǎng)度；lCE為點(diǎn)C與點(diǎn)E之間的距離；β為桿AE與x軸之間的夾角。

將式(3)和式(4)代入式(2)，可得點(diǎn)G的位置矢量:

rG=ArB+BrE+CrD

(5)

A=(1-q3-q5q1+q3q5q1)I+aM+

bM2+(q4q6q2)M3

B=q5q1I+(q6q1+q5q2)M+q6q2M2

C=(q3-q3q5q1)I+cM-dM2-(q4q6q2)M3

a=q3q6q1+q3q5q2+q4q5q1-q4-q6q1-q5q2

b=q3q6q2+q4q6q1+q4q5q2-q6q2

c=q4-q3q6q1-q3q5q2-q4q5q1

d=q3q6q2+q4q6q1+q4q5q2

表1給出了文獻(xiàn)[27]中該機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)，其中θ0=0°。根據(jù)式(5)，可得到不同輸入角度下機(jī)構(gòu)的位形,如圖2所示。由圖2可知，該平面閉鏈腿式機(jī)構(gòu)能夠近似模擬步行哺乳動(dòng)物的腿部運(yùn)動(dòng)，但在該組尺度參數(shù)下，其軌跡底部的平緩性稍差,因此，有必要進(jìn)一步研究該機(jī)構(gòu)的尺度綜合問題，以得到更優(yōu)的末端輸出運(yùn)動(dòng)軌跡。

表1 閉鏈腿式機(jī)構(gòu)量綱一尺度參數(shù)

(a)α=0° (b)α=36° (c)α=72° (d)α=108°

2 尺度參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)[20]給出了TJL的量綱一尺度參數(shù)(表2)。在該機(jī)構(gòu)中，機(jī)架與x軸之間的固定安裝角θ0=11.6°(圖3)。由圖3可知，TJL可連接機(jī)架與足端的桿CD和桿CG(圖中綠色部分)，足端軌跡可視為由桿CD和桿CG的運(yùn)動(dòng)確定。注意到，在所提出的腿式機(jī)構(gòu)(圖1)中存在與圖3相同的連桿，故在保證兩種機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)lCD、lCG和運(yùn)動(dòng)參數(shù)φ3、φ5相同的前提下，即可得到相同的輸出運(yùn)動(dòng)。為減少設(shè)計(jì)變量，令兩機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)lCD、lCG分別相等。此外，注意到φ3由曲柄搖桿機(jī)構(gòu)ABCD(圖中紅色部分)確定，故令兩機(jī)構(gòu)中l(wèi)AB、lBC、lAD和安裝角度θ0的取值分別相等，使得在給定相同輸入角α?xí)r，兩種機(jī)構(gòu)的φ3亦相等。在上述前提下，當(dāng)φ5對(duì)應(yīng)相等時(shí)，兩機(jī)構(gòu)的足端位置相同。

表2 TJL量綱一尺度參數(shù)

圖3 TJL結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

根據(jù)前文推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，可得所研究機(jī)構(gòu)(圖1)中φ5的解析表達(dá)式：

(6)

TJL中φ5的求解可參見文獻(xiàn)[19]。為便于區(qū)分，下文將TJL的φ5記為φ′5，且其余角度亦采用相同定義方式。進(jìn)一步，結(jié)合式(3)和式(5)可知，式(6)中包含lBE、lEF、lCF、lAE和lFG共5個(gè)獨(dú)立參數(shù)，將它們定義為設(shè)計(jì)向量

x=(lBE，lEF，lCF，lAE，lFG)T

(7)

2.1 目標(biāo)函數(shù)與約束條件

本文的優(yōu)化目標(biāo)為兩機(jī)構(gòu)中點(diǎn)G的軌跡偏差最小，基于上述分析可將其轉(zhuǎn)化為兩機(jī)構(gòu)的φ5與φ′5的偏差最小，即

(8)

其中，N為一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)輸入角的離散點(diǎn)數(shù)目。當(dāng)η取最小值時(shí)，可認(rèn)為兩種機(jī)構(gòu)的足端軌跡最為相近。

