謝怡燃，李國華，楊 波*

(1. 昆明理工大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)研究中心 昆明 650500；2. 昆明理工大學(xué)理學(xué)院 昆明 650500)

公交系統(tǒng)作為城市的基礎(chǔ)設(shè)施，對(duì)城市功能的正常運(yùn)轉(zhuǎn)有著重要作用。城市公交系統(tǒng)的研究涵蓋多個(gè)方面，包括公交網(wǎng)絡(luò)的布局優(yōu)化[1-2]、可達(dá)性研究[3-4]和公交起訖點(diǎn)分布[5]等。小世界[6]和無標(biāo)度[7]網(wǎng)絡(luò)的提出，推動(dòng)了各類實(shí)證網(wǎng)絡(luò)的研究[8-11]，交通網(wǎng)絡(luò)作為現(xiàn)實(shí)生活中的重要網(wǎng)絡(luò)受到廣泛關(guān)注。近年來，研究者已經(jīng)對(duì)航空[12-16]、鐵路[10,17]、地鐵[18-19]、公交[20-27]及多種交通工具耦合的多層合作網(wǎng)絡(luò)[28]開展了一系列研究。

目前針對(duì)公交網(wǎng)絡(luò)的研究主要包括拓?fù)涮匦?、靜態(tài)魯棒性和動(dòng)態(tài)魯棒性3 個(gè)方面。在公交網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮匦苑矫妫墨I(xiàn)[20]針對(duì)波蘭22 座城市的公交網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)，盡管各城市公交網(wǎng)絡(luò)規(guī)模不同，但部分拓?fù)涮卣鲹碛衅者m性規(guī)律。如各城市公交網(wǎng)絡(luò)都具有小世界特性，公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的度分布服從冪律分布，最短路徑長度服從非對(duì)稱單峰型分布等。文獻(xiàn)[21]對(duì)北京、上海和南京的公交站點(diǎn)，線路和換乘網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)，公交站點(diǎn)和公交線路網(wǎng)絡(luò)的度分布近似服從冪律分布；公交換乘網(wǎng)絡(luò)累積度分布近似服從指數(shù)分布；公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)和換乘網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性。文獻(xiàn)[22]對(duì)北京和揚(yáng)州的公交線路合作網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)，北京和揚(yáng)州公交線路網(wǎng)絡(luò)的度分布分別近似服從指數(shù)分布和冪律分布。文獻(xiàn)[23]對(duì)北京的加權(quán)有向公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度和強(qiáng)度分布極不均勻，強(qiáng)度分布近似服從冪律分布，具有小世界和無標(biāo)度特性。

在日常運(yùn)營中，道路施工、交通擁堵、自然災(zāi)害等因素可能導(dǎo)致公交站點(diǎn)在短期內(nèi)失去功能，進(jìn)而影響整個(gè)公交網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)魯棒性是指，依據(jù)某種規(guī)則依次移除網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)或邊后，網(wǎng)絡(luò)仍能保持主要功能的能力。在公交網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)魯棒性方面，文獻(xiàn)[24]采用度值攻擊和隨機(jī)故障對(duì)北京、上海、南京和杭州的公交網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)公交網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)故障下的魯棒性強(qiáng)于度值攻擊；度值較大的站點(diǎn)對(duì)維持網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性具有重要作用。文獻(xiàn)[25]采用度值攻擊和隨機(jī)故障對(duì)沈陽市公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)、換乘網(wǎng)絡(luò)、線路網(wǎng)絡(luò)、站點(diǎn)?線路雙層網(wǎng)絡(luò)、線路?換乘雙層網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)，單層網(wǎng)絡(luò)中線路網(wǎng)絡(luò)的魯棒性最強(qiáng)；雙層網(wǎng)絡(luò)中站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)失效對(duì)線路網(wǎng)絡(luò)影響較大；線路網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)失效對(duì)換乘網(wǎng)絡(luò)的影響較大。文獻(xiàn)[26]采用度值攻擊和隨機(jī)故障對(duì)重慶市公交?地鐵雙層網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行的研究表明，雙層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性強(qiáng)于單層網(wǎng)絡(luò)。

