程青彪，陳廣云，王大文，李欣庭，馮 潔

（云南師范大學 物理與電子信息學院，云南 昆明 650000）

引 言

隨著數(shù)字技術的不斷發(fā)展，我國對于顏色精確復制的研究也在不斷向前推進。目前使用較多的顏色復制的方法是通過多光譜成像系統(tǒng)以及分光光度計，測出訓練樣本在各個波段的響應值以及不受其他條件干擾的光譜反射率，從而進行光譜反射率重建該方法能夠較好的完成顏色重建工作。所使用的方法主要包括偽逆法[1]、多項式擴展法[2]、主成分分析法（PCA法）[3-4]、BP神經網絡[5]等，其中，BP神經網絡是一種重建精度較高的方法。它將相機響應值與經過奇異值分解的訓練樣本的主成分系數(shù)進行建模，然后使用建立好的模型以及測試樣本的響應值得出測試樣本的主成分系數(shù)，將其與基向量結合完成光譜反射率的重建[5]。

使用BP神經網絡重建光譜反射率不可避免的需要用到訓練樣本與測試樣本，因此樣本的選擇對于重建精度也會產生較大的影響[6]。針對這一問題，研究人員也提出了許多樣本選取方法，主要包括Hardeberg提出的最小條件數(shù)選取方法[7]、Shen等提出的特征向量優(yōu)化的顏色樣本選取方法[8]、Mohammadi等提出的光譜空間距離聚類的樣本選取方法[9]，以及龍艷群等提出的聚類方法[6]等。在選擇樣本時，使用聚類算法可以對樣本進行更精確的分類。龍艷群等[6]在實驗中采用的聚類方法主要是基于色度空間對于所有樣本進行聚類分析，即在CIEL*a*b*色度空間對樣本從a*、b*兩個維度進行聚類，然而，這種方法沒有包含樣本亮度信息。本文通過將信息相近的樣本分為一類以提高重建精度，為了使實驗能夠在一定程度上減少工作量的同時保證聚類效果，提出針對相機響應值直接進行模糊聚類的光譜反射率重建算法。這種模糊聚類方法能夠對樣本顏色信息和亮度信息同時聚類，更多的利用了樣本自身的信息，能夠通過相近顏色的樣本進行訓練與重建，從而提高重建精度。在實驗中，首先根據(jù)均方根誤差初步確定出最優(yōu)聚類數(shù)目[10]，之后使用BP神經網絡、主成分分析法進行光譜反射率重建并對結果進行對比評價。實驗結果表明，本文所提出的方法對于光譜反射率重建精度有較高的提升。

1 光譜反射率重建算法

1.1 主成分分析法（PCA法）

光譜反射率重建一般是利用多光譜成像系統(tǒng)設備響應值來重建顏色的光譜反射率，其實質是建立樣本的相機響應值與光譜反射率之間轉換矩陣，利用轉換矩陣實現(xiàn)光譜重建。而在實際實驗的過程中，通過分光光度計獲取的光譜反射率數(shù)據(jù)特征較多，存在部分噪聲，對實驗效果會產生一定的影響。使用PCA法能夠對高維數(shù)據(jù)進行降維處理，從而降低噪聲的影響[11]。它將多維的光譜數(shù)據(jù)分解為一系列的特征向量的線性疊加，后通過分解出的主成分系數(shù)進行光譜反射率重建。

將光譜反射率數(shù)據(jù)集R表示為n個相互正交的特征向量bi的線性組合[12]，則：

式中：B=[b1,b2,···,bn] 是特征向量矩陣；a=[a1,a2,···,an]T是轉換矩陣，即主成分系數(shù)。對反射率數(shù)據(jù)集進行奇異值分解可得：

其中，S是由大到小排列的奇異值組成的對角矩陣：度可以通過主成分貢獻率 ρk來表示，即：

原光譜反射率數(shù)據(jù)可以通過選取前k個主成分進行線性組合來表示。前k個主成分的重要程

式中： λi為第i個主成分的貢獻量；n為總的主成分個數(shù)。

1.2 BP神經網絡

BP神經網絡由輸入層、隱含層、輸出層三部分構成，其學習過程包括向前傳遞和向后傳播兩部分。在進行正向傳播時，樣本數(shù)據(jù)從輸入層傳入，經過隱含層逐層處理后，最終傳向輸出層[5,13]，即：

式中：S為輸出值；X為輸入值；f為激活函數(shù)，實驗選用Sigmoid函數(shù)進行激活；W為權值；b為閾值。

如果輸出層的實際輸出與期望輸出不符，那么將進入誤差的反向傳播階段。誤差的反向傳播將輸出誤差通過隱含層向輸入層逐層反傳，并將誤差分攤給各層的所有單元，從而獲得各層單元的誤差信號：

