杜迎雪，劉衛(wèi)鋒，常 娟

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

1 引 言

多屬性決策是決策領(lǐng)域的重要組成部分，其理論與方法被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、工程等諸多領(lǐng)域。在眾多學(xué)者提出決策方法中，一些經(jīng)典的決策方法被廣泛使用和改進(jìn)推廣。比如1998年Opricovic[1]提出了基于理想點(diǎn)的多準(zhǔn)則方法——VIKOR法(VlseKriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje)，是經(jīng)典TOPSIS方法的改進(jìn)。文獻(xiàn)[1]用實(shí)例說(shuō)明了TOPSIS法求得的最優(yōu)解未必是接近理想點(diǎn)的解，而VIKOR方法利用各個(gè)備選方案的評(píng)價(jià)值與理想方案的接近程度來(lái)排列方案順序，比TOPSIS法具有更高的排序穩(wěn)定性和可信度。文獻(xiàn)[2]進(jìn)一步比較了VIKOR方法、TOPSIS法、ELECTRE法和PROMETHEE法，認(rèn)為在這些方法中，VIKOR方法不僅考慮了正理想方案與負(fù)理想方案，而且考慮最大群體效用值和最小化個(gè)體遺憾值，從而得到的決策結(jié)果相對(duì)更為合理。近年來(lái)VIKOR方法在方案選擇、合作伙伴選擇、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和績(jī)效評(píng)估等方面被廣泛使用[3-8]。

隨著現(xiàn)代科技的進(jìn)步和社會(huì)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，人們?cè)趯?shí)際決策中需要處理的信息越來(lái)越模糊復(fù)雜化，決策者很難直接給出精確的評(píng)價(jià)值，因此模糊多屬性決策成為近年來(lái)很多學(xué)者研究的熱點(diǎn)。1986年Atanassov[9-10]引入了直覺(jué)模糊集(IFS)的概念并對(duì)其進(jìn)行研究。直覺(jué)模糊集可以同時(shí)表達(dá)隸屬度和非隸屬度，且它們的和小于等于1，相比傳統(tǒng)模糊集其更適合在實(shí)際問(wèn)題中描述模糊性與不確定性。一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者將VIKOR方法擴(kuò)展到直覺(jué)模糊環(huán)境下來(lái)處理多屬性決策問(wèn)題，取得了許多研究成果[11-18]。但在處理決策問(wèn)題過(guò)程中，可能出現(xiàn)隸屬度和非隸屬度之和大于1的情況，例如某專家在評(píng)價(jià)方案屬性時(shí)，給出隸屬度為0.7，非隸屬度為0.4，則無(wú)法直接用傳統(tǒng)的直覺(jué)模糊集來(lái)表達(dá)。為此，Yager[19-20]在研究了模糊集、區(qū)間值模糊集和直覺(jué)模糊集的補(bǔ)運(yùn)算基礎(chǔ)上，提出了允許隸屬度和非隸屬度之和大于1，但是其平方和不超過(guò)1的畢達(dá)哥拉斯模糊集，從而擴(kuò)展了模糊集。在Yager研究的基礎(chǔ)上，不同學(xué)者將各種新的方法和理論運(yùn)用到畢達(dá)哥拉斯模糊決策中[21-27]。何霞[25]等將畢達(dá)哥拉斯模糊集與三角模糊數(shù)相結(jié)合，提出了畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)與畢達(dá)哥拉斯三角模糊集，并提出了基于畢達(dá)哥拉斯三角模糊集成算子的多屬性決策方法。畢達(dá)哥拉斯三角模糊集的提出將畢達(dá)哥拉斯模糊集由原來(lái)的離散集擴(kuò)展到連續(xù)集合。與直覺(jué)三角模糊數(shù)相比，畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)更能體現(xiàn)出決策者的偏好，特別是其隸屬度和非隸屬度的條件限制的突破，使決策者在使用畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)表示屬性值時(shí)更加方便，也更能體現(xiàn)出決策者的原始判斷。

考慮到VIKOR方法的優(yōu)點(diǎn)和畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)更符合決策實(shí)際的特點(diǎn)，在上述研究的基礎(chǔ)上，本文將VIKOR方法推廣到畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)決策環(huán)境中，提出畢達(dá)哥拉斯三角模糊VIKOR方法。具體研究?jī)?nèi)容安排如下：首先，回顧畢達(dá)哥拉斯模糊集及畢達(dá)哥拉斯三角模糊集等概念，為進(jìn)一步研究做好鋪墊；其次，為了提出VIKOR方法，給出畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)距離的定義，并將該距離公式推廣到畢達(dá)哥拉斯三角模糊集，給出畢達(dá)哥拉斯三角模糊集距離以及符合決策實(shí)際的畢達(dá)哥拉斯三角模糊集加權(quán)距離(Hamming距離)等概念；再次，將VIKOR方法與畢達(dá)哥拉斯三角模糊集相結(jié)合，提出屬性值為畢達(dá)哥拉斯三角模糊多屬性決策VIKOR方法，并給出具體決策步驟；最后通過(guò)實(shí)例分析折衷參數(shù)對(duì)折衷解的影響，驗(yàn)證了該方法的有效性。

