問題導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)范式研究

盛茜

【摘要】在新課程與新高考的大背景下，我們要特別關(guān)注對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而“問題導(dǎo)向下的探究式教學(xué)”是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要課堂教學(xué)方式之一.教師在“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，突出“問題情境”和“問題串”的設(shè)計(jì)，從數(shù)學(xué)概念本質(zhì)、數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)直覺等方面出發(fā)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

【關(guān)鍵詞】問題導(dǎo)向;探究式教學(xué);范式研究

蘇教版高中實(shí)驗(yàn)教材必修二第二章“圓的方程”第一課時(shí)“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是在學(xué)習(xí)了直線方程之后對(duì)曲線方程的學(xué)習(xí).作為新授課，其目的就是讓學(xué)生在問題情境中明白數(shù)學(xué)的實(shí)用性，在“問題串”的引領(lǐng)下用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.本課采用了“問題情境—學(xué)生活動(dòng)—建構(gòu)數(shù)學(xué)—數(shù)學(xué)運(yùn)用—回顧反思”的方式來設(shè)計(jì)教學(xué)，在教學(xué)設(shè)計(jì)方面的主要亮點(diǎn)是兩個(gè)“問題”，即“問題情境”和“問題串”的設(shè)計(jì).

一、“問題情境”設(shè)計(jì)

“問題情境”如下：已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為2.7 m、高為3 m的貨車能不能駛?cè)脒@個(gè)隧道？（如圖1）

“問題情境”設(shè)計(jì)的目的在于引起學(xué)生的注意，從情境中發(fā)現(xiàn)并抽象出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而為解決問題而進(jìn)行積極的數(shù)學(xué)活動(dòng).這個(gè)問題情境來源于實(shí)際生活，也是教材中的一道例題.在這個(gè)實(shí)際情境中，學(xué)生的興趣被激發(fā)出來，注意力一下子集中起來，從心理學(xué)角度來說，學(xué)生自然地產(chǎn)生了主動(dòng)學(xué)習(xí)的“心向”.因此，“問題情境”設(shè)計(jì)的核心原則是：有利于學(xué)生思維品質(zhì)的改善，有利于學(xué)生探究能力的發(fā)展，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，充分關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成過程.因此，教師在創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情境時(shí)應(yīng)注意問題情境的依托性（適度性）、導(dǎo)向性、探究性.

（一）依托性

問題情境來源于真實(shí)的生活，但必須包含明確的數(shù)學(xué)問題，最重要的是要符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn).車通過隧道問題是學(xué)生在生活中較常遇見的問題，而且與本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)密切相關(guān)，因此具備了較好的依托性原則.這樣的情境設(shè)計(jì)有利于學(xué)生展開思維活動(dòng)，從而有效促使學(xué)生進(jìn)行觀察、歸納、概括、抽象、推理、論證等.在實(shí)際授課過程中，絕大部分學(xué)生能根據(jù)自己的生活實(shí)際較好地理解情境，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)探究奠定基礎(chǔ).

（二）導(dǎo)向性

所謂導(dǎo)向性，是指“問題情境”設(shè)計(jì)時(shí)必須突出“問題”這個(gè)核心，能引導(dǎo)學(xué)生提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.在這個(gè)實(shí)際情境中，伴隨著觀察、猜想、抽象等思維活動(dòng)的展開，逐步將問題集中抽象到“建立圓的方程”這個(gè)主題上來，這個(gè)實(shí)際情境就具有較好的導(dǎo)向性.在實(shí)際的課堂教學(xué)中，學(xué)生能對(duì)問題的導(dǎo)向做出相應(yīng)的回應(yīng)，順利進(jìn)入各個(gè)環(huán)節(jié)的探究中去.我們說問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題是思維的核心，沒有問題，思維便無法啟動(dòng).

（三）探究性

問題情境具有開放性、新穎性，對(duì)學(xué)生的思維有一定的挑戰(zhàn)性.因此，設(shè)計(jì)問題情境時(shí)應(yīng)當(dāng)充分激發(fā)學(xué)生的探究欲望.在實(shí)際的問題情境中，解決方法多種多樣，學(xué)生可以利用平面幾何知識(shí)解決問題，也可以利用三角函數(shù)知識(shí)解決問題……這對(duì)于學(xué)生來說，有著很好的思維拓展空間，教師利用其在實(shí)際授課時(shí)激發(fā)學(xué)生對(duì)探究新知識(shí)的渴望，也為引出本節(jié)課的主題做好鋪墊.

二、“問題串”設(shè)計(jì)

本節(jié)課精心設(shè)計(jì)了十一個(gè)問題，形成“問題串”如下：

問題一：你想利用什么方法解決上述問題？

問題二：考慮解析幾何方法時(shí)，我們以半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直徑所在直線為x軸.這樣，貨車的寬和高分別對(duì)應(yīng)什么？（頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)）（如圖2）

問題三：我們求出哪個(gè)量就可以得出結(jié)論？（如圖3）

問題四：在初中階段，圓的定義是什么？請(qǐng)畫出圓，并用符號(hào)語言表示出來.（如圖4）

問題五：引入平面直角坐標(biāo)系后，請(qǐng)將上述符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程.（如圖5）

問題六：嘗試總結(jié)推導(dǎo)圓的方程的步驟.

