蔣吉清，章亦然，董北北，陳春來，魏 綱，丁 亮

（1.浙大城市學(xué)院土木工程系，浙江杭州 310015；2.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江杭州 310058）

引言

地鐵可有效緩解城市交通擁堵，但也帶來了噪聲、振動及一系列自身安全問題［1］。受到周邊工程建設(shè)、水文地質(zhì)條件和列車長期循環(huán)荷載等因素影響，部分地鐵隧道區(qū)段道床與下部結(jié)構(gòu)間出現(xiàn)了空洞甚至脫空，對地鐵隧道的正常運營產(chǎn)生了不利影響，嚴(yán)重路段甚至?xí)＜靶熊嚢踩?－4］。在成都地鐵1號線三期工程中，全線共發(fā)現(xiàn)約1 000處道床與管片剝離［5］。因此，研究整體道床軌道局部脫空對地鐵車軌振動的影響具有重要的工程意義。

國內(nèi)外已有不少學(xué)者研究整體道床軌道局部脫空對車軌振動的影響。在地鐵軌道方面，彭華等［6］利用ABAQUS有限元軟件建立了軌道-道床-襯砌三維空間耦合模型，分析了道床局部脫空下的變形，并用實測數(shù)據(jù)對破壞特征進行分析；季存建［7］通過數(shù)值模擬研究了道床脫空在3種不同施工工法下的力學(xué)響應(yīng)，并對道床脫空進行了評價；在高速鐵路方面，田秀淑等［8］利用LS-DYNA建立了軌道板-砂漿層-支承層-路基有限元模型，分析了道床在不同脫空尺寸下系統(tǒng)的頻譜和速度時程曲線特性，并提出了識別砂漿層缺陷的參數(shù)；李培剛等［9］采用有限元方法，建立了列車-軌道-橋梁垂向非線性耦合振動模型，分析了不同脫空區(qū)域尺寸條件下車軌動力響應(yīng)。從現(xiàn)有文獻來看，地鐵隧道整體道床軌道局部脫空主要采用有限元模擬，缺乏較為系統(tǒng)的理論研究。

文中基于車輛-軌道耦合動力學(xué)理論［10－11］，建立了地鐵列車-整體道床軌道-隧道襯砌-地基二維垂向耦合模型，分別考慮了道床底部脫空以及道床、隧道底部同時脫空等不同情況，分析了不同脫空長度和車速下的車軌系統(tǒng)響應(yīng)，并從中提取出對于局部脫空最為敏感的振動指標(biāo)。

1 模型建立及方程求解

1.1 地鐵整體道床車軌系統(tǒng)模型

圖1所示為地鐵列車-整體道床軌道-隧道襯砌-地基二維耦合模型。假設(shè)列車由2節(jié)車廂組成，每節(jié)車廂包括車體、轉(zhuǎn)向架、輪對以及一系、二系懸掛系統(tǒng)，其中，車體、轉(zhuǎn)向架和輪對均簡化為剛體，一系和二系懸掛系統(tǒng)由彈簧-阻尼單元進行模擬，車體和轉(zhuǎn)向架考慮豎向和點頭位移，輪對只考慮豎向位移，共計10個自由度。鋼軌采用兩端簡支的Euler梁［12］模擬，鋼軌下方扣件采用離散的彈簧-阻尼單元模擬。整體道床和隧道襯砌分別采用兩端簡支的Timoshenko梁［13］進行模擬，兩者之間采用離散的彈簧-阻尼單元相連，隧道襯砌周邊的土體也采用離散的彈簧-阻尼單元模擬。

圖1 地鐵整體道床車軌系統(tǒng)Fig.1 Metro train-monolithic track bed system

1.2 車軌系統(tǒng)振動方程

基于達朗貝爾原理，建立列車動力方程如下：

式中：M、C和K分別為列車的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；v為列車的位移向量，共有20個自由度，包括前后2節(jié)車體的豎向位移vc1、vc2和點頭位移φc1、φc2，4個轉(zhuǎn)向架的豎向位移vb,i（i=1，…，4）和點頭位移φb,i（i=1，…，4），8個輪對豎向位移Zw,i（i=1，…，8）；上標(biāo)“··”和“·”分別表示列車位移關(guān)于時間的二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)；F為列車各部分所受的外力矩陣。

