杜海洋

摘要：2021年成都市高三一診理科數(shù)學(xué)壓軸16題由2018年江蘇卷13題改編而成，屬于典型的“同題”，筆者對學(xué)生的多種解法作對比分析，剖析學(xué)生解題過程中存在的問題.提出基于宏觀優(yōu)化解題目標(biāo)策略，并再以2018年江蘇卷13題為例，給出解題教學(xué)問題設(shè)計思維.

關(guān)鍵詞：高考真題;一題多解;優(yōu)化策略

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0006-05

1 一道高考題及其分析

2018年江蘇卷13題，是一道解三角形求最值問題，題型常規(guī)但不乏新意，解法眾多但多解歸一.本題作為全卷第13題（次壓軸填空題）而成為2021年成都市高三一診理科數(shù)學(xué)壓軸16題，自身有一定難度和新意.解題方法較多，文＼[1＼]不同方法之間效果（思維、時間、運(yùn)算、書寫等要求差異較大）相去甚遠(yuǎn)，在邏輯推理思路、運(yùn)算繁簡、解題過程表達(dá)、時間成本付出等諸方面大相徑庭.本題真正體現(xiàn)了高考突出“多考想、少考算”，在思維層次上區(qū)分的命題立意.但是，深層次探討這些差異產(chǎn)生的原因，可以說都主要指向了解題過程的優(yōu)化策略.這里筆者將通過對此道高考題的分析，談一下解題優(yōu)化策略.

1.1 模擬題目

（成都市2019級高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測理科16題）在△ABC中，已知∠A=2π3，∠A的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，AD=2.則AB+2AC的最小值為.

答案6+42.（解答略，請讀者仿照下面高考試題解答完成）

1.2 真題再現(xiàn)

（2018年江蘇高考）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為.

1.3 真題解析

解法1由題意可知S△ABC=S△ABD+S△BCD.

由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式，得

12acsin120°=12asin60°+12csin60°.

即ac=a+c，得1a+1c=1.

下面求4a+c的最小值

思路1（利用基本不等式） 4a+c=（4a+c）·（1a+1c）=

ca+4ac+5≥2ca·4ac+5=4+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac

，即c=2a時等號成立，故4a+c的最小值為9.

思路2（構(gòu)成方程，利用判別式求最值）由法1可得出a+c=ac.

令4a+c=t，則c=t-4a.

代入a+c=ac，得關(guān)于a的一元二次方程

4a2-t+3a+t=0.

由△=t+32-16t≥0，即

t-1t-9≥0，

解得t≤1或t≥9.

由已知BD=1可得tmin=9成立.

思路3（構(gòu)造線性規(guī)劃求最值）由法1得a+c=ac.

設(shè)a=x，c=yx>0，y>0，即xy=x+y.

所以y=xx-1=1+1x-1（x≠1）.

所以y′=-1x-12.

令Z=4x+y，則當(dāng)直線Z=4x+y與曲線y=xx-1如圖1所示相切時Z取最小值.

設(shè)切點(diǎn)Mx0，y0，所以-1x0-12=-4.

解得x0=32，y0=3.

此時Zmin=4×32+3=9.

評注本題實(shí)際上涉及解三角形知識，因為要建立a，c邊的關(guān)系，根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.

解法2（利用正弦定理，邊化雙角）

因為∠ABC=120°，所以在△ABC中，由正弦定理，得

asinA=csinC=bsin120°=233b.

即a=233bsinA，c=233bsinC.

則4a+c=233b4sinA+sinC.

又因為BD平分∠ABC，

所以在△ABD中，ADsin60°=1sinA.

即AD=32sinA.

同理CD=32sinC.

則下面求4a+c的最小值.

思路1（利用基本不等式）

4a+c=233b4sinA+sinC

=233×324sinA+sinC1sinA+1sinC

=5+sinCsinA+4sinAsinC

≥5+24=9，

當(dāng)且僅當(dāng)sinC=2sinA，即sin60°-A=2sinA，即tanA=33時等號成立.

則4a+c的最小值為9.

思路2（利用函數(shù)單調(diào)性求最值）

令sinCsinA=x（x>0），則fx=5+x+4x.

即f ′x=1-4x2=x+2x-2x2.

易得函數(shù)fx在2，+

SymboleB@

單調(diào)遞增，在0，2單調(diào)遞減.

