游花觀景賞三角

張薇

【摘要】章引言課是一個(gè)章節(jié)教學(xué)的開始，能幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念的“大觀念”，引導(dǎo)學(xué)生像“數(shù)學(xué)家一樣思考”，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的良好構(gòu)建.所謂大單元教學(xué)，是以主題為線索，對(duì)教材進(jìn)行重組整合，以指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)為主線，進(jìn)行連續(xù)單元教學(xué)的教學(xué)模式.三角函數(shù)引言課是對(duì)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的一次研究與實(shí)踐，目的在于落實(shí)學(xué)生的主體地位，形成有助于未來(lái)發(fā)展的核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】章引言;核心素養(yǎng);深度學(xué)習(xí);大單元教學(xué);數(shù)學(xué)史

2019年10月，筆者參加了由省教研室舉辦的高中數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)，本期培訓(xùn)與往期最大的區(qū)別在于由多位教師對(duì)《三角函數(shù)引言課》同題異構(gòu).筆者有幸參加并展示課例，在磨課、上課、評(píng)課中，收獲良多，現(xiàn)呈現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與教后反思.

一、教學(xué)目標(biāo)及重點(diǎn)難點(diǎn)

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）從大量生活實(shí)例中體會(huì)周期現(xiàn)象的普遍性;

（2）以圓周運(yùn)動(dòng)為例，探究周期現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在探究表示周期現(xiàn)象數(shù)學(xué)模型的過程中體會(huì)角的擴(kuò)充和弧度制擴(kuò)充的合理性;

（3）培養(yǎng)學(xué)生從已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)研究新的問題的能力;

（4）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象及數(shù)學(xué)建模的能力.

（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：構(gòu)建三角函數(shù)模型;

教學(xué)難點(diǎn)：感悟x，y，r，α，l之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而利用這些量的聯(lián)系進(jìn)行角的擴(kuò)充及弧度制的引入.

二、教學(xué)實(shí)錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

日出日落，月圓月缺，潮起潮落……自然界中有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，這種按一定規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象.

問題1 你能舉一些生活中具有周期現(xiàn)象的例子嗎？

生：手表的運(yùn)動(dòng)，日歷的周而復(fù)始，星期一到星期日的重復(fù)，生肖的輪回，摩天輪的運(yùn)動(dòng)……

師：能否概括一下它們的特征？

生：每隔一定的時(shí)間會(huì)重復(fù)出現(xiàn).

問題2 摩天輪上一點(diǎn)P按怎樣的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)？用什么樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫呢？

物理中，勻速直線運(yùn)動(dòng)用一次函數(shù)模型來(lái)刻畫位移與時(shí)間的關(guān)系，勻加速直線運(yùn)動(dòng)用二次函數(shù)來(lái)刻畫位移與時(shí)間的關(guān)系，指數(shù)函數(shù)刻畫了數(shù)據(jù)的指數(shù)爆炸.今天我們學(xué)習(xí)能刻畫這類具有周而復(fù)始現(xiàn)象的函數(shù)——三角函數(shù).

反饋評(píng)價(jià)：興趣是最好的老師.在大量實(shí)際生活中感受周期現(xiàn)象周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從摩天輪運(yùn)動(dòng)中抽象出一般的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與直觀想象的能力.

（二）轉(zhuǎn)換背景，形成概念

問題3 摩天輪的半徑為r，做勻速圓周運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，從數(shù)學(xué)角度怎樣刻畫點(diǎn)P的位置？

反饋評(píng)價(jià)：學(xué)生動(dòng)手探究并相互討論，展示成果，得到了三種方法：分別用（x，y）、（r，α）、 （l，r）來(lái)表示點(diǎn)P，在展示過程中發(fā)現(xiàn)不足，并對(duì)現(xiàn)有的方案進(jìn)行修正.學(xué)生積極參與到知識(shí)的探究中，發(fā)現(xiàn)問題并及時(shí)進(jìn)行修正，從而打破已有知識(shí)體系，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行拓展延伸，體會(huì)了“像數(shù)學(xué)家一樣去思考”的過程，體會(huì)到了成功的喜悅.

師：對(duì)于用坐標(biāo)表示我們非常熟悉，我們知道坐標(biāo)與點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.那么用（r，α）表示點(diǎn)的位置是否合理？

生：有點(diǎn)問題，表示的點(diǎn)不唯一.

師：你覺得怎樣才能準(zhǔn)確刻畫點(diǎn)的位置？

生：可以加上旋轉(zhuǎn)的方向，用順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α或者逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α來(lái)刻畫.

師：我們發(fā)現(xiàn)初中時(shí)候?qū)W過的角的范圍0°～360°已經(jīng)不再適用，我們需要對(duì)角的范圍進(jìn)行擴(kuò)充.初中的時(shí)候我們是怎么定義角的呢？

生：初中時(shí)，我們定義角為從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所形成的幾何圖形，范圍為0°～360°.