網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)魯棒性是指節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)故障引發(fā)級(jí)聯(lián)失效時(shí)，網(wǎng)絡(luò)仍能保持主要功能的能力。在公交網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)魯棒性方面，文獻(xiàn)[27]基于負(fù)載?容量級(jí)聯(lián)失效模型[29]，采用隨機(jī)故障和負(fù)載攻擊對(duì)北京市公交地鐵關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)：網(wǎng)絡(luò)在負(fù)載攻擊下的魯棒性最弱，隨機(jī)故障下魯棒性最強(qiáng)；增加地鐵站點(diǎn)容量能更有效地增強(qiáng)關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)魯棒性；當(dāng)站點(diǎn)容量較小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)效率存在非平衡的相變現(xiàn)象。盡管圍繞公交網(wǎng)絡(luò)已開展了大量研究，但仍有很多有趣的問題有待進(jìn)一步探索。

本文首次研究了依據(jù)站點(diǎn)線路數(shù)(途經(jīng)某車站的公交線路總數(shù))失效后公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。其主要原因是：大部分公交站點(diǎn)被多條公交線路停靠，僅僅考慮節(jié)點(diǎn)度值忽略了這一特性；此外，考慮到同一公交線路對(duì)始發(fā)站和終點(diǎn)站加權(quán)度的貢獻(xiàn)為1 而對(duì)中間車站加權(quán)度的貢獻(xiàn)為2，由于城市公交線路數(shù)較多，從而導(dǎo)致站點(diǎn)線路數(shù)與節(jié)點(diǎn)加權(quán)度間存在顯著差異。因此，站點(diǎn)線路數(shù)是區(qū)別于度值和加權(quán)度值的新參量，研究依據(jù)站點(diǎn)線路數(shù)失效后公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性具有實(shí)際意義。另一方面，人們對(duì)站點(diǎn)重要性的理解也存在差異。度值側(cè)重于網(wǎng)絡(luò)的連通性，即可到達(dá)的相鄰站點(diǎn)越多節(jié)點(diǎn)越重要，而站點(diǎn)線路數(shù)則更多關(guān)注在某車站是否有大量的換乘可能，即停靠車次是否較多。

1 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

1.1 網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建

公交網(wǎng)絡(luò)主要有站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)、換乘網(wǎng)絡(luò)和線路網(wǎng)絡(luò)3 種類型。表1 顯示了不同類型公交網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)和連邊的定義。本文以公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)為研究對(duì)象，從8684 公交查詢網(wǎng)(https://www.8684.cn/)分別獲取成都、重慶、昆明、貴陽和拉薩5 個(gè)城市的公交線路數(shù)據(jù)(截止2021 年7 月23 日)，建立公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)模型。

表1 不同類型公交網(wǎng)絡(luò)的定義

表2 顯示了網(wǎng)絡(luò)的基本拓?fù)涮匦?。其中，N表示公交站點(diǎn)數(shù)，M表示公交線路數(shù)，D表示網(wǎng)絡(luò)直徑，r表示網(wǎng)絡(luò)同配系數(shù)， 〈k〉表 示平均度， 〈L〉表示平均路徑長度， 〈C〉表示平均聚類系數(shù)。顯然，公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)具有同配性；相比而言，貴陽公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的平均度和聚類系數(shù)偏大，網(wǎng)絡(luò)直徑偏小，說明該網(wǎng)絡(luò)的連接相對(duì)緊湊；拉薩公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的平均度和同配系數(shù)較小，平均路徑長度僅次于成都，說明該網(wǎng)絡(luò)的連接相對(duì)松散；此外，成都公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)偏小，平均路徑長度和網(wǎng)絡(luò)直徑較大，顯示網(wǎng)絡(luò)規(guī)模大，連接范圍廣。

表2 公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的基本拓?fù)涮匦?/p>

1.2 累積度分布

度值選擇性失效下，網(wǎng)絡(luò)魯棒性的研究是通過逐步移除度值較大的節(jié)點(diǎn)后，觀察網(wǎng)絡(luò)連通性的變化實(shí)現(xiàn)的。為描述該移除過程中網(wǎng)絡(luò)累積度值的變化，定義網(wǎng)絡(luò)的累積度分布為：

