與球有關(guān)的綜合問題求解模型

安文華

(陜西省西安市長慶二中 710299)

立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系，我們將幾何體分為多面體和旋轉(zhuǎn)體，一方面要研究它們各自的性質(zhì)，另一方面將它們構(gòu)造成組合體研究是我們認(rèn)識事物的必然途徑.與球有關(guān)的綜合問題多以組合體為背景，通過直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算研究它們的位置關(guān)系，反映學(xué)生知識整合、研究探索、操作運(yùn)用等關(guān)鍵能力.

1 基礎(chǔ)知識——平面截球

空間中基本元素為點(diǎn)、線、面，我們知道，連接球面上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面，球的截面有以下性質(zhì)：

(1)任何平面對于球的截面都是圓形，球心和截面圓心的連線垂直于截面；

(2)球心到截面的距離d，截面圓半徑r，球的半徑R滿足勾股關(guān)系：R2=d2+r2.

1.1 平面截球

與球有關(guān)的綜合問題通常結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對空間想象能力和畫圖操作能力有較高要求，那么，首先應(yīng)分離出基本結(jié)構(gòu)，對研究對象進(jìn)行表征性抽象.

例1(2021年全國甲卷理·11)已如A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為( ).

又球的半徑為1，設(shè)O到平面ABC的距離為d，

故選A.

解讀此題是關(guān)于平面截球性質(zhì)的運(yùn)用，屬于簡單題，高考中多有考查，如2020年全國卷.

1.2 已知平面和平面外一點(diǎn)構(gòu)造外接球

與球有關(guān)的綜合問題可以在平面截球的基礎(chǔ)上再引入點(diǎn)、線、面構(gòu)成多面體，多面體與球體組合在一起，分析各元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，需要庖丁解牛般的分解與整合能力，是熟悉幾何體形狀，提高空間想象能力的有力抓手.

例2棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是棱AD,DD1的中點(diǎn)，G為平面BB1C1C內(nèi)的一動點(diǎn)，則三棱錐A1-EFG的外接球半徑的最小值為____.

解題探究因?yàn)镚是動點(diǎn)，A1,E,F是定點(diǎn)，為方便觀察，變換角度如圖1，三棱錐A1-EFG即G-A1EF，將平面AA1D1D作為下底面，三棱錐G-A1EF的關(guān)鍵要素為點(diǎn)G與平面A1EF.

圖1 圖2

設(shè)截面A1EF外接圓圓心為O1，由基礎(chǔ)知識知球心在過點(diǎn)O1且與平面A1EF垂直的直線上，此直線記為O1G，與上底面BB1C1C的交點(diǎn)為G，球心O在O1G上.

若上底面另有一點(diǎn)G′，由題意知G′到平面A1EF的距離為定值，過O1G和點(diǎn)G′作球的軸截面，則截圓O1得長為2r的弦PQ.

如圖2，△PG′Q的外接圓半徑即為三棱錐G-A1EF外接球半徑.因?yàn)镺1G>r，所以頂角∠G為銳角，∠G′<∠G.

所以R2=d2+r2=(2-R)2+r2.

解讀上述求半徑是利用平面截球的基本性質(zhì)，抓住球心是解決問題的關(guān)鍵.另外這種組合體的問題也常常需要畫出軸截面類比圓的相關(guān)知識求半徑，這就是立體幾何問題平面化的思想，通過正弦定理求外接圓的半徑.

2 基本模型——“張角”“墻角”

對組合體結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，需要建立幾何模型，幫助學(xué)生由表及里認(rèn)知本質(zhì).以平面截球?yàn)榛A(chǔ)，可以進(jìn)一步構(gòu)造面面關(guān)系與線面關(guān)系，比較典型的有“張角”模型和“墻角”模型.

2.1 “張角”

“張角”模型是由兩個(gè)半平面組成的二面角內(nèi)接于球體，那么兩個(gè)平面截球有兩個(gè)截面，通過平面截球的性質(zhì)可以確定外接球球心，球心是球的靈魂，抓住了球心就抓住了球的位置.

2.1.1 “張角”為銳角

圖3 圖4 圖5

由三側(cè)面與底面所成二面角均相等，則頂點(diǎn)P在底面的射影為底面的內(nèi)心M，△ABC內(nèi)切圓半徑為1.

所以R=OP>OO1+PM.

