李 權,扎其勞
(1.河套學院 數(shù)學與計算機系,內蒙古 巴彥淖爾 015008;2.內蒙古師范大學 數(shù)學科學學院,內蒙古 呼和浩特 010022;3.內蒙古自治區(qū)應用數(shù)學中心,內蒙古 呼和浩特 010022)
眾所周知,求解高維孤子方程難度很大[1‐2]。在過去的三十年里,許多研究學者致力于將高維孤子方程分解為幾個已知的(1+1)維孤子方程,這些可以通過引入變量約束[1-3]的途徑來處理,因此高維方程的解可以由相應的(1+1)維方程的解來表示。事實上,有許多方法可以獲得(1+1)維孤子方程的精確解,如逆散射變換、Hirota 雙線性方法、B?cklund 和Darboux 變換、代數(shù)幾何方法等,其中,Darboux 變換是獲得某些孤子方程精確解的最有效的方法之一。1984 年,Neugebauer 和Meinel[4]給出一種系統(tǒng)的方法來直接構造AKNS系統(tǒng)的N重Darboux 變換。之后,該方法已被許多研究學者應用于尋找多孤子解。
本文將(2+1)維修正Kadomtsev‐Petvishivili(mKP)方程[1,5]
成功分解為Kaup‐Newell(KN)系統(tǒng)的前兩個非平凡孤子方程組
約束條件為
式(4)和方程(2)~(3)滿足方程(1),其中??-1=?-1?=1(?= ??x)。如果利用方程(2)和(3)解出(u,v),那么由約束條件(4)就能給出mKP 方程(1)的相應解。mKP 方程(1)是mKdV 方程的二維推廣,被廣泛研究[3-8]。
本文討論KN 系統(tǒng)的N重Darboux 變換和mKP 方程(1)的多孤子解,目前相關內容研究較少。首先建立方程(1)與方程(2)~(3)之間的聯(lián)系,然后根據(jù)Neugebauer 思想,通過KN 譜問題的規(guī)范變換,導出方程(2)~(3)的一個新的N重Darboux 變換[6-8]。最后,借助N重Darboux 變換和分解,得到mKP 方程(1)的多孤子解。
根據(jù)式(4)與方程(2)~(3),直接計算可得
將式(4)~(5)代入方程(1),通過計算機代數(shù)系統(tǒng)Maple 或Mathematica,得到(4)滿足(1)的結論。
方程(2)~(3)與Kaup‐Newell 譜問題
有密切相關,KN 譜問題(6)與AKNS 譜問題是規(guī)范等價。通過計算相容性條件Uy-V(4)x+UV4-V(4)U=0 和Ut-V(6)x+UV(6)-V(6)U=0,可分別得到方程組(2)和(3)。
構造KN 譜問題[6]的Darboux 變換。設?=(?1,?2)T和ψ=(ψ1,ψ2)T是譜問題(6)~(8)的兩個基本解,用(φ,ψ)定義Darboux 矩陣
其 中關于x,y和t的函數(shù),A2k,B2K-1,C2k-1和D2k由線性方程組
給出,其中
適 當 選 擇 參 數(shù)λj和rj(λi≠λj,ri≠rj,i≠j) 使 得 方 程(10)和(11)的 系 數(shù) 行 列 式 非 零,此 時A2k,B2k-1,C2k-1和D2k(1 ≤k≤N)由方程(10)和(11)唯一確定。等式(9)表明detT(λ)是λ 的4N次多項式,且detT(λj)=A(λj)D(λj)-B(λj)C(λj)。另 一 方 面,由 方 程(10)和(11)有A(λj)=-δj B(λj),C(λj)=-δj D(λj)。因此,有detT(λj)=0。這意味著λj(1 ≤j≤2N)是T(λ)的2N個根,則是
其中γ與λ無關。
KN 譜問題(6)的Darboux 變換實際上是一個規(guī)范變換
類似于文獻[6]中的證明,給出如下命題。
命題1由譜問題(15)~(17)確定的矩陣具有相同的形式,即
由舊位勢u和v到新位勢-u和-v的變換公式為
其中Δ2N和Λ2N是方程(10)和(11)的系數(shù)行列式,即
ΔA2N,ΔB2N-1分別由ΔN-1的第(2N-1) 列、第2N列替換為(-α,-α,…,-α)T而來,ΔD2N,ΔC2N-1分別由Λ2N的第(2N-1)列、第2N列替換為(-βδ1,-βδ2,…,-βδ2N)T而來。
根據(jù)命題1,很容易看出方程(15)和(16)也是(1+1)維孤子方程組(2)的Lax 對,方程(15)和(17)是(1+1)維孤子方程組(3)的Lax 對,變換(18)通常被稱為(1+1)維孤子方程組(2)和(3)的Darboux 變換。
命題2設(u,v)是(1+1)維孤子方程組(2)和(3)的解,那么由Darboux 變換(19)確定的函數(shù)和是方程組(2)和(3)的另一個解,且函數(shù)
是mKP 方程(1)的一個新解。
將應用Darboux 變換給出(2+1)維mKP 方程(1)的多孤子解。選擇平凡解u0=v0=0,Lax 對(6)~(8)對應的相容基本解可以寫成
將式(19)和(24)代入(22),得到k‐孤子解(1 ≤k≤N)的一個統(tǒng)一的顯式公式,因此很容易得到方程(1)的N‐孤子解。為了簡單起見,將討論兩種特殊情形N=1 和N=2。
情形1(N=1)。當λj,rj(j=1)時,式(22)是mKP 方程(1)的一個精確解
情形2(N=2)。當λj,rj(j=1,2,3,4) 時,式(22)是mKP 方程(1)的另一個精確解
其中
δj=(j=1,2,3,4)在式(24)中確定。選擇適當?shù)膮?shù)(如λ2=iλ1和λ4=iλ3),解(27)為雙孤子解。圖1(b)為該解的三維圖。
圖1 (a)單孤子解(26)取參數(shù)μ1=1,r1=0.1,r2=0.2,σ=-1,t=0;(b)雙孤子解(27)取參數(shù)λ1=1,λ2=i,λ3=1.1,λ4=i1.1,r4=-r3=r2=-r1=0.1,σ=-1,t=0Fig.1 (a)The single soliton solution(26)with μ1=1,r1=0.1,r2=0.2,σ=-1,t=0;(b)The double soliton solution(27)with λ1=1,λ2=i,λ3=1.1,λ4=i1.1,r4=-r3=r2=-r1=0.1,σ=-1,t=0
重復上述步驟,可得mKP 方程(1)的一系列多孤子解。
目前,諸多(1+1)維方程的求解方法被廣泛提出和使用,但相比于此,(2+1)維方程的求解方法不是很普遍。本文成功地將(2+1)維mKP 方程分解成兩個(1+1)維KN 孤子方程組,并應用這兩個(1+1)維孤子方程組的N重Darboux 變換獲得了(2+1)維mKP 方程的孤子解。