為了保證設(shè)計(jì)結(jié)果的可行性，依據(jù)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)間的幾何關(guān)系來確定優(yōu)化問題的約束條件。

基于上述分析，將兩機(jī)構(gòu)尺度相同部分重合，得到的結(jié)果如圖4所示。結(jié)合圖2可知，在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，桿BE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周,故以桿BC為機(jī)架、桿BE為曲柄、桿CF為搖桿、桿EF為連桿(圖4)。根據(jù)該曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的曲柄存在條件，可得到lBE、lEF、lCF之間的約束關(guān)系：

圖4 兩種機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)對(duì)比

c1=lBE+lEF-lBC-lCF<0

(9)

c2=lBE-min(lEF,lBC,lCF)<0

(10)

因兩機(jī)構(gòu)的lAB、lBC、lCD和lAD取值相同，故在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)兩機(jī)構(gòu)的φ2(桿AB和桿BC之間的夾角)相等，因此，φ1和φ4滿足如下約束關(guān)系：

c3=φ1+φ4=2π-φ2

(11)

式中，φ1為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)BEFC中桿BC與桿BE之間的夾角；φ4為桿AB和桿BE之間的夾角。

結(jié)合式(3)可知，φ1和φ4中僅包含lBE和lAE兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)，故利用式(11)可得到lBE與lAE之間的隱式約束關(guān)系。類似地，在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)兩機(jī)構(gòu)的γ2(桿BC和桿CD之間的夾角)相等，則φ5和φ滿足如下約束關(guān)系：

c4=φ5+φ=2π+γ2-γ1

(12)

式中，γ1為桿CG和桿CF之間的固定角度；φ為桿CF與桿BC之間的夾角。

結(jié)合式(3)～式(5)可知，式(12)中僅包含lCF和lFG兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)，故利用式(12)可得到設(shè)計(jì)變量lCF與lFG之間的隱式約束關(guān)系。

最終，本文所研究的平面閉鏈腿式機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題被定義為如下單目標(biāo)優(yōu)化問題：

(13)

2.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)等式約束c3和c4，可將設(shè)計(jì)變量進(jìn)一步縮減為lBE、lEF和lCF。若采用一般的優(yōu)化算法[12]，則需給定三個(gè)設(shè)計(jì)變量的取值范圍?？紤]到三個(gè)設(shè)計(jì)變量與已知量lBC構(gòu)成曲柄搖桿機(jī)構(gòu)BEFC，且約束條件c1和c2源自該機(jī)構(gòu)的曲柄存在條件，故可參考曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法確定三個(gè)設(shè)計(jì)變量，從而簡(jiǎn)化優(yōu)化問題的求解。

為設(shè)計(jì)該曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，首先確定其搖桿的擺角范圍。將φ視為搖桿CF的擺角，它與φ5之間滿足約束c4。注意到該約束同樣存在于TJL中，即

φ′5+φ′=2π+γ2-γ′1

(14)

其中，φ′為TJL中桿BC與桿CF′的夾角；γ′1為桿CG與桿CF′的夾角(圖4)，因此，可參考TJL確定φ的擺角范圍。圖5所示為一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)TJL中φ′的變化曲線。由圖5可知，φ′的兩個(gè)極值分別為φ′max=181.68°和φ′min=103.96°，所對(duì)應(yīng)的輸入角分別為348.55°和167.94°，則擺角φ應(yīng)滿足

圖5 TJL中φ′的變化曲線

Δφ=φmax-φmin=φ′max-φ′min=77.72°

(15)

其次，需要確定搖桿CF的極限位置。根據(jù)TJL中φ′的兩個(gè)極值及其所對(duì)應(yīng)的輸入角，得到TJL的兩個(gè)極限位置，如圖6所示。為了保證φ5和φ′5具有相同的變化趨勢(shì)，兩機(jī)構(gòu)應(yīng)同時(shí)達(dá)到極限位置。由于兩機(jī)構(gòu)的四桿機(jī)構(gòu)ABCD相同，故需要設(shè)計(jì)的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)BEFC的機(jī)架BC可由TJL的兩個(gè)極限位置確定。進(jìn)而，可確定φ的極值所對(duì)應(yīng)搖桿的兩個(gè)極限位置(C1F1和C2F2)，如圖6所示。