圖1 顯示了5 個(gè)城市公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的累積度分布的半對(duì)數(shù)擬合曲線。結(jié)果顯示：累積度分布近似服從指數(shù)分布，即P(k)～e?βk，擬合曲線的指數(shù)見表3。累積度分布為指數(shù)意味著，在網(wǎng)絡(luò)形成過程中，新增站點(diǎn)與已有站點(diǎn)之間的連接可近似視為隨機(jī)連接[30]。曲線的斜率描述了在逐步移除較大度值節(jié)點(diǎn)的過程中，度分布變化快慢的趨勢。斜率越大，變化越劇烈，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響也越大。從圖1中可以看出，拉薩的累積度分布指數(shù)最大，貴陽的最小。

圖1 半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的累積度分布

表3 累積度分布和累積站點(diǎn)線路數(shù)分布擬合曲線的指數(shù)

1.3 累積站點(diǎn)線路數(shù)分布

站點(diǎn)線路數(shù)是指途經(jīng)某車站的公交線路總數(shù)。本文考慮該值的動(dòng)機(jī)源于，公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)僅描述了站點(diǎn)間的連接關(guān)系而沒有考慮站點(diǎn)被多條公交線路重復(fù)經(jīng)過的情況，且該過程不能通過加權(quán)公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)描述(主要原因是城市公交網(wǎng)絡(luò)線路數(shù)較多，始發(fā)站和終點(diǎn)站對(duì)加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的貢獻(xiàn)與中間車站不同)，因此本文首先對(duì)途經(jīng)站點(diǎn)i的公交線路數(shù)量ni進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。然后類比累積度分布定義累積站點(diǎn)線路數(shù)分布：

圖2 顯示了5 個(gè)城市公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的累積站點(diǎn)線路數(shù)分布的半對(duì)數(shù)曲線。顯然，各城市累積站點(diǎn)線路數(shù)分布近似服從指數(shù)分布P(n)～e?βn，與累積度分布相比，曲線的斜率存在明顯差異，累積站點(diǎn)線路數(shù)分布擬合曲線的指數(shù)見表3。拉薩的指數(shù)較大，昆明和成都次之，其次是重慶，最后是貴陽。

圖2 半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下累積站點(diǎn)線路數(shù)分布

1.4 最短路徑長度分布

在公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)中，最短路徑長度是指從任意初始站點(diǎn)i出發(fā)，到達(dá)任意目的站點(diǎn)j所經(jīng)過的最少邊數(shù)，記為dij。網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度定義為網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點(diǎn)間最短距離的平均值，表達(dá)式為：

式中，N為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。圖3 顯示了5 個(gè)城市公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)最短路徑長度的分布曲線。顯然，重慶、昆明、貴陽和拉薩的最短路徑具有高斯分布特性，而成都的最短路徑長度分布具有長尾特性，出現(xiàn)該特性的原因是成都的公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)包含了很多郊區(qū)線路，導(dǎo)致部分站點(diǎn)間的最短路徑長度值較大。此外，拉薩的最短路徑長度也較大，在距離值為30 的附近表現(xiàn)出一個(gè)下降較為緩慢的平臺(tái)期。

圖3 公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的最短路徑長度分布

1.5 介數(shù)分布

公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)中站點(diǎn)i的介數(shù)是指經(jīng)過該站點(diǎn)的最短路徑數(shù)所占的比例，記為BCi。定義如下：

式中，gst代表從節(jié)點(diǎn)s到節(jié)點(diǎn)t的最短路徑數(shù)目；代表從節(jié)點(diǎn)s到節(jié)點(diǎn)t的最短路徑中經(jīng)過節(jié)點(diǎn)i的數(shù)量。由式(4)可知，歸一化介數(shù)值的取值較為分散，無法直接得到介數(shù)的分布情況。為進(jìn)一步研究介數(shù)選擇性失效下網(wǎng)絡(luò)中累積介數(shù)的變化，定義累積介數(shù)分布為：

累積介數(shù)分布如圖4 所示，可以看到，相同介數(shù)值時(shí)，拉薩的累計(jì)值較大；昆明、貴陽次之；成都、重慶較小。在公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)中，介數(shù)較大意味著該站點(diǎn)被很多線路的最短路徑途經(jīng)，所以，累積介數(shù)值大小顯示了一個(gè)城市對(duì)部分站點(diǎn)的依賴程度。

圖4 公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的累積介數(shù)分布

2 網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)魯棒性分析

2.1 失效方式與評(píng)價(jià)指標(biāo)