所以O(shè)，P在底面ABC兩側(cè)，如圖5，PM，OO1同垂直于底，P,M,O,O1四點(diǎn)共面，解得PQ∶OQ=PM∶OO1=3∶1.

2.1.2 “張角”為鈍角

如圖6，取BD中點(diǎn)H，則∠AHC為二面角的平面角，∠OHA=∠OHC=60°.

圖6

所以球的表面積為112π.

2.1.3 “張角”為直角

(3)There exists complicated interaction when high sound intensity effect and grazing fiow effect are present simultaneously,and the SPL effect can be greatly inhibited when grazing fiow is present,while the grazing fiow effect can be reduced partly as well at a relatively high SPLSP.

圖7 圖8

所以球體表面積為80π.

解讀組合體的作圖需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力，在球體中內(nèi)置柱、錐、臺，構(gòu)成了各式各樣的問題情境，“張角”模型是為了幫助學(xué)生抓住問題的主要矛盾和主要方面，根據(jù)應(yīng)對新問題情境的需要，合理地組織、調(diào)動各種相關(guān)知識與能力，運(yùn)用立體幾何平面化思想，畫出關(guān)鍵截面，對問題背景進(jìn)行改進(jìn)與優(yōu)化，形成對新問題的準(zhǔn)確判斷、分析與評價(jià).

2.2 “墻角”

構(gòu)造幾何模型解決有關(guān)球和多面體組合問題是一種常見的轉(zhuǎn)換策略，有線面垂直關(guān)系的多面體，通常我們形象地稱之為“墻角”.“墻角”模型，畫出外接圓柱，而圓柱與球同為旋轉(zhuǎn)體，同為軸對稱圖形，其軸截面長方形的對角線即為外接球直徑.

2.2.1 構(gòu)造圓柱

例6如圖9，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=AD=CD=1，BC=PA=2，記四棱錐P-ABCD的外接球?yàn)榍騉，平面PAD與平面PBC的交線為l，則球O的半徑R=____，l被球O截得的弦長為____.

圖9 圖10

平面PAD與平面PBC的交線為PQ，所以l被球O截得的弦長為PQ=AD=1.

2.2.2 構(gòu)造長方體

長方體是學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的常用模型和處理線面位置關(guān)系的重要載體，體對角線長等于外接球直徑，這為解決長方體的外接球問題給出了便利的方法.而長方體有8個(gè)頂點(diǎn)，取其中不共面的4個(gè)頂點(diǎn)與該長方體有共同外接球，如果這四個(gè)頂點(diǎn)兩兩連線為長方體面上的對角線，則可以構(gòu)成對棱相等的四面體；如果以長方體一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三棱構(gòu)成四面體，即為“墻角”.

例7(2019年全國Ⅰ卷理·12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

解題探究因?yàn)镻A=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，所以三棱錐P-ABC為正三棱錐.

所以PB⊥AC.

如圖11，E,F分別是PA,AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB.

圖11

所以EF⊥AC.

又∠CEF=90°，所以EF⊥平面PAC.

所以PB⊥平面PAC.

而三棱錐P-ABC為正三棱錐，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，此時(shí)可以將三棱錐P-ABC看作“墻角”，補(bǔ)成正方體.

故選D．

解讀“墻角”模型中，線面垂直條件是關(guān)鍵，底面的兩條棱夾角不一定是直角.有線面垂直就可以作出外接圓柱，如果從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，也可以補(bǔ)成長方體.

3 特殊模型——正方體

眾所周知，正方體是最特殊、最典型的幾何模型，其中蘊(yùn)含著豐富的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系.其中與球有關(guān)的綜合問題，一是可以處理正四面體的相關(guān)計(jì)算，將正四面體內(nèi)接于正方體中，那么正四面體的外接球、內(nèi)切球可以放在正方體中觀察和計(jì)算；二是正方體有內(nèi)切球、棱接球、外接球，其直徑分別為棱長、面對角線長、體對角線長.

例8半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截面而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成，如圖12，則二十四等邊體的體積與其外接球體積之比為( ).

圖12

解題探究正方體有六個(gè)面，八個(gè)頂點(diǎn)，沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得此“阿基米德多面體”.

總之，與球有關(guān)的綜合問題，尤其是多面體外接球問題，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜、缺少教具、畫圖困難，一度是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，如果能掌握適當(dāng)?shù)膸缀文Ｐ?，從而能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在多方聯(lián)想中求同存異，對提高空間想象能力和化歸轉(zhuǎn)化能力有著巨大的幫助.