問題4 請(qǐng)你給我們現(xiàn)在所需要的角一個(gè)定義.

生：射線OA繞頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)所形成的角.

師：那怎么解決剛剛旋轉(zhuǎn)90°所形成的角？

生：按不同的旋轉(zhuǎn)方向分逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所成的角和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所成的角.

師生總結(jié)任意角的定義.

反饋評(píng)價(jià)：學(xué)生通過探究與討論，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的不同表示方式，并對(duì)不同表示方法探究合理性，這是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，拓寬了學(xué)生思維的寬度與廣度.數(shù)學(xué)的發(fā)展很多時(shí)候是在已有知識(shí)無(wú)法解決新問題的情況下對(duì)舊體系的不斷擴(kuò)張延伸，從而產(chǎn)生新知的過程.

（三）深度研究，全面構(gòu)建

問題5 我們用（x，y）和（r，α）刻畫了點(diǎn)的位置，那（x，y）與（r，α）有何關(guān)系？你能用怎樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫這兩者之間的聯(lián)系？

生：過點(diǎn)P作PH⊥x軸，則sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx.

師：你是如何想到的？

生：放在直角三角形中.

師：sin α，cos α，tan α之間又有何關(guān)系？

生：sin2α+cos2α=1，tan α=sin αcos α.

師：此時(shí)α的范圍應(yīng)該是0°～90°.sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx能否看成關(guān)于α的函數(shù)？

生：是函數(shù)，因?yàn)槊恳粋€(gè)α對(duì)應(yīng)唯一的函數(shù)值.

師：請(qǐng)你回憶一下函數(shù)的定義.

生回憶并描述，發(fā)現(xiàn)定義域是角度，不是實(shí)數(shù)，所以發(fā)現(xiàn)問題，需要引入一個(gè)新的度量單位來(lái)衡量角度.

師：這個(gè)角度的重新度量，你覺得和誰(shuí)有關(guān)系？

生：與轉(zhuǎn)過的角度有關(guān).

師：這就是我們前面所提的（r，l）與（r，α）之間的關(guān)系，你能給這種度量單位起個(gè)名字嗎？

生：既然與弧長(zhǎng)有關(guān)，我們就稱為弧度制.

師：非常好，這樣我們就重新度量了角.

反饋評(píng)價(jià)：弧度制引入的必要性可以從兩方面說明：（1）從初中三角函數(shù)切入，讓新知與舊知發(fā)生聯(lián)系，引發(fā)矛盾.從函數(shù)的定義入手，引發(fā)角度值與實(shí)數(shù)的矛盾，從而產(chǎn)生重新度量角的需要.（2）歷史上三角函數(shù)的引入是為了天文學(xué)上簡(jiǎn)化計(jì)算，弧度制的引入是因?yàn)榻嵌戎茣?huì)引發(fā)計(jì)算的煩瑣，為了計(jì)算簡(jiǎn)便引入了弧度制.所以教師在課上可以舉幾個(gè)例子，讓學(xué)生體會(huì)角度值的計(jì)算較為煩瑣，從而產(chǎn)生要簡(jiǎn)化運(yùn)算的強(qiáng)烈愿望.

師：弧度制與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.既然我們已經(jīng)把角拓展到了任意角，顯然我們也可以將三角函數(shù)拓展到任意角的三角函數(shù).

師：角α的終邊繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈、二圈、三圈……得到的角β與α有何聯(lián)系？

生：β=α+k·360°，三角函數(shù)值相等.

師：你能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示嗎？

生：sin（α+360°）=sin α，cos（α+360°）=cos α，tan（α+3600）=tan α.

師：這個(gè)公式我們稱之為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，后面我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)過不同的角度對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)的關(guān)系.在這個(gè)公式中，我們體會(huì)到了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力.

師生共同總結(jié)：我們得到了刻畫周而復(fù)始現(xiàn)象的函數(shù)——三角函數(shù).以后我們需要研究函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖像等.

師：我們說三角函數(shù)是描述周而復(fù)始的現(xiàn)象，所以它具有周期性，你現(xiàn)在能從函數(shù)的角度來(lái)描述這一周而復(fù)始的現(xiàn)象嗎？

生：當(dāng)角的終邊繞過一圈后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是一樣的時(shí)，也就是具有周期性.

生：終邊相同的角三角函數(shù)值是相同的.