網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)魯棒性分析是依據(jù)某種規(guī)則依次移除網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)或邊后，研究網(wǎng)絡(luò)連通性和網(wǎng)絡(luò)效率發(fā)生的變化?？紤]到現(xiàn)實(shí)生活中，交通擁堵、道路維修和自然災(zāi)害等事故會(huì)造成公交站點(diǎn)短期內(nèi)失去功能，因此本文研究不同的站點(diǎn)失效方式下，公交站點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)魯棒性。具體可分為節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)失效和選擇性失效[31]，隨機(jī)失效(RA)模擬自然災(zāi)害對(duì)公交網(wǎng)絡(luò)的影響，選擇性失效模擬公交樞紐站點(diǎn)堵塞和維修對(duì)公交網(wǎng)絡(luò)的影響。由于任意節(jié)點(diǎn)的失效都伴隨網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化從而引發(fā)失效指標(biāo)值的改變，可將選擇性失效細(xì)分為靜態(tài)選擇性失效和動(dòng)態(tài)選擇性失效。靜態(tài)選擇性失效是指在初始網(wǎng)絡(luò)中計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的選擇性失效的指標(biāo)值，按降序依次移除節(jié)點(diǎn)，包括靜態(tài)度值選擇性失效(DA)、靜態(tài)介數(shù)值選擇性失效(BA)和站點(diǎn)線路數(shù)選擇性失效(NBLS)。動(dòng)態(tài)選擇性失效是指依據(jù)當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)的選擇性失效指標(biāo)值移除節(jié)點(diǎn)后，重新計(jì)算新網(wǎng)絡(luò)的指標(biāo)值作為下一輪移除節(jié)點(diǎn)的依據(jù)，包括動(dòng)態(tài)度值選擇性失效(UDA)和動(dòng)態(tài)介數(shù)值選擇性失效(UBA)。

當(dāng)某個(gè)節(jié)點(diǎn)失效時(shí)，移除該節(jié)點(diǎn)將引發(fā)網(wǎng)絡(luò)連通性的改變。為描述這一變化，研究者選取網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對(duì)大小S作為網(wǎng)絡(luò)魯棒性的評(píng)價(jià)指標(biāo)，表達(dá)式如下：

式中，N表示初始網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)總數(shù)；N'表示移除節(jié)點(diǎn)后網(wǎng)絡(luò)中最大連通子圖的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

網(wǎng)絡(luò)的魯棒性可以通過網(wǎng)絡(luò)完全崩潰時(shí)(S=0)移除節(jié)點(diǎn)比例的臨界值來衡量。然而，當(dāng)多個(gè)網(wǎng)絡(luò)的最大連通子圖相對(duì)大小的變化曲線交錯(cuò)或臨界值相近時(shí)，僅通過觀察很難分辨優(yōu)劣。本文引入描述全局魯棒性的評(píng)價(jià)指標(biāo)R，表達(dá)式為[32]：

式中，Q表示失效的節(jié)點(diǎn)數(shù)量；S(Q)表示移除Q個(gè)節(jié)點(diǎn)后最大連通子圖的相對(duì)大小。

本文設(shè)置每次移除0.01N數(shù)量的公交站點(diǎn)，在選擇性失效下，當(dāng)多個(gè)站點(diǎn)的失效指標(biāo)值相同時(shí)，隨機(jī)移除其中之一。為獲得穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果，需要對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行平均，選擇性失效取10 次平均后的結(jié)果，隨機(jī)失效取5 000 次平均后的結(jié)果。

2.2 結(jié)果分析

在公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)中，站點(diǎn)失效將引發(fā)網(wǎng)絡(luò)連通性的改變。圖5 依次顯示了站點(diǎn)線路數(shù)選擇性失效、隨機(jī)失效、度值、動(dòng)態(tài)度值、介數(shù)值和動(dòng)態(tài)介數(shù)值選擇性失效下，不同城市的最大連通子圖相對(duì)大小S隨移除節(jié)點(diǎn)比例f的變化關(guān)系。顯然，相同的失效方式下，不同城市表現(xiàn)出不同的變化趨勢。