2 基本概念

3畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)距離

故三角不等式成立。

下面將畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)之間的距離，推廣到畢達(dá)哥拉斯三角模糊集。

易證上述距離定義滿足非負(fù)性、對(duì)稱性和三角不等式性。

同樣容易證明定義9滿足距離的三個(gè)公理，特別當(dāng)定義9中所有權(quán)重都相等時(shí)，退化為定義8中一般距離。若上述距離定義中畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)都為規(guī)范畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)時(shí)，易證上述距離都介于0與1之間。

4 畢達(dá)哥拉斯三角模糊型VIKOR方法步驟

在選擇理想方案時(shí)，由于每個(gè)屬性值為畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)，那么最大滿意度越大或者最小不滿意度越小時(shí)，說(shuō)明對(duì)該方案越滿意，評(píng)分值也就越大越好；反之，若最大滿意度小于最小不滿意度時(shí)，說(shuō)明對(duì)該屬性不是很滿意，當(dāng)然評(píng)價(jià)值越小越好。由此，下面給出正理想方案與負(fù)理想方案的定義。

下面給出基于畢達(dá)哥拉斯三角模糊信息下VIKOR決策方法，步驟如下。

參數(shù)v取值在0與1之間，v>0.5時(shí)，說(shuō)明專家傾向于按群體效用值進(jìn)行決策；而v<0.5時(shí)，專家傾向于按個(gè)體遺憾值進(jìn)行決策。v=0.5時(shí)，表示根據(jù)均衡方式進(jìn)行排序。顯然Si越小，Qi越小，Ri越小，Qi也越??；Si越大，Qi越大，Ri越大，Qi也越大。Qi在0與1之間。顯然Si≤Sj;Ri≤Rj時(shí)，一定有Qi≤Qj。

步驟7：計(jì)算折衷解。

下面對(duì)Qi從小到大排序：Q(1)≤Q(2)≤…≤Q(m)。同時(shí)也根據(jù)Si，Ri的大小，從小到大排序。下面根據(jù)Qi討論折衷解：首先計(jì)算Q(2)-Q(1)，

ⅰ)α(1)在群體效用值排列中或個(gè)體遺憾值排列中為第一的，則x(1)最優(yōu)解。

ⅱ)α(1)在群體效用值排列中或個(gè)體遺憾值排列中不為第一，則x(1),x(2)為折衷解。

以上決策方法首先從各個(gè)備選方案中選出正理想與負(fù)理想方案，再通過(guò)各個(gè)備選方案與理想方案的接近程度計(jì)算出群體效用值。其次計(jì)算出每個(gè)方案的個(gè)體遺憾值，最后通過(guò)折衷解進(jìn)行方案排序，從而選擇出一個(gè)可以被決策者接受的折衷方案。該方法不僅考慮了正理想方案與負(fù)理想方案，而且考慮了最大群體效用值和最小化個(gè)體遺憾值，從而得到一個(gè)相對(duì)更為合理的決策結(jié)果，此方法比TOPSIS法具有更高的排序穩(wěn)定性和可信度。但VIKOR方法通過(guò)折衷值在求折衷解時(shí)，若決策者決策態(tài)度不同，則態(tài)度系數(shù)不同，這樣可能會(huì)得到不同的折衷方案。因此用該方法進(jìn)行多屬性決策時(shí)，需要考慮決策者的態(tài)度。 折衷參數(shù)描述了最大群體效用和最小個(gè)體遺憾之間的妥協(xié)，其變化表達(dá)了決策者的不同主觀偏好，提高了決策的靈活性與可用性。參數(shù)不同，選擇也可能不同，此為其優(yōu)點(diǎn)也為其缺點(diǎn)。

5 實(shí)例分析

某鐵路分局為了開(kāi)拓國(guó)際市場(chǎng)，技術(shù)部需要聘請(qǐng)一位海外技術(shù)經(jīng)理。經(jīng)初步篩選，有4個(gè)備選候選人記為X=(x1,x2,x3,x4)。為了對(duì)他們進(jìn)行全方位的評(píng)估，公司對(duì)每個(gè)候選人從4個(gè)方面進(jìn)行評(píng)估，分別為：創(chuàng)新水平c1，流量控制能力c2，管理能力c3，服務(wù)水平c4。假設(shè)每個(gè)屬性的總分是10分，利用統(tǒng)計(jì)方法，計(jì)算出候選人在各屬性下的得分，見(jiàn)下表1，如<(5,7,9),0.7,0.3>表示候選人x1相對(duì)于屬性c2為7，且最大滿意度為0.7，最小不滿意度為0.3。假設(shè)各個(gè)屬性的權(quán)重分別為ω1=0.4,ω2=0.3,ω3=0.2,ω4=0.1。根據(jù)專家提供的畢達(dá)哥拉斯三角模糊決策矩陣，評(píng)價(jià)出最佳候選人。