師：至此，我們就用三角函數(shù)的模型來(lái)刻畫圓周運(yùn)動(dòng)這一周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng).我們發(fā)現(xiàn)談到轉(zhuǎn)一圈、兩圈等整數(shù)圈的時(shí)候?qū)?yīng)的三角函數(shù)值是不變的，那終邊轉(zhuǎn)半圈、四分之一圈時(shí)的三角函數(shù)值又會(huì)有哪些變化，這是我們之后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

師：在學(xué)習(xí)的過程中，因?yàn)槌踔兴鶎W(xué)的角度不能解決現(xiàn)有的問題，引入了任意角的概念;因?yàn)楹瘮?shù)定義和簡(jiǎn)化運(yùn)算的需要，引入了新的度量角的單位;因?yàn)榻堑闹匦露x，對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行再一次的定義.數(shù)學(xué)發(fā)展是曲折的，很多問題從提出到解決往往要經(jīng)歷好幾個(gè)世紀(jì)，才能構(gòu)造新的體系來(lái)解決問題，比如微積分的創(chuàng)立、數(shù)系的擴(kuò)充.

反饋評(píng)價(jià)：引導(dǎo)學(xué)生思考從生活中數(shù)系是怎么擴(kuò)充的，從數(shù)學(xué)內(nèi)部數(shù)系又是怎么擴(kuò)充的，讓學(xué)生再次體會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，樹立解決問題的信心和勇氣.

三、回顧與反思

（一）為何要上引言課

所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.在這個(gè)過程中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識(shí)，理解學(xué)習(xí)的過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級(jí)的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀;成為既具有獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神、基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來(lái)社會(huì)歷史實(shí)踐的主人.[1]

引言課的主要目的是在學(xué)科的分支的第一節(jié)課上帶領(lǐng)學(xué)生“游花觀景”，向?qū)W生介紹為什么要學(xué)習(xí)該章節(jié)的內(nèi)容（Why）;通過一些簡(jiǎn)單有趣典型的例子揭示學(xué)習(xí)的主要知識(shí)脈絡(luò)及思想方法，即學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容（What）與從什么方向來(lái)研究這些內(nèi)容（How）.一言以蔽之：了解過去，展望未來(lái)，激發(fā)興趣;一斑窺豹，充滿期待，再創(chuàng)輝煌[2].引言課數(shù)學(xué)大單元教學(xué)，給學(xué)生提供了一種新型的研究問題以及學(xué)習(xí)的方式，在傳統(tǒng)的零碎的知識(shí)上首先有個(gè)大概的框架，接下來(lái)就是自主完善框架的過程.在這樣的引導(dǎo)下，學(xué)生就有了自己去探究未知問題的意識(shí)，并能領(lǐng)會(huì)到探究未知世界的樂趣.利用章引言課搭建的學(xué)科基本結(jié)構(gòu)將更為完整，更利于學(xué)生深刻理解概念及其相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念的“大觀念”，引導(dǎo)學(xué)生像“數(shù)學(xué)家一樣思考”，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的良好構(gòu)建，形成有助于未來(lái)發(fā)展的核心素養(yǎng).

（二）怎樣上好引言課

大單元教學(xué)著眼于一個(gè)“大”字.首先體現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容的“大”，教學(xué)內(nèi)容不再局限于單篇單節(jié)內(nèi)容，而是對(duì)一個(gè)章節(jié)或一個(gè)主題內(nèi)容的整合再現(xiàn)的過程，注重知識(shí)的生成，重視學(xué)生當(dāng)下學(xué)習(xí)的內(nèi)容與前后所學(xué)習(xí)內(nèi)容的聯(lián)系;其次體現(xiàn)在教學(xué)視野的“大”，教學(xué)不再只盯著書本知識(shí)與考點(diǎn)，而是拓展到課外的學(xué)習(xí)與生活，注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，與歷史的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)文化育人的目的.

引言課要盡量挖掘即將學(xué)習(xí)的這一章節(jié)中既具有典型性、趣味性、藝術(shù)性等人文價(jià)值，又能體現(xiàn)主要內(nèi)容和思想方法的元素，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生對(duì)新課的向往.本節(jié)課中由生活場(chǎng)景切入，學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，同時(shí)由學(xué)生合作的問題中產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，調(diào)動(dòng)了學(xué)生思考的主動(dòng)性，產(chǎn)生解決問題的迫切要求.

大單元教學(xué)對(duì)學(xué)生和老師都是一個(gè)挑戰(zhàn).對(duì)學(xué)生而言，需要從整體把控學(xué)習(xí)內(nèi)容，掌握學(xué)習(xí)方法，構(gòu)建屬于自己的知識(shí)體系，對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行深度加工;對(duì)老師而言，對(duì)單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容及重難點(diǎn)的把控是最基本的要求，更要弄清要教什么、哪些內(nèi)容要重點(diǎn)教、哪些內(nèi)容不要教、哪些內(nèi)容拓展地教，只有研究清楚授課內(nèi)容，才能把時(shí)間放在真正需要重點(diǎn)關(guān)注的關(guān)鍵內(nèi)容上，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系.