圖5a 和圖5c 展現(xiàn)出不一樣的變化規(guī)律，說明站點(diǎn)線路數(shù)并非重復(fù)的平庸參數(shù)。圖5c 與圖1 存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，即累積度分布曲線斜率越大，度值選擇性失效下最大連通片占比變化越快，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越差。產(chǎn)生該現(xiàn)象是因?yàn)槎戎凳蔷W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的直觀描述，度值選擇性失效直接反映了網(wǎng)絡(luò)連通性的變化。相應(yīng)的圖5a 和圖2 的對(duì)應(yīng)關(guān)系相對(duì)弱一些，除貴陽的魯棒性表現(xiàn)較為突出外，其他城市隨著移除節(jié)點(diǎn)比例的增加網(wǎng)絡(luò)魯棒性變化各異。圖5e 和圖4 的對(duì)應(yīng)關(guān)系更差，很難從累積介數(shù)分布曲線推演網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。綜上，度值、站點(diǎn)線路數(shù)和介數(shù)值選擇性失效對(duì)最大連通片占比的影響存在差異，本文認(rèn)為這主要與站點(diǎn)失效方式對(duì)網(wǎng)絡(luò)刻畫角度的不同有關(guān)，度值是公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的直觀描述，站點(diǎn)線路數(shù)是網(wǎng)絡(luò)中公交線路運(yùn)行狀態(tài)的描述，而介數(shù)以被最短路徑通過為標(biāo)準(zhǔn)。圖5b 描述了隨機(jī)失效下，不同城市最大連通片占比隨移除節(jié)點(diǎn)比例的變化關(guān)系。當(dāng)移除少部分站點(diǎn)時(shí)，成都的最大連通子圖相對(duì)大小S下降較快，而隨著移除站點(diǎn)數(shù)的增加，拉薩快于成都。該現(xiàn)象可能是由公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)差異引起的，成都公交網(wǎng)絡(luò)相對(duì)松散，包含很多郊區(qū)線路，隨機(jī)移除節(jié)點(diǎn)對(duì)郊區(qū)線路的影響較大。拉薩由于城市規(guī)模的限制，對(duì)城市中心節(jié)點(diǎn)的依賴較為明顯。此外，隨機(jī)失效下，S隨著移除節(jié)點(diǎn)比例f的變化趨勢較為平緩，幾乎不存在突然跳變現(xiàn)象。這表明選擇性失效對(duì)公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的破壞性強(qiáng)于隨機(jī)失效。

圖5d 和圖5f 為動(dòng)態(tài)度值選擇性失效和動(dòng)態(tài)介數(shù)值選擇性失效下，不同城市的最大連通片占比隨移除節(jié)點(diǎn)比例的變化關(guān)系?？梢钥吹讲煌鞘械淖兓€幾乎坍縮在一起，這說明不斷修正選擇性失效指標(biāo)可以部分消除不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)魯棒性的影響。

圖5 公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對(duì)大小S 與移除節(jié)點(diǎn)比例f 的關(guān)系

為進(jìn)一步比較不同節(jié)點(diǎn)失效方式對(duì)同一網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響，圖6 和表4 分別顯示了5 個(gè)城市在不同失效方式下的最大連通子圖相對(duì)大小S隨移除節(jié)點(diǎn)比例f的變化關(guān)系和R值的大小。顯然，不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)失效下R值最高，S隨著移除節(jié)點(diǎn)比例f的變化趨勢最平緩，魯棒性最好。動(dòng)態(tài)選擇性失效(UDA 和UBA)下，R值較低，網(wǎng)絡(luò)魯棒性較差。靜態(tài)選擇性失效的魯棒性因網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的不同而異?？傊?，表4 中的數(shù)據(jù)與圖片中曲線的變化趨勢相符，隨機(jī)失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)的破壞弱于選擇性失效；選擇性失效下，動(dòng)態(tài)選擇性失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)破壞強(qiáng)于靜態(tài)選擇性失效。

表4 公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)在不同失效方式下的R 值

圖6 各城市公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對(duì)大小S 與移除節(jié)點(diǎn)比例f 的關(guān)系

3 網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)魯棒性分析

在分析網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)魯棒性時(shí)，假設(shè)各站點(diǎn)發(fā)生故障是相互獨(dú)立的。但在現(xiàn)實(shí)生活中，網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的故障可能會(huì)導(dǎo)致相鄰節(jié)點(diǎn)的故障，甚至引發(fā)網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)無法正常工作，這一現(xiàn)象稱為級(jí)聯(lián)失效。網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)魯棒性是指，節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)故障引發(fā)級(jí)聯(lián)失效時(shí)，網(wǎng)絡(luò)仍能保持正常功能的能力。