所以fxmin=f2=9.

解法3（利用正弦定理化單角的函數(shù)）

分別在△ABD，△BCD中，由正弦定理，得

1sinA=csin∠ADB，1sinC=asin∠CDB，

即4a+c=4sin∠CDBsinC+sin∠ADBsinA

=4sin120°-Asin60°-A+sin120°-AsinA

=43cosA+sinA3cosA-sinA+32cosA+12sinAsinA

=4·3cosAsinA+13cosAsinA-1+

32·cosAsinA+12.

令cosAsinA=t∈33，+

SymboleB@

，則

上式=4·3t+13t-1+32t+12=5+83t-1+123t-1

≥5+283t-1·123t-1=9.

即當(dāng)且僅當(dāng)83t-1=123t-1，即t=533時等號成立.

評注因為涉及所求邊的關(guān)系在△ABC中，所以在此三角形中找∠A或∠B作為函數(shù)變量.建立函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常見的一個重要方法，此法的關(guān)鍵是合理設(shè)元，再用函數(shù)知識求解，當(dāng)然要留意未知數(shù)的范圍.

解法4（正弦定理入手，建立角化邊）

同法2有

4a+c=233b4sinA+sinC=233·324sinA+sinC1sinA+1sinC

=5+sinCsinA+4sinAsinC=5+ca+4ac=4a+ca+cac.

則可得a+c=ac，下同解法1.

解法5（利用余弦定理建立邊的關(guān)系）

在△ABD中，由余弦定理，得

AD=c2+1-2ccos60°=c2+1-c.

同理，在△DBC中，由CD=a2+1-a，

又由角平分線的性質(zhì)，得ac=CDAD.

即a2+1-ac2+1-c=ac.

兩邊平方整理，得

a-ca+c-ac=0.

若a=c，解得a=c=2，則4a+c=10.

若a+c-ac=0，下同解法1.

評注正弦定理、余弦定理是實(shí)現(xiàn)邊角互化的工具.

解法6由三角形角平分線得向量表達(dá)式

BD=aa+cBA+ca+cBC.

因為BD=1，等式兩邊平方整理，得a+c=ac，下同解法1.

也可將a+c=ac化為a-1c-1=1.

即4a+c=4a-1+c-1+5≥9，

當(dāng)且僅當(dāng)4a-1=c-1時，

即a=32，c=3時等號成立.

評注向量與三角函數(shù)關(guān)系密不可分，本題用基底法表示向量BD是關(guān)鍵.同時在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.

解法7（坐標(biāo)法1）由題設(shè)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，由已知易得A-c2，3c2，D12，32，Ca，0.圖2

由kAC=kDC得3c2-c2-a=3212-a.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法8 （坐標(biāo)法2）由題設(shè)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由已知易得Ac2，-3c2，C12a，32a.

作CM⊥x軸于點(diǎn)M，作AN⊥x軸于點(diǎn)N，則CMAN=DMDN.

即32a3c2=12a-11-12c.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

評注坐標(biāo)法是實(shí)現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的有力工具，解法7，8主要體現(xiàn)了建系的合理性.

解法9（幾何法1）如圖3，過點(diǎn)D作DE∥CB交AB于點(diǎn)E，易得△BDE為邊長為1的等邊三角形.

則1a=c-1c.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法10（幾何法2）如圖4，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，易得△BDE為邊長為1的等邊三角形.

則1c=a-1a.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法11（幾何法3）如圖5，過點(diǎn)C作CE∥DB交AB的延長線于點(diǎn)E，易得△BCE為邊長為1的等邊三角形.

則1a=cc+a.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法12（幾何法4）如圖6，過點(diǎn)A作AE∥BC交BD延長線于點(diǎn)E，易得△ABE為邊長為1的等邊三角形.

則1c-1=ac.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法13（幾何法5）如圖7，延長CB至點(diǎn)E，使BE=AB，連接AE，由已知易得△ABE為邊長為1的等邊三角形.

即BD∥AE.則aa+c=1c.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法14（幾何法6）如圖8，作DE⊥BC于點(diǎn)E，作AH⊥CB的延長線于點(diǎn)H，則易得DE=32，AH=32c，EC=a-12，HC=a+12c.

由DE∥AH，得DEAH=ECHC.