鋼軌由一根兩端簡支的Euler梁模擬，其控制方程為：

式中：Er為鋼軌彈性模量；Ir為鋼軌截面慣性矩；vr(x,t)為鋼軌在x位置處t時刻的豎向位移；ρr為鋼軌密度；Ar為鋼軌截面面積；Prs,j為第j個扣件的扣件力；xrs,j為第j個扣件的位置；nrs為扣件數(shù)量；xw,i(t)為第i輪對在t時刻所在位置；P(xw,i(t))為第i輪對在t時刻的輪軌接觸力；δ為狄拉克函數(shù)。輪軌接觸力和扣件力的表達式如式（3）～式（5）所示。

式中：Krs和Crs分別為扣件剛度和阻尼；Kwr為輪軌接觸剛度；zw,i(t)為第i輪對在t時刻的豎向位移；vh(x,t)為整體道床在x位置處t時刻的豎向位移。

整體道床和隧道襯砌分別模擬為兩端簡支的Timoshenko梁，其控制方程表達式如式（6）～式（9）所示。

式中：κh、κt分別為道床和襯砌剪切系數(shù)；Ah、At分別為道床和襯砌橫截面積；Gh、Gt分別為道床和襯砌剪切模量；φh(x,t)、φt(x,t)分別為道床和襯砌在x位置處t時刻的轉(zhuǎn)角位移；vh(x,t)、vt(x,t)分別為道床和襯砌在x位置處t時刻的豎向位移；ρh、ρt分別為道床和襯砌密度；Eh、Et分別為道床和襯砌彈性模量；Ih、It分別為道床和襯砌截面慣性矩；Fh(x,t)為道床所受的扣件反力和襯砌支承反力；Ft(x,t)為道床下傳力和地基土反力；Fh(x,t)、Ft(x,t)公式分別如（10）～式（11）所示。

式中：nhs為道床和襯砌之間離散彈簧阻尼單元個數(shù)；nts為襯砌和土體之間離散彈簧阻尼單元個數(shù)；xhs,j為道床和襯砌之間第j個彈簧阻尼單元位置；xrs,j為襯砌和土體之間第j個彈簧阻尼單元位置；Phs,i(t)、Pts,j(t)分別為在t時刻道床與襯砌間第i個彈簧阻尼單元力和襯砌與土體間第j個彈簧阻尼單元力，公式分別如（12）～（13）所示。

式中：Chs、Cts分別為道床與襯砌間離散單元阻尼；Khs、Kts分別為襯砌和土體間離散單元剛度。

采用模態(tài)疊加法進行正交分解，分別得到鋼軌、道床和襯砌的常微分振動方程，將其與式（1）聯(lián)立，即可得到列車-整體道床-襯砌-地基耦合振動方程，最后利用Newmark算法進行數(shù)值計算。

1.3 局部脫空模型

在地鐵隧道長期運營過程中，道床與襯砌之間、襯砌與地基之間都有可能發(fā)生局部脫空情況，影響地鐵安全運營。圖2為整體道床軌道局部脫空區(qū)段，整體道床與襯砌、襯砌與地基之間離散彈簧-阻尼單元的間距設(shè)為0.1 m，并按從左到右依序編號。在脫空區(qū)段，上下層結(jié)構(gòu)之間發(fā)生局部脫離。為簡化起見，本文假設(shè)脫空區(qū)域道床和襯砌之間的離散彈簧-阻尼單元剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)都設(shè)置為0，且不考慮非線性接觸；當(dāng)考慮襯砌與地基之間的局部脫空時，也類似處理。

圖2 地鐵整體道床軌道局部脫空區(qū)段Fig.2 Local disengagement section of metro monolithic track bed

2 模型驗證及數(shù)值分析

2.1 模型驗證

為驗證模型及計算方法的正確性，將文中結(jié)果跟文獻［14］有限元軟件的計算結(jié)果進行對比。參照文獻［14］的算例設(shè)置，假設(shè)鋼軌長度取為420 m，車速300 km/h，脫空長度2.5 m（距離左側(cè)端點206.4 m～208.9 m區(qū)段），將整體道床模型修改為兩端自由的Timoshenko梁，其它模型參數(shù)如表1所示。

表1 文獻［14］參數(shù)取值Table 1 Parameter values of literature［14］

圖3為本文計算得到的鋼軌位移時程曲線圖。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，本文與文獻［14］的鋼軌垂向位移時程曲線規(guī)律一致，在脫空區(qū)段鋼軌位移均有突變。本文與文獻［14］的鋼軌位移振動幅值分別為0.45 mm和0.53 mm，誤差為15%?？紤]到文獻［14］的列車參數(shù)以及輪軌接觸剛度等部分計算參數(shù)沒有列明，且本文結(jié)果跟文獻［14］結(jié)果整體變化趨勢上基本吻合，因此可以認(rèn)為本文計算方法正確，計算結(jié)果具有可參考性。