步驟1：決策小組建立畢達(dá)哥拉斯三角模糊決策矩陣，見(jiàn)表1。

步驟2：由于4個(gè)屬性均為效益型屬性，因此將其規(guī)范化見(jiàn)表2。

表1 畢達(dá)哥拉斯三角模糊決策矩陣

表2 畢達(dá)哥拉斯三角模糊規(guī)范矩陣

0.9,0.2>,<(0.8,0.9,1),0.8,0.3>,<(0.8,

0.9,1),0.9,0.1>,<(0.8,0.9,1),0.8,0.3>}

步驟4：根據(jù)屬性集C={c1,c2,c3,c4}上的權(quán)重，及三角畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)之間的距離，分別計(jì)算出每個(gè)方案的群體效用值。

S2=0.396+0+0.065+0.040=0.501;

S3=0+0.234+0.186+0.036=0.456;

S4=0.016+0.225+0.186+0.036=0.526。

顯然S3

R1=0.244,R2=0.396,R3=0.234,R4=0.225。

顯然R4

S*=min{Si}=0.456,S-=max{Si}=0.526,R*=min{Ri}=0.225,R-=max{Ri}=0.396。

Q2=v0.643+1-v，Q3=(1-v)0.053，Q4=v。

當(dāng)態(tài)度參數(shù)v=0.5時(shí)可得：Q1=0.506,Q2=0.822,Q3=0.027,Q4=0.5。

顯然排序?yàn)镼3

步驟7：計(jì)算折衷解。

步驟8：敏感度分析。

在實(shí)際決策中，專家可能會(huì)有不同的決策態(tài)度，態(tài)度系數(shù)取不同的值時(shí)，可能會(huì)得到不同的折衷方案。態(tài)度參數(shù)取值在0與1之間，下面我們分析不同態(tài)度參數(shù)對(duì)折衷解的影響。

表3 折衷參數(shù)對(duì)方案排序的影響

從表3可以看出折衷參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響。當(dāng)參數(shù)分別取0，0.1,0.3時(shí)，即專家考慮較多個(gè)體遺憾時(shí)，方案為x1,x3,x4；而折衷參數(shù)取0.5時(shí)，即專家認(rèn)為群體效用和個(gè)體遺憾值同等重要時(shí)，折衷方案為x3；折衷參數(shù)取0.7,0.9,1時(shí)，即專家考慮較多群體效用時(shí)，折衷方案仍為x3。整體來(lái)看，候選人x3是最佳的，只是專家有不同的決策態(tài)度時(shí)，折衷解會(huì)有一些不同。由此可見(jiàn)，折衷參數(shù)v描述了最大群體效用和最小個(gè)體遺憾之間的妥協(xié)，v的變化表達(dá)專家不同主觀偏好，這提高了決策的靈活性與可用性。

為了說(shuō)明本文所提方法的有效性，將該方法與其他方法所得的結(jié)果進(jìn)行比較。若我們僅考慮各方案與正理想之間的距離，利用定義9計(jì)算出來(lái)的排序結(jié)果為x3x1x4x2；若僅考慮各方案與負(fù)理想之間的距離，則排序結(jié)果為x3x1x4x2；若正負(fù)理想同時(shí)考慮，利用TOPSIS法計(jì)算出來(lái)的排序結(jié)果為x3x1x4x2。若用參考文獻(xiàn)[25]中PTFWA算子計(jì)算，方案排序結(jié)果為x3x4x1x2，與VIKOR方法專家態(tài)度參數(shù)為0.1時(shí)排序結(jié)果相同。從幾種決策方法結(jié)果可以看出，上述幾種方法一致認(rèn)為x3為最佳候選人。VIKOR方法從專家態(tài)度不同的角度考慮得到折衷結(jié)果,從而說(shuō)明該方法的全面性及靈活性。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文將畢達(dá)哥拉斯三角模糊與VIKOR法相結(jié)合，討論了畢達(dá)哥拉斯三角模糊多屬性決策問(wèn)題。在定義畢達(dá)哥拉斯三角模糊數(shù)的距離、畢達(dá)哥拉斯三角模糊集的距離和畢達(dá)哥拉斯三角模糊集加權(quán)距離(Hamming距離)等的基礎(chǔ)上，提出了基于畢達(dá)哥拉斯三角模糊VIKOR多屬性決策的方法與步驟，并通過(guò)分析決策實(shí)例說(shuō)明該方法的有效性。最后討論了折衷參數(shù)敏感度分析及折衷方案的對(duì)比，充分體現(xiàn)了該方法的優(yōu)越性，具有較好的理論意義與實(shí)用價(jià)值。