問題七：利用解析幾何法解決實(shí)際情境中的問題.

問題八：在平面直角坐標(biāo)系中，以C（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的方程是什么？（如圖6和圖7）

問題九：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要幾個(gè)獨(dú)立的條件？

問題十：請(qǐng)思考實(shí)際情境中的問題還有怎樣的解決方法.

問題十一：在解析幾何問題中，一方面我們將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題來研究，另一方面還要做什么呢？

每位數(shù)學(xué)教師都知道，問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基.只有有效的問題情境設(shè)計(jì)，才能打開學(xué)生的思維“匣子”，從而引導(dǎo)他們進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)思維活動(dòng).本節(jié)課用十一個(gè)環(huán)環(huán)相扣的問題串成一條主線貫串整個(gè)課堂.這十一個(gè)問題的設(shè)計(jì)遵循了整體性、層次性、探究性的原則.

（一）整體性

常見的新授課教學(xué)設(shè)計(jì)中，一般會(huì)設(shè)計(jì)一個(gè)初始問題，然后教師從這個(gè)問題出發(fā)，引出課堂講解內(nèi)容，然后就“拋棄”了這個(gè)初始問題.有時(shí)在講解過程中，教師也會(huì)提一些問題，但這些問題往往是“一問一答”式的，隨意性很大，沒有留給學(xué)生思考的余地，或者說沒有思考價(jià)值.事實(shí)上，課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)考慮整體性.從問題情境設(shè)計(jì)的問題開始，到課堂小結(jié)設(shè)計(jì)的問題為止，整堂課的問題設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)系統(tǒng)的、完整的思維整體，能促使學(xué)生不斷深入地思考.一旦課堂問題被分解得很瑣碎，就沒有了整體性，帶給學(xué)生的是零碎的知識(shí)與技能，不利于培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性.本節(jié)課的十一個(gè)問題從問題情境的第一個(gè)問題出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生圍繞本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)與思維方式展開，在設(shè)計(jì)上環(huán)環(huán)相扣，逐步追問.在第一次解決問題后，教師并沒有就此結(jié)束，而是引導(dǎo)學(xué)生向思維的更深處發(fā)展，最終回歸到對(duì)解析幾何本質(zhì)問題的理解，較好地呈現(xiàn)了思維脈絡(luò)的整體一貫性.

（二）層次性

問題的設(shè)計(jì)應(yīng)具有層次性，能由淺入深、由表及里地逐步展開.這里的層次不僅包括邏輯上的層次，最主要的是能體現(xiàn)學(xué)生思維不斷生成的過程.本節(jié)課的十一個(gè)問題的設(shè)計(jì)首先從問題一的開放性問題開始，讓每名學(xué)生都“有話可說”，符合新課程理念，兼顧各個(gè)不同學(xué)習(xí)能力層次的學(xué)生;其次，從問題二到問題六，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度解釋問題，開始用數(shù)學(xué)的思維思考問題、分析問題，從問題七到問題九，用數(shù)的方式解決實(shí)際的幾何問題，問題十、問題十一則引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題最終抽象成解析幾何的本質(zhì)問題，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象的目的.這樣的設(shè)計(jì)較好地體現(xiàn)了“問題串”設(shè)計(jì)得層次分明，有利于學(xué)生思維的不斷加深，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行探究.在經(jīng)歷解決問題的整個(gè)過程中，學(xué)生同時(shí)學(xué)會(huì)了提出問題、分析問題、解決問題的一般方法.

（三）探究性

培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力是實(shí)施新課程的目的所在.“問題串”設(shè)計(jì)的好壞決定著能否引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)探究.本節(jié)課從具體的實(shí)際問題出發(fā)，逐步設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生探究出建立“圓的方程”的必要性，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步去思考建立方程的方法與步驟，然后利用新建立的方程來解決問題.為了有效促進(jìn)學(xué)生理解并掌握?qǐng)A的方程的建立過程，這十一個(gè)問題不斷地在已有的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行推進(jìn)，探究的內(nèi)容也越來越深入.

在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”都要能夠自然地融入“問題”中去.教師通過設(shè)計(jì)問題、提出問題來促使學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行思考，而不是干巴巴地講解知識(shí).學(xué)生通過對(duì)問題的思考來促進(jìn)思維活動(dòng)的形成，從而掌握思考問題的方法，獲得能力提升.學(xué)生在不斷地解決各個(gè)問題的過程中體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，增長了數(shù)學(xué)知識(shí)，最終形成解決問題的能力，為進(jìn)一步的發(fā)展奠定基礎(chǔ).因此，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)就是提出問題與解決問題的教學(xué)，在問題的設(shè)計(jì)中提升我們的教學(xué)能力，在問題解決的過程中發(fā)展學(xué)生的思維能力.