郭華老師說：“過去用‘跳一跳摘桃子’來(lái)描述學(xué)生的‘最近發(fā)展區(qū)’，實(shí)際上是極大地低估了學(xué)生可能達(dá)到的未來(lái)水平，也極大地降低了教師應(yīng)該對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)所起到的幫助作用.學(xué)生的未來(lái)水平或教學(xué)要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)的發(fā)展水平應(yīng)該確定為：無(wú)論學(xué)生自己怎么跳都‘夠不著’，但在教師的幫助下學(xué)生能‘夠得著’，這樣才能極大地激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性.”[4]在省骨干教師培中，多位教師對(duì)本節(jié)內(nèi)容同題賽課，學(xué)生的反饋也各有不同，部分學(xué)生感覺沒有學(xué)到什么東西，或者太難，或者太模糊，導(dǎo)致沒有收獲.

教之道在于度，學(xué)之道在于悟.講多了那就是灌輸，將一章節(jié)的內(nèi)容一節(jié)課講完，那就只能灌輸;講少了學(xué)生覺得什么都沒有學(xué)到，也不知道研究的方向和意義;講沒趣了學(xué)生覺得難受，沒有研究的興趣……怎樣把握這個(gè)度？怎樣引起學(xué)生學(xué)習(xí)這個(gè)章節(jié)的興趣？怎樣幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，達(dá)到本不能達(dá)到的高度？這就需要教師、要求教師要認(rèn)真鉆研教材，精心設(shè)計(jì)問題，激發(fā)認(rèn)知沖突，搭起知識(shí)框架，以淺顯的例子說明道理，以思想和文化引領(lǐng)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生真正體會(huì)深度學(xué)習(xí)的過程.

（三）本節(jié)課的幾點(diǎn)改進(jìn)措施

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育的功能，重視數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)文化.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，在數(shù)學(xué)和人文之間架起一座橋梁，在德育上可以發(fā)揮獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).基于這個(gè)理念對(duì)本課提出幾點(diǎn)改進(jìn)措施.

改進(jìn)1 引入周期現(xiàn)象的時(shí)候加入文化背景：最先描述的周期現(xiàn)象都與時(shí)間有關(guān).例如，由任何一天離開子午線，直至第二天返回同一子午線的時(shí)間間隔被稱為太陽(yáng)日，太陽(yáng)日是一種自然界中可以被觀察到的周期現(xiàn)象;月份是月亮重新回到剛升起時(shí)那一點(diǎn)所需經(jīng)歷的周期，由27天組成.在萌芽階段，數(shù)學(xué)家大多從天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律出發(fā)來(lái)研究周期現(xiàn)象.

改進(jìn)2 在研究三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)具有周期性，引入數(shù)學(xué)家對(duì)周期函數(shù)的探索過程，加深學(xué)生的印象，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感.

1904年，泰勒指出：“由于角度的增大，每一個(gè)三角函數(shù)反復(fù)出現(xiàn)相同系列的值，因?yàn)榉Q這些函數(shù)為三角函數(shù).”

1909年，格蘭維爾稱：“當(dāng)角速度增加或減小時(shí)，每一個(gè)三角函數(shù)反復(fù)經(jīng)過同樣系列的值，故稱其為周期函數(shù).”

在課堂中我們能與先哲的想法遙相呼應(yīng)，也是很有意思的事.

弗賴登塔爾（H.Freudenthal）說數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”.教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)家的思維思考問題，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以激發(fā)學(xué)生的興趣，跨越時(shí)空的思想交流，讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)、樹立學(xué)習(xí)的自信心，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì).

知識(shí)是數(shù)學(xué)思想和方法的載體.我們需要幫助學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解，這包括知識(shí)的本身，更重要的是通過知識(shí)，理解數(shù)學(xué)的思想和方法.上好數(shù)學(xué)引言課，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，有助于保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，給予數(shù)學(xué)人文的一面，有助于學(xué)生理解新知識(shí)并對(duì)即將要學(xué)習(xí)的知識(shí)有一個(gè)總體的把控，對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系有更清楚的認(rèn)識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)新知識(shí)的積極性.

【參考文獻(xiàn)】

[1]郭華.深度學(xué)習(xí)及其意義[J].課程 教材 教法，2016（11）：25-32.

[2]文衛(wèi)星.解析幾何引言教學(xué)實(shí)錄——兼談磨課[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（6）：34-38.

[3]文衛(wèi)星.“三度”視角下的引言課[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（1）：20-22.

[4]郭華.如何理解“深度學(xué)習(xí)”[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2020，47（1）：89-95.

[5]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2020.