3.1 負(fù)載?容量級(jí)聯(lián)失效模型

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)站點(diǎn)都擁有負(fù)載量和容量兩個(gè)值，容量是站點(diǎn)所能承載的最大負(fù)載量，當(dāng)負(fù)載量小于等于容量時(shí)，站點(diǎn)正常工作；當(dāng)負(fù)載量超過容量時(shí)站點(diǎn)失效?？紤]到站點(diǎn)負(fù)載分布與網(wǎng)絡(luò)度分布高度相關(guān)[29,33]，假設(shè)公交站點(diǎn)i的初始負(fù)載量Li由下式確定[34]：

式中，β 是節(jié)點(diǎn)負(fù)載控制參數(shù)。

站點(diǎn)容量Ci是站點(diǎn)i可承載的最大負(fù)載量，根據(jù)負(fù)載?容量級(jí)聯(lián)失效模型[29]，假設(shè)站點(diǎn)容量與負(fù)載由下式確定：

式中，α 表示節(jié)點(diǎn)負(fù)載容忍參數(shù)。

當(dāng)某個(gè)站點(diǎn)i失效時(shí)，該站點(diǎn)的負(fù)載Li會(huì)依據(jù)鄰居站點(diǎn)容量進(jìn)行重新分配。i的鄰居站點(diǎn)j獲得的分配負(fù)載?Li→j為[34]：

式中，τi表示i的鄰居集合。站點(diǎn)j的當(dāng)前負(fù)載量包括初始負(fù)載和分配負(fù)載。若當(dāng)前負(fù)載超過容量將引發(fā)站點(diǎn)j失效，失效站點(diǎn)將繼續(xù)分配負(fù)載給鄰居站點(diǎn)。

3.2 算法描述

負(fù)載?容量級(jí)聯(lián)失效算法如下：

1) 初始化公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，輸入?yún)?shù)α、β 的值，設(shè)置失效站點(diǎn)數(shù)a為0，依據(jù)式(8)和式(9)分別計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載量和容量，依據(jù)式(6)計(jì)算當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對(duì)大小S。

2) 選擇節(jié)點(diǎn)的失效方式，移除失效節(jié)點(diǎn)，失效站點(diǎn)數(shù)a的值加1。計(jì)算當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的負(fù)載量，判斷是否產(chǎn)生過載站點(diǎn)，若產(chǎn)生則執(zhí)行步驟3)和4)；若不產(chǎn)生則執(zhí)行步驟5)。

3) 過載站點(diǎn)依據(jù)式(10)將負(fù)載分配給鄰居站點(diǎn)，然后移除該站點(diǎn)。

4) 重新計(jì)算當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)的負(fù)載量，判斷是否產(chǎn)生過載節(jié)點(diǎn)，若產(chǎn)生則回到步驟3)；若沒有則執(zhí)行步驟5)。

5) 計(jì)算當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對(duì)大小S，判斷S是否為0，若S≠0 則回到步驟2)；若S=0 則算法結(jié)束。

運(yùn)用選擇性失效和隨機(jī)失效兩種方式分別對(duì)5 個(gè)城市公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)魯棒性進(jìn)行研究。選擇性失效包括：NBLS、DA、BA、UDA 和UBA。選擇性失效時(shí)，若存在多個(gè)站點(diǎn)失效指標(biāo)值相同的情況，則隨機(jī)移除其中一個(gè)站點(diǎn)。為確保最終結(jié)果的準(zhǔn)確性，需要對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行平均，BA 和UBA 取10 次平均后的結(jié)果，其余選擇性失效取100 次平均后的結(jié)果，隨機(jī)失效取5 000 次平均后的結(jié)果。