式中：E為誤差；SE為期望輸出；為實際輸出值。

誤差信號將作為修正各單元權重的依據(jù)對網絡中每一個神經元進行權重調整，進而使輸出值接近期望目標。

在本文實驗中，采取雙層向前型神經網絡結構，成像系統(tǒng)相機的響應值作為神經網絡系統(tǒng)的輸入值，輸出值則為主成分系數(shù)。該神經網絡的第一層有10個神經元，輸出函數(shù)為Tansing函數(shù)；第二層有8個神經元，輸出為Purelin線性函數(shù)。輸入信號為相機響應信號向量，使用數(shù)據(jù)集中前8個特征向量來代表整體，與其相對應的系數(shù)作為主成分系數(shù)。神經網絡中的權值和閾值可通過訓練樣本擬合數(shù)據(jù)而得到，通過訓練好的神經網絡，得到測試樣本主成分系數(shù)，再將它與基向量計算從而得出重建的光譜反射率[5]。

2 顏色模糊C-均值聚類算法（FCM）

在進行光譜反射率重建的研究中由于光譜數(shù)據(jù)維度高且較冗雜的現(xiàn)象，會使重建工作耗費更多的時間且重建精度較低，因此研究者們采用不同的樣本選擇進行光譜反射率重建來提高重建精度。本文在此基礎上，根據(jù)顏色RGB信息的空間距離來對色卡數(shù)據(jù)進行模糊C-均值聚類，并對聚類后每一類的樣本進行光譜反射率重建來驗證其可行性。

模糊C-均值聚類是眾多模糊聚類算法中使用最廣泛且比較成功的一種，它通過優(yōu)化目標函數(shù)得到每個樣本點對所有類中心的隸屬度，然后決定每個樣本點的類屬以達到自動對樣本數(shù)據(jù)進行分類的目的。

其目標函數(shù)為：

式中：Uij為第j個樣本對于第i類的隸屬度；Ci為第i個聚類中心；m為大于等于1的常數(shù)；xj為第j個樣本。目標函數(shù)實質是各樣本點到各類的歐式距離的和（誤差的平方和）。聚類的過程就是最小化目標函數(shù)的過程，經過反復的迭代逐步降低目標函數(shù)的誤差值，當目標函數(shù)收斂時，就能夠得到最終的聚類結果[13]。

對于目標函數(shù)，還存在限制條件：

3 實驗與結果分析

本文實驗以Munsell色卡作為研究樣本，采用CIE推薦的45/0（45°/垂直）照明和觀測條件，利用佳能相機在D65標準光源下，拍攝Munsell色卡的RGB圖像以獲取相應的相機響應值。同時，使用分光光度計X-Rite SP64在D65光源2°視場下，以10 nm為間隔采集400～700 nm波長的Munsell色卡的光譜反射率數(shù)據(jù)。Munsell色卡共包含1 602個色塊，為了確保實驗的有效性，實驗取出第10i（i=1，2，3 ··· ）個色塊作為測試樣本，其余色塊作為訓練樣本，因此實驗共有1 442個訓練樣本，160個測試樣本。通過對測試樣本RGB信息聚類從而將樣本分為顏色相近的每一類，后使用BP網絡進行每一類樣本的光譜反射率重建。CIE2000色差 ΔE00[14]以及適應度系數(shù)GFC[15]。

對于光譜反射率重建結果的評價采用RMSE、RMSE的大小能夠直接反應出重建效果的好壞。色差主要用來評定在色度角度的重建效果，色差越小重建效果越好。適合度系數(shù)GFC是重建反射率與實際反射率之間的余弦角，它能夠反映出重建反射率的光譜精度。

3.1 顏色模糊聚類（FCM）

在使用聚類算法進行實驗的過程中，聚類的個數(shù)是影響算法精度的一個主要因素，因此本文利用平均RMSE作為聚類的有效索引來尋找測試樣本最優(yōu)的顏色聚類數(shù)目，如圖1所示。圖2為測試樣本的聚類情況分布圖。

圖1中RMSE隨著聚類數(shù)目的增多先呈下降趨勢，后產生一定的上下振蕩，最后逐漸增大。產生該現(xiàn)象可能是由于色塊的RGB值分布較為散亂，對聚類分析產生了一定的影響。當聚類數(shù)目確定在一定范圍內時，系統(tǒng)能夠較好的對色塊進行聚類，而當聚類數(shù)目大于或小于此范圍時，聚類效果將會大大降低。從圖1中可以看出，以平均RMSE作為特定類的有效索引，類太少或太多都不能達到有效聚類，只有當聚類數(shù)目為7時，達到該特定的類索引的最佳值。圖2所展示的是聚類數(shù)目為7時的測試樣本分布圖，可以看出聚類的效果也較好。因此本實驗采用聚類數(shù)目為7類，其平均RMSE達到最小值0.014 9。圖3對于每一類色塊進行了具體展示，可以看出同一類的色塊大體具有較為相近的顏色。

圖1 不同聚類數(shù)的平均RMSEFig. 1 Average root mean square error of different clustering numbers

圖2 測試樣本聚類情況分布圖Fig. 2 Test sample clustering distribution map

圖3 160測試樣本聚類結果Fig. 3 Clustering results of 160 test samples

表1 不同類別RMSE與ΔE00比較Tab. 1 Comparison of root mean square error and chromatic aberration of different categories