圖3 鋼軌位移時程曲線Fig.3 Time history curve of rail displacement

2.2 局部脫空的數(shù)值分析

在下面的算例中，列車及軌道的計算參數(shù)取值參考文獻［15］，其中，鋼軌、道床及襯砌的長度取為325 m，扣件類型為DTVI2-1型，扣件間隔為0.625 m，即，在計算范圍內(nèi)共520個扣件。整體道床和襯砌之間的彈簧-阻尼單元參數(shù)值參考文獻［16］，即彈簧剛度值取為100 MN·m－1，阻尼值取為20 kN·s·m－1。此外，參考《樁基工程手冊》中樁周土反力系數(shù)計算方法并采用Novak法確定地基參數(shù)，即彈簧剛度值取為10 MN·m－1，阻尼值取為375 kN·s·m－1，地鐵列車運行速度取為72 km/h。軌道系統(tǒng)計算參數(shù)見表2。

表2 軌道系統(tǒng)計算參數(shù)Table 2 Track system calculation parameters

假設(shè)整體道床及襯砌之間局部脫空，襯砌與地基之間保持完好接觸，脫空長度為2.0 m，脫空區(qū)域為編號1616到1635的彈簧-阻尼單元區(qū)段（參見圖2標(biāo)示，距離左端點161.5 m～163.5 m），分別計算脫空前后地鐵車軌系統(tǒng)的振動響應(yīng)。

2.2.1 道床局部脫空的影響

圖4為整體道床與襯砌之間局部脫空對地鐵車軌振動的影響。由圖4可見，當(dāng)列車到達脫空區(qū)域（即距離左端點161.5 m～163.5 m，具體見圖4標(biāo)示）附近，相較于未脫空情況，地鐵車軌系統(tǒng)各項動力響應(yīng)都將顯著增大，其中，首車車體豎向加速度幅值在脫空前后分別為4.10×10－5m/s2和5.76×10－4m/s2，增幅最為顯著，達到了1 303.2%。首個轉(zhuǎn)向架豎向加速度幅值分別為2.86×10－3m/s2和7.39×10－3m/s2，增大了159%。道床加速度幅值以及首輪對加速度幅值的增幅分別達到了63.8%和54%。

此外，由圖4（a）可見，脫空情況下車體豎向加速度時程曲線有4個峰值點，分別對應(yīng)著列車4個轉(zhuǎn)向架的前輪對駛過脫空區(qū)域正上方時的車體動力響應(yīng)。此外，當(dāng)首車駛過脫空區(qū)域后，受第2輛車體振動的影響，首車位移和加速度仍有少量增幅。從影響區(qū)域來看，車體豎向加速度受脫空影響的范圍較大，轉(zhuǎn)向架豎向加速度、道床加速度和輪對加速度受脫空影響的范圍較小。

圖4 道床與襯砌間的局部脫空對車軌振動的影響Fig.4 The effect of local disengagement between the monolithic track bed and the lining on the vibration of the train-track system

圖5是地鐵車速在72 km/h情況下，不同脫空長度對車體豎向加速度影響范圍的大小。由圖5可見，脫空長度與車體豎向加速度受影響的范圍呈正相關(guān)，且隨著脫空長度的增加，車體豎向加速度的影響范圍曲線趨于平緩。

圖5 脫空長度對車體豎向加速度的影響范圍Fig.5 The influence range of the disengagement length on the vertical acceleration of the carriage

2.2.2 列車速度的影響

考慮地鐵列車速度對整體道床局部脫空情況下車軌振動的影響，圖6為列車速度取36 km/h、57 km/h、72 km/h、90 km/h和144 km/h情況下，地鐵車軌動力響應(yīng)隨道床脫空長度的變化規(guī)律。

圖6 列車速度及脫空長度對車軌振動幅值的影響Fig.6 The effect of train speed and disengaging length on the vibration amplitude of train-track system