(a)φ和φ′均為最大值

根據(jù)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)極限位置的幾何條件，即曲柄與連桿共線，可構(gòu)造如下約束方程：

(16)

式中，a1、a2分別為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)BEFC兩個(gè)極限位置處點(diǎn)B到點(diǎn)F的距離。

式(16)中包含lBE、lEF、lCF和φmax四個(gè)參數(shù)。為求解式(16)，根據(jù)兩機(jī)構(gòu)同時(shí)達(dá)到極限位置的條件進(jìn)一步可得

‖rE1‖=‖rE2‖

(17)

i=1，2

φm1=φmaxφm2=φmax-Δφ

式中，rBi、rCi、rEi分別為兩極限位置處點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)E的位置矢量。

式(16)和式(17)提供了3個(gè)約束方程，包含4個(gè)參數(shù)。因此，當(dāng)φmax給定時(shí)，便可得到lBE、lEF和lCF。進(jìn)一步，根據(jù)式(8)即可定量評(píng)價(jià)兩機(jī)構(gòu)足端軌跡的近似程度。為了避免曲柄搖桿機(jī)構(gòu)BEFC存在奇異位形，并保證其擺角范圍，給定φmax的取值范圍為78°<φmax<180°，取離散點(diǎn)個(gè)數(shù)N=200，繪制η隨φmax的變化曲線，如圖7所示。由圖7可知，當(dāng)φmax=168°時(shí)，η取得最小值，因此，可認(rèn)為此時(shí)兩機(jī)構(gòu)的足端軌跡最為接近。將φmax代入式(16)、式(17)、式(11)和式(12)，即可得到優(yōu)化后機(jī)構(gòu)的量綱一尺度參數(shù)(表3)。

圖7 η隨φmax的變化曲線

表3 優(yōu)化后閉鏈腿式機(jī)構(gòu)的量綱一尺度參數(shù)

在表1和表3兩組尺度參數(shù)下，腿式機(jī)構(gòu)的φ5與TJL中φ′5的變化曲線見圖8。由圖8可知，優(yōu)化后φ5的變化規(guī)律與φ′5更為接近。圖9進(jìn)一步對(duì)比了兩組尺度參數(shù)下腿式機(jī)構(gòu)與TJL的足端軌跡。優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)與TJL具有相同的跨高h(yuǎn)，且最大軌跡偏差小于0.26。上述結(jié)果表明，優(yōu)化后閉鏈腿式機(jī)構(gòu)可以很好地逼近TJL的足端軌跡。

(a)角度的變化曲線

(a)足端軌跡

3 多足移動(dòng)機(jī)器人樣機(jī)

利用優(yōu)化后的尺度參數(shù)設(shè)計(jì)了一種多足移動(dòng)機(jī)器人，其CAD模型如圖10所示。整機(jī)包括左右布置的兩個(gè)模塊，每個(gè)模塊包含一個(gè)主傳動(dòng)軸和兩組前后布置的雙足步行單元，每組雙足步行單元由兩個(gè)閉鏈腿式機(jī)構(gòu)、傳動(dòng)齒輪組、傳動(dòng)同步帶輪、曲柄軸組成。整機(jī)由安裝在中間的兩個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，并設(shè)置了電池倉(cāng)來放置電池，通過同步帶輪將動(dòng)力傳遞給主傳動(dòng)軸；傳動(dòng)齒輪組分別與主傳動(dòng)軸和曲柄軸固連，主傳動(dòng)軸通過齒輪傳動(dòng)將動(dòng)力分別傳輸?shù)角S上；曲柄軸帶動(dòng)閉鏈腿式機(jī)構(gòu)的曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)，從而使閉鏈腿式機(jī)構(gòu)輸出足端運(yùn)動(dòng)，支撐機(jī)器人在地面移動(dòng)。為減小機(jī)器人質(zhì)量，機(jī)身框架由碳纖維板制成，其余構(gòu)件采用光敏樹脂材料3D打印成形。

(a)整體結(jié)構(gòu)