則有3232c=a-12a+12c.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

評注以上6種幾何法可看出從三角形任意點(diǎn)出發(fā)均可作圖，可見作圖的多樣性，其核心都是圍繞角平分線段BD展開.

1.4 考生答題情況簡述

據(jù)筆者調(diào)查，總體來看，考生解答這道題情況并不理想.具體體現(xiàn)在：（1）目標(biāo)意識不強(qiáng)，不明確解題方向，機(jī)械套用公式.例如，本小題的結(jié)論是邊的最值關(guān)系，大方向應(yīng)該是朝著建立邊的關(guān)系變形.但有些考生對“消角留邊”還是“化邊為角”不清楚，一味機(jī)械套用正弦定理、余弦定理，繞來繞去沒有抓住角平分線這一核心.（2）是解題策略選擇不當(dāng)，導(dǎo)致運(yùn)算推理耗時太多.

（3）是分析問題的能力較差.主要表現(xiàn)在思維只停留在正余弦定理范圍，尋求邊a，c的關(guān)系，至于運(yùn)用幾何作圖法，更是鳳毛麟角，說明考生解題方法單一.

2 核心素養(yǎng)下的解題優(yōu)化策略

2.1 核心素養(yǎng)下的解題

數(shù)學(xué)解題，一要先有目標(biāo)，二要整體把握解題過程，可以從大處著眼，小處著手二個層次把握.大處著眼（俗稱大局觀）即：理解題意、弄清條件、明確目標(biāo)是解題的基礎(chǔ).小處著手，就是具體解題過程的實(shí)施，套用基本模型，或建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行邏輯推理，或運(yùn)算變形，還需要把握解題過程與步驟等.當(dāng)然，在解題過程中，有效監(jiān)控伴隨始終，在思維受阻，運(yùn)算推理遭遇困難時，需要調(diào)整優(yōu)化預(yù)案，甚至有時需要改弦易轍，另起爐灶.

2.2 目標(biāo)引領(lǐng)下的解題教學(xué)設(shè)計（片斷）

對2018年江蘇卷13題，前面給出了諸多解法，并對這些解法作了分析.就其解題而言，自然希望能較快找到解決問題的思路，并在明確解題目標(biāo)的基礎(chǔ)上，評估并選擇最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.那么，在解題教學(xué)時，如何引導(dǎo)學(xué)生分析目標(biāo)，尋找恰當(dāng)?shù)乃悸纺兀?/p>

下面給出該題解題中啟發(fā)學(xué)生思考的問題串（要點(diǎn)），當(dāng)然，在具體教學(xué)實(shí)施時，要突出問題的啟發(fā)引導(dǎo)，并隨機(jī)應(yīng)變，順勢而為.①目標(biāo)是求長度（邊）和的最值，大方向是消角化邊，找到兩邊關(guān)系;②所給條件核心是三角形角平分線的長度（唯一一邊值）;③分析所給條件結(jié)構(gòu)，應(yīng)首先考慮用面積關(guān)系或正弦定理;④始終要用到角平分線，盡可能避免b邊出現(xiàn)，可以看出前面給出的多種解法

都圍繞這一目標(biāo)而展開，或者說，這些解法全部指向求a，c的關(guān)系，不同方法只是求的路徑不同.在這一意義下，甚至可以說，其幾種解法只有一種，雖是一題多解，實(shí)則多解一法;⑤再觀察式子a+c=ac與目標(biāo)4a+c結(jié)構(gòu)特征，同時也要引導(dǎo)學(xué)生意識到，直接求出a，c是困難的，應(yīng)該對式子進(jìn)行變形，其本質(zhì)是可以減少字母個數(shù)或整體代換.

從以上方法來看，試題的解答入口很寬，命題設(shè)計上體現(xiàn)了具有開放性和探究性，同時在解法上出現(xiàn)了常規(guī)性和創(chuàng)新性.真正檢驗了考生的邏輯推理核心素養(yǎng)，同時也為我們傳導(dǎo)了平時教學(xué)中對問題的深入探究，進(jìn)一步提升教學(xué)方法.

參考文獻(xiàn)：

[1] 渠東劍.目標(biāo)引領(lǐng)下的解題與解題教學(xué)——以一道高考題為例＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（28）：46-50.

[責(zé)任編輯：李璟]