由圖6可見，車體豎向加速度、轉(zhuǎn)向架豎向加速度、輪對加速度、道床加速度、鋼軌位移和道床位移等振動幅值均隨脫空長度的增大而增大。其中，車軌的豎向加速度振動幅值跟列車速度呈正相關(guān)，且隨著車速的增大，脫空長度的變化對車軌振動的影響程度也顯著增大，如圖6（a）、（d）～（f）所示。鋼軌位移、道床位移的幅值隨車速的增大而減小，且在不同車速情況下，脫空長度對車軌振動的影響趨勢差別不大，具體見圖6（b）、6（c）。此外，由圖6（e）、6（f）可知，在常見地鐵列車速度情況下，即車速低于72 km/h時，脫空長度對輪對加速度幅值和道床加速度幅值的影響較小。

當(dāng)整體道床脫空長度一定時，不同列車速度對于地鐵車軌振動的受影響范圍具有顯著影響。以車體豎向加速度為例，當(dāng)整體道床脫空長度取為2.0 m情況下，車體豎向加速度的受影響范圍隨著列車速度的增加而增加，二者近乎呈正比關(guān)系，具體如圖7所示。

圖7 車速對車體豎向加速度的影響范圍Fig.7 Influence range of vehicle speed on carriage vertical acceleration

2.2.3 道床與襯砌同時脫空的影響

在地鐵列車荷載、地面堆載、鄰近工程施工等因素影響下，軟土地區(qū)地鐵隧道易發(fā)生不均勻沉降［17-18］，造成隧道變形以及整體道床與襯砌之間的局部脫空，此外，隧道襯砌與土體之間也可能發(fā)生局部剝離。在下面的算例中，文中同時考慮了道床與襯砌、襯砌與地基之間的組合脫空情況，假設(shè)列車運行速度仍取為72 km/h，分別取4種不同的工況進行對比研究：（1）工況1，道床和襯砌間脫空1.2 m，襯砌和地基間脫空2.0 m；（2）工況2，道床和襯砌間脫空1.6 m，襯砌和地基間脫空2.0 m；（3）工況3，道床和襯砌間脫空2.0 m，襯砌和地基間脫空2.0 m；（4）工況4，道床和襯砌間脫空2.0 m，襯砌和地基間脫空1.2 m。

表3為4種工況下地鐵車軌振動幅值的計算結(jié)果。由表3可知，相較工況1，工況2和工況3情況下的首車車體加速度、首個轉(zhuǎn)向架加速度、輪對加速度和道床加速度幅值均明顯增大，其中，車體加速度幅值分別增大了30.4%、70.3%，轉(zhuǎn)向架加速度幅值分別增大22.8%、50.1%，輪對加速度幅值分別增大10.8%、23.6%，道床加速度幅值分別為12.6%、28.1%；而鋼軌位移、道床位移、襯砌位移及襯砌加速度則變化較小。此外，由表3可知，工況3和工況4的各項振動響應(yīng)幅值差別不大，由此可見，在組合脫空情況下，道床和襯砌之間的局部脫空對車軌振動的影響較為顯著，而襯砌與地基之間的局部脫空對其影響較小。

表3 四種工況下的車軌振動幅值Table 3 Train-track vibration amplitudes under four different cases

3 結(jié)語

本文基于車輛-軌道耦合動力學(xué)理論，建立了地鐵列車-整體道床軌道-隧道襯砌-地基垂向耦合模型，考慮了地鐵隧道底部和整體道床底部的局部脫空情況，并分析了脫空長度和列車速度對于地鐵車軌振動的影響，得到如下結(jié)論：

（1）整體道床局部脫空對車體加速度、轉(zhuǎn)向架加速度等車軌振動響應(yīng)影響范圍遠超出脫空所在區(qū)域，以車體豎向加速度為例，當(dāng)車速為72 km/h，脫空長度在0.4 m～2.0 m時，加速度受影響的范圍在23 m～57 m之間。

（2）整體道床局部脫空會加劇車體加速度、轉(zhuǎn)向架加速度等車軌振動響應(yīng)，以車體豎向加速度為例，當(dāng)整體道床脫空長度為2.0 m時，加速度幅值將增大13倍。

（3）在常規(guī)地鐵車速情況下（低于72 km/h），車體加速度、鋼軌位移和道床位移等振動響應(yīng)對整體道床的脫空長度較為敏感，隨脫空長度的增大而顯著增大，可作為脫空監(jiān)測的敏感振動指標(biāo)。

（4）整體道床底部脫空對地鐵車軌振動的影響較為顯著，而隧道底部脫空對車軌振動的影響較小，難以通過振動變化直接觀測。