為了能夠客觀的分析每一類樣本的光譜反射率重建效果，表1展示了每一類樣本反射率重建后的平均RMSE與ΔE00，從表中可以看出7類樣本的平均RMSE和ΔE00總體都偏小，其中，第一類樣本的平均RMSE最小，而最小平均ΔE00則是第三類樣本，其他樣本的平均RMSE和平均ΔE00也并沒有直接聯(lián)系，因此對于光譜反射率重建的結果需要從不同的維度進行分析對比。

3.2 不同重建方法對比

為了驗證文中所提出的方法的可行性與有效性，我們對采用顏色模糊聚類-BP神經網絡重建法（FCM-BP）與未聚類之前的BP神經網絡重建法（BP）、PCA法以及聚類后主成分分析法（FCM-PCA）的光譜反射率重建效果進行對比，結果如表2所示。

從表2可以看出，無論BP法還是PCA法，經過聚類后的結果都優(yōu)于未經過聚類處理的結果，而經過聚類后的BP重建方法效果最優(yōu)，其平均RMSE達到了0.014 9，平均ΔE00降到了0.836，GFC提高到了99.82%。圖4是隨機抽取的色塊利用以上4種方法重建后的光譜反射率曲線。從圖4可以看出，除第一幅重構曲線外，本文提出的方法與其他三種方法所重建出的光譜反射率在高反射率情況下的對比相較于低反射率情況下更加明顯，產生該現(xiàn)象可能是由于所選樣本在低反射率的情況下重建效果恰好較好。而第一幅曲線在低反射率和高反射率情況下的對比均較為明顯，這也取決于對重建樣本色塊的選擇。整體來看，本文所提出的FCM-BP算法重建出的光譜反射率與真實反射率曲線雖然還存在一些偏差，但整體比較吻合，也更優(yōu)于其他三種方法，對于Munsell色卡的重建擬合度和精度更優(yōu)。圖5是四種重建方法重建出的色塊的ΔE00比較圖，柱狀圖中各個柱形表示不同ΔE00范圍的色塊數(shù)量。

表2 不同重建方法結果Tab. 2 Results of different reconstruction methods

圖4 部分色塊光譜反射率重建曲線Fig. 4 Spectral reflectance reconstruction curve of partial color block

圖5 不同重建方法ΔE00比較Fig. 5 Color difference comparison of different reconstruction methods

由圖5可以看出，由FCM-BP算法重建出的色塊ΔE00最小，其中有140個色塊的ΔE00小于1.5，ΔE00大于1.5小于3的色塊有17個，ΔE00在3和4.5之間的色塊有3個；沒有ΔE00大于4.5的色塊，明顯優(yōu)于其他三種方法；而ΔE00在3到4.5之間的3個色塊分別為第240色塊、第330色塊和第370色塊，均屬于第六類樣本，且該類中也有4個色塊的ΔE00在1.5和3之間，由此可見第六類樣本的光譜反射率重建效果相比于整體較差。

針對FCM-BP算法重建出的色塊中有三個ΔE00在3到4.5的現(xiàn)象，實驗對其進行一定程度的優(yōu)化處理：采用多項式擴展法[15-16]通過擴充色塊響應值信息后再對第六類樣本進行重建。實驗根據(jù)對ΔE00較大的三個色塊的優(yōu)化程度選擇多項式擴展項數(shù)為14項，此時重建色塊與未擴展前的第六項色塊ΔE00與RMSE對比如表3所示。

從表3可以看出，重建后第240色塊的RMSE和ΔE00產生了一定程度的上升，但在可接受的范圍內，而另兩個色塊的RMSE和ΔE00均有一定的減小，樣本ΔE00分布由原來三個在3到4.5之間優(yōu)化到了一個，優(yōu)化后第六類色塊的平均ΔE00與平均RMSE分別由1.260和0.017 3降低到1.247和0.016 2。

從實驗結果可以看出，直接利用RGB顏色信息對樣本進行聚類，然后再針對部分聚類后重建效果不夠理想的類進行多項式擴展，最后進行光譜反射率重建，能夠對樣本數(shù)據(jù)進行有效優(yōu)化，可較好的被應用于光譜反射率重建的研究中。

4 結 論

本文針對光譜反射率重建樣本選擇的研究，在現(xiàn)有方法的基礎上提出了使用樣本顏色RGB信息進行聚類的樣本選取方法，首先確定出最優(yōu)的聚類數(shù)目，隨后再使用BP神經網絡對于每一類樣本分別進行光譜反射率重建。這樣選取出的樣本選擇可以使樣本在色度空間具有較強的一致性。對于實驗的結果分別從色度角度、光譜角度以及適應角度進行評價。結果表明，本文提出的顏色聚類的光譜反射率重建方法具有較好的光譜精度與色度精度，所得的結果優(yōu)于現(xiàn)有的PCA以及BP神經網絡等算法，同時對于實驗結果中一些ΔE00較大的色塊進行了一定程度的優(yōu)化處理，在光譜重構、光譜數(shù)據(jù)處理等領域具有一定的應用前景。

表3 第六類色塊優(yōu)化前后ΔE00與RMSE對比Tab. 3 Comparison of color difference and root mean square error before and after the sixth color block optimization