雙足步行單元是機(jī)器人的行走裝置，其行走步態(tài)直接反映機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖11為該雙足步行單元的結(jié)構(gòu)示意圖，由兩個(gè)腿式機(jī)構(gòu)組成，這兩個(gè)腿式機(jī)構(gòu)共用一個(gè)機(jī)架，共線布置的曲柄之間相位差為180°，通過單電機(jī)驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn)兩機(jī)構(gòu)的同步運(yùn)動(dòng)。雙足步行單元在水平地面行走時(shí)，交替完成支撐推進(jìn)和邁步跨越的動(dòng)作，從而使機(jī)架向前移動(dòng)。如圖11所示，支撐腿(紅色)處于支撐階段，足端支撐在點(diǎn)G處；擺動(dòng)腿(藍(lán)色)處于擺動(dòng)階段，足端在點(diǎn)G′處。當(dāng)兩腿式機(jī)構(gòu)同時(shí)接觸地面時(shí)，會(huì)有短暫的雙重支撐階段，即兩足端分別處于點(diǎn)O1和點(diǎn)O2，兩次雙重支撐之間曲柄旋轉(zhuǎn)180°，為一個(gè)行走周期。

圖11 雙足步行單元結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

為分析雙足步行單元的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性，在足端支撐的G點(diǎn)處建立參考坐標(biāo)系Gx′y′，水平方向?yàn)閤′軸；在A點(diǎn)處建立連體坐標(biāo)系A(chǔ)xy，在任意瞬時(shí)位形下坐標(biāo)系A(chǔ)xy平行于坐標(biāo)系Gx′y′(圖11)。則在坐標(biāo)系Gx′y′中，D點(diǎn)的位置矢量rGD可表示為

rGD=rD-2rG

(18)

據(jù)此，可得到雙足步行單元機(jī)架在行走過程中的運(yùn)動(dòng)軌跡(假設(shè)無滑動(dòng))。類似地，亦可得到采用相同結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的TJL雙足步行單元機(jī)架運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖12所示。通過對(duì)比可知，本文設(shè)計(jì)的雙足步行單元在一個(gè)行走周期中機(jī)架上下波動(dòng)幅度較小，能夠有效保證機(jī)架的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。

圖12 行走時(shí)機(jī)架上固定點(diǎn)的軌跡

根據(jù)設(shè)計(jì)的多足移動(dòng)機(jī)器人CAD模型，完成對(duì)電機(jī)、軸承、控制器等零件的選型，制作、裝配，得到如圖13所示的多足移動(dòng)機(jī)器人實(shí)物樣機(jī)，包含機(jī)器人本體、驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)以及電池。該樣機(jī)的主要參數(shù)見表4。利用搭建的多足移動(dòng)機(jī)器人開展行走實(shí)驗(yàn)(圖14)，給定電機(jī)轉(zhuǎn)速為30 r/min，機(jī)器人沿直線行進(jìn)，速度可達(dá)0.06 m/s。利用激光測(cè)距儀得到樣機(jī)在行走過程中主體框架與地面的距離,變化范圍為140～142.2 mm，上下波動(dòng)幅度小，證明了移動(dòng)的平穩(wěn)性。

圖13 多足移動(dòng)機(jī)器人實(shí)物樣機(jī)

表4 樣機(jī)參數(shù)

t=0 t=0.5 s t=1.0 s

4 結(jié)論

(1)在利用基本桿組法建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，以該機(jī)構(gòu)與TJL的足端軌跡偏差最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立了考慮尺度參數(shù)間幾何約束的單目標(biāo)優(yōu)化模型。通過考察機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的極限位置條件，有效減少了設(shè)計(jì)變量數(shù)目，并將優(yōu)化設(shè)計(jì)問題簡(jiǎn)化為一維搜索問題，進(jìn)而得到優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)。優(yōu)化結(jié)果表明，最大軌跡偏差小于0.26，機(jī)構(gòu)可近似復(fù)現(xiàn)TJL的足端運(yùn)動(dòng)軌跡。

(2)利用優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)設(shè)計(jì)了一種多足移動(dòng)機(jī)器人，并分析了雙足步行單元在一個(gè)行走周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該雙足步行單元能夠有效保證多足移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性，從而驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方案的可行性。