三、問題——啟發(fā)

對(duì)于啟發(fā)性問題的提出來講，除了要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生個(gè)體在課堂學(xué)習(xí)中自主探究的關(guān)注之外，教師對(duì)其在課堂上的小組合作探究方式也要給予密切關(guān)注，以此來引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)做出深入思考.

在系統(tǒng)研究了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，學(xué)生對(duì)平面內(nèi)點(diǎn)、圓之間的位置關(guān)系有了深入了解，在此基礎(chǔ)上，可以探討另外一個(gè)問題，也就是怎樣結(jié)合已知條件求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例題：在一個(gè)三角形中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求其外接圓方程.

先讓學(xué)生獨(dú)立思考解決，再讓其以小組形式進(jìn)行探究分析.

在學(xué)生探究出“先求AB，AC 的垂直平分線的方程，然后將這兩條垂直平分線的交點(diǎn)找到，并將圓心順利推導(dǎo)出來，在此基礎(chǔ)上選定一點(diǎn)A，求圓心到點(diǎn)A 的距離，以此來獲得半徑，之后就可以將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出來”這一方法后，教師提出以下問題：

大家的解決方式非常好，基于此，請(qǐng)大家思考，在解決這一問題時(shí)，主要是將哪一方面作為突破口？

在學(xué)生給出什么是三角形的外接圓這一答案后，教師再提問：對(duì)于這一方法，應(yīng)該怎樣命名？

在學(xué)生給出幾何法的答案后，教師引導(dǎo)大家結(jié)合現(xiàn)有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)思考是否有其他方法，由此來引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)運(yùn)算這一角度入手，并提出代數(shù)法這一解決方法.學(xué)生使用代數(shù)法的過程中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓的方程相減時(shí)進(jìn)行消元可以獲得一個(gè)二元一次方程.基于此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合以往所學(xué)知識(shí)思考“這個(gè)二元一次方程代表的是什么”等問題.

在教學(xué)中，教師通過巧妙的設(shè)計(jì)、提出一些具有啟發(fā)性的問題，既可以快速集中學(xué)生的課堂注意力，也能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過程中，結(jié)合教師的追問和引導(dǎo)來對(duì)各個(gè)學(xué)習(xí)探究環(huán)節(jié)進(jìn)行反思，逐步完善知識(shí)結(jié)構(gòu).

在啟發(fā)式問題的指導(dǎo)下，學(xué)生的思維形成也會(huì)獲得科學(xué)引領(lǐng)，促使更多學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上對(duì)所學(xué)知識(shí)與相關(guān)問題做出深入探究，還能夠逐漸懂得從不同角度來體會(huì)、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，全面激活其數(shù)學(xué)思維.這樣做在幫助學(xué)生有效提升數(shù)學(xué)成績的同時(shí)，對(duì)其未來更深層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究也有著重要意義，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)給予足夠重視.在課堂上，教師大膽、靈活地通過啟發(fā)式問題的設(shè)計(jì)來優(yōu)化數(shù)學(xué)探究式課堂的構(gòu)建，在提升課堂活躍度的同時(shí)能促進(jìn)課堂教學(xué)實(shí)效性的顯著提升.

四、教學(xué)反思

問題導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)探究式課堂，在具體開展過程中，不論是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建、學(xué)習(xí)能力的形成，還是數(shù)學(xué)意識(shí)、良好習(xí)慣的培養(yǎng)都發(fā)揮著重要作用.而要想使這些作用可以得到充分發(fā)揮，就必須保證問題設(shè)計(jì)及提出的科學(xué)合理性.

在問題設(shè)計(jì)中，教師要對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、考試要求做充分考慮，找到其中的平衡點(diǎn)，只有圍繞這一平衡點(diǎn)來進(jìn)行數(shù)學(xué)探究式課堂的構(gòu)建才能夠保障教學(xué)的有效性，在提升學(xué)生數(shù)學(xué)成績的同時(shí)鍛煉其學(xué)習(xí)能力.這樣做也是促進(jìn)教師自身專業(yè)成長的關(guān)鍵點(diǎn).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)是極為重要的.通過本次對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例的分析可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)成績較好的學(xué)生大多可以將下一步的學(xué)習(xí)方向快速判斷出來，但學(xué)困生大多缺少這種意識(shí).所以，在之后的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的科學(xué)培養(yǎng)給予足夠重視.

本節(jié)課作為一節(jié)新授課，過程性評(píng)價(jià)效果較好，但是相關(guān)的具體評(píng)價(jià)研究，比如最后總結(jié)性評(píng)價(jià)，還有待進(jìn)一步展開.只有學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提高了，核心素養(yǎng)真正落實(shí)到位了，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)才稱得上有效.

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