3.3 結(jié)果分析

圖7 顯示了在α=1，β=1.5 時(shí)，不同失效方式下，不同城市公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對(duì)大小S隨失效站點(diǎn)數(shù)a的變化關(guān)系。隨著失效站點(diǎn)數(shù)a的增加，網(wǎng)絡(luò)的連通性逐漸降低，最大連通子圖的相對(duì)大小逐漸減小。選擇性失效存在連通性的突然躍變，只需移除少部分節(jié)點(diǎn)就能觸發(fā)級(jí)聯(lián)失效，由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的差異導(dǎo)致躍變點(diǎn)存在差異。隨機(jī)失效下，網(wǎng)絡(luò)連通性的變化則相對(duì)平緩且能夠承受的失效站點(diǎn)數(shù)較多，如圖7b 所示。對(duì)比圖7c 和圖7d 發(fā)現(xiàn)，度值失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)的破壞性強(qiáng)于更新度值，該結(jié)果與靜態(tài)魯棒性相反，其原因可能是，網(wǎng)絡(luò)的初始負(fù)載和容量由最初的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)確定，部分站點(diǎn)失效后，網(wǎng)絡(luò)中最大度節(jié)點(diǎn)不一定擁有最大的負(fù)載和容量值?？紤]到不同城市可能具有不同的α 和β 值，此處不再對(duì)不同城市公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性進(jìn)行對(duì)比分析。

圖7 公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對(duì)大小S 與失效站點(diǎn)數(shù)a 的關(guān)系

為進(jìn)一步研究不同失效方式對(duì)同一網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響，圖8 分別顯示了5 個(gè)城市的公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)在不同失效方式下，最大連通子圖的相對(duì)大小S隨失效站點(diǎn)數(shù)a的變化關(guān)系?？梢钥闯觯S機(jī)失效下的魯棒性遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于選擇性失效，動(dòng)態(tài)選擇性失效強(qiáng)于靜態(tài)選擇性失效的結(jié)論已經(jīng)不再適用。

圖8 各城市公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對(duì)大小S 與失效站點(diǎn)數(shù)a 的關(guān)系

為探究負(fù)載容忍參數(shù)α 與負(fù)載控制參數(shù)β 對(duì)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)魯棒性的影響，本文進(jìn)一步針對(duì)UDA 策略下，網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對(duì)大小首次達(dá)到0.01時(shí)所需的失效站點(diǎn)數(shù)進(jìn)行了研究。圖9 為α 和β 參數(shù)空間內(nèi)失效站點(diǎn)數(shù)相對(duì)大小的熱力圖。當(dāng)β 值相同時(shí)，失效站點(diǎn)數(shù)a隨著α 的增加而增加。這是因?yàn)棣?變大導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中各站點(diǎn)的容量增加，提高了網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)魯棒性。當(dāng)α 值相同時(shí)，失效站點(diǎn)數(shù)a隨著參數(shù)β 的增加而減少。這是因?yàn)棣?變大導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中負(fù)載的異質(zhì)性增強(qiáng)，站點(diǎn)間負(fù)載量差距變大。少量負(fù)載較大的站點(diǎn)失效可能導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的崩潰，網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)魯棒性變差。

圖9 公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對(duì)大小S 首次達(dá)到0.01 時(shí)需要失效的節(jié)點(diǎn)比例

4 結(jié) 束 語

本文基于站點(diǎn)線路數(shù)(途經(jīng)某車站的公交線路總數(shù))研究了成都、重慶、昆明、貴陽和拉薩公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮匦?、靜態(tài)魯棒性和動(dòng)態(tài)魯棒性。將站點(diǎn)線路數(shù)選擇性失效與廣泛研究的隨機(jī)失效、度值、介數(shù)值、動(dòng)態(tài)度值和動(dòng)態(tài)介數(shù)值選擇性失效進(jìn)行了比較。結(jié)果表明：各城市公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的累積站點(diǎn)線路數(shù)分布和累積度分布近似服從指數(shù)分布，指數(shù)的取值不同；重慶、昆明、貴陽和拉薩的最短路徑長度分布具有高斯分布特性，成都的最短路徑長度分布具有長尾特性；網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)魯棒性與網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)密切相關(guān)，累積度分布曲線斜率越大，度值選擇性失效下最大連通片占比變化越快，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越差，站點(diǎn)線路數(shù)和介數(shù)值對(duì)最大連通片占比的影響較度值弱一些；對(duì)于靜態(tài)魯棒性而言，動(dòng)態(tài)選擇性失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)的破壞性強(qiáng)于靜態(tài)選擇性失效，但該結(jié)論不適用于動(dòng)態(tài)魯棒性；不論是靜態(tài)魯棒性還是動(dòng)態(tài)魯棒性，隨機(jī)失效下的魯棒性都強(qiáng)于選擇性失效下的魯棒性；增加負(fù)載容忍參數(shù)α或減少負(fù)載控制參數(shù)β 可提高網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)魯棒性。