張禹，劉如鐵，陳潔，熊翔，李浩，王鑄博

基于Voronoi分形劃分的雙孔徑多孔材料孔道結(jié)構(gòu)參數(shù)化設(shè)計

張禹，劉如鐵，陳潔，熊翔，李浩，王鑄博

(中南大學(xué) 粉末冶金國家重點實驗室，長沙 410083)

本文提出了一種適用于模擬雙孔徑多孔介質(zhì)的孔道結(jié)構(gòu)模型，該模型可獨立形成空間均勻分布的大、小尺寸的兩種孔徑，并在此基礎(chǔ)上開發(fā)可以生成參數(shù)化孔道模型圖示及構(gòu)成體素坐標的面向過程程序。通過劃分函數(shù)的迭代，從對應(yīng)幾何方法的自相似性引出此模型的一般孔隙度、分形維度、間隙度和比表面積方面的討論。最后通過面向?qū)ο缶幊蹋x擇工業(yè)三維建模軟件開發(fā)一種可以生成較大規(guī)模幾何模型文件的技術(shù)路線及滲流與電化學(xué)仿真應(yīng)用方法。

Voronoi劃分；分形；二元孔隙度；孔道結(jié)構(gòu)；多孔介質(zhì)；多孔電極

多孔材料中孔隙的空間分布具有隨機性，孔隙連通方式和孔隙形貌構(gòu)成了材料的孔道結(jié)構(gòu)，所以多孔材料的孔道結(jié)構(gòu)具有隨機和復(fù)雜的特征。多孔材料比表面積主要由材料內(nèi)部表面貢獻，孔道結(jié)構(gòu)連通了材料部分內(nèi)外表面，外部流體可以進入孔隙中充分接觸材料，因此多孔材料在石油催化、吸附分離、電化學(xué)、傳熱與傳質(zhì)方面有著廣泛應(yīng)用[1?4]。設(shè)計多孔材料的孔道結(jié)構(gòu)有利于研究和生產(chǎn)過程中材料參數(shù)識別，材料性能預(yù)測以及指導(dǎo)新材料的研究[5?6]。

隨著多孔材料的不斷發(fā)展，不同應(yīng)用領(lǐng)域?qū)τ诙嗫撞牧系目椎澜Y(jié)構(gòu)特征提出不同的要求。例如，在環(huán)路熱管的應(yīng)用中，多孔毛細芯所產(chǎn)生的毛細壓力是熱管內(nèi)工質(zhì)流動循環(huán)的關(guān)鍵驅(qū)動力。其中小孔貢獻毛細壓力，大孔貢獻高孔隙度以保證良好的滲透性[7]；在多孔氧化硅骨架鎳催化裂解甲烷應(yīng)用中，既需要引入大孔徑結(jié)構(gòu)以避免積碳堵塞和促進反應(yīng)物流動，也需要引入大量小孔結(jié)構(gòu)提升催化劑比表面積[8]；在空氣凈化濾芯應(yīng)用中，家用空氣凈化設(shè)備出于節(jié)能和過濾效能考慮，要求濾芯同時具有小孔(典型直徑小于2.5 μm)保證高比表面積，從而有效吸附通過空氣中的懸浮顆粒，同時利用大孔結(jié)構(gòu)的高連通性降低風(fēng)阻[9]。綜上，對多孔材料進行微觀孔道結(jié)構(gòu)設(shè)計，是制備滿足應(yīng)用要求的高性能多孔材料的前提和基礎(chǔ)。

當多孔材料中同時存在分別集中在不同尺寸范圍的兩類孔徑，且兩類孔徑尺寸相差10倍以上時，稱此類多孔材料的孔道結(jié)構(gòu)為雙孔徑結(jié)構(gòu)。雙孔徑結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生歸因于其制備過程中不同的造孔機理。例如以聚氨酯發(fā)泡為模板的多孔鎳材料，添加造孔劑燒結(jié)制備的鎳基或銅基粉末冶金材料，添加造孔劑燒結(jié)金屬氈等，其孔徑分布為典型的雙峰結(jié)構(gòu)[10?11]，大孔徑由造孔劑形成，小孔徑由粉末材料在燒結(jié)過程中的多種遷移機理共同作用形成。設(shè)計雙孔徑結(jié)構(gòu)的目的在于利用其不同大小孔隙的相互匹配，實現(xiàn)高比表面積與連通性、滲透性及其他多種特定應(yīng)用性能的組合，而如何設(shè)計孔道結(jié)構(gòu)是雙孔徑材料制備的前提。

目前研究者們發(fā)展了多種獲得孔道結(jié)構(gòu)的方法：隨機幾何方法、模擬沉積方法、統(tǒng)計學(xué)習(xí)方法，以及micro-CT掃描等[12]。隨機幾何方法使用二維或三維隨機過程算法和輸入?yún)?shù)對孔道結(jié)構(gòu)進行建模生成，輸出幾何模型的統(tǒng)計不變量。相比其他方法，隨機幾何方法具有設(shè)備資源要求較低的優(yōu)勢[13]。Voronoi圖是一種常用的隨機幾何方法，也是自然界中的常見現(xiàn)象[14]，它的概念于1907年由VORONOI完善，已經(jīng)廣泛用于生物學(xué)、地理學(xué)、材料科學(xué)等方向的研究[15?17]。目前研究應(yīng)用Voronoi圖建立雙孔徑孔道結(jié)構(gòu)方法可總結(jié)為兩類：以PVT(poisson-voronoi tessellation)為代表的調(diào)節(jié)Voronoi生成點空間分布方法和以LVT(laguerre-voronoi tessellation)為代表的度量空間算法。本研究分析以上兩種算法在構(gòu)建雙孔徑結(jié)構(gòu)的孔隙空間分布和數(shù)量分布的不足，從一種二維的Voronoi分形劃分的概念獲得啟發(fā)[18]，提出一種以三維Voronoi劃分迭代地構(gòu)造雙孔徑材料孔道結(jié)構(gòu)的方法，如圖1。

考慮到兩次劃分迭代產(chǎn)生的自相似特性，本研究分析推導(dǎo)了估算迭代PVT的孔隙度、分形維度、比表面積和間隙度的公式。其次，編寫輸出孔道結(jié)構(gòu)的迭代算法，并且借助常用的數(shù)學(xué)建模及工業(yè)軟件，開發(fā)一種生成模型文件的技術(shù)路線。最后，將程序輸出的模型作為計算域，展示了本研究提出的模型在滲流仿真和電化學(xué)仿真應(yīng)用的可行性。

1 Voronoi劃分與孔道結(jié)構(gòu)

圖1 雙孔徑模型生成順序圖

(a) Cylindrical region; (b) Poisson points in cylindrical region; (c) Voronoi tessellation based on poisson points; (d) Zoom-in on a thin square for observation; (e) Second order cylindrical region; (f) Voronoi tessellation in each second order cylindrical region

設(shè)置PVT的泊松強度為空間位置的函數(shù)，形成生成點強度的各向異性分布，從而可以調(diào)整生成點的密度，造成PVT單胞的聚集和離散，形成PVT二元孔徑分布。然而這種結(jié)構(gòu)孔隙空間分布繼承了生成點強度的空間各向異性，因此雙孔徑結(jié)構(gòu)模型呈各向異性，不符合雙孔徑孔道結(jié)構(gòu)兩種孔隙分別空間均勻分布的特征。

對比孔隙尺寸集中單峰分布的氧化鋁泡沫，LVT模型在單胞體積、單胞面的數(shù)目、單胞棱邊數(shù)目上都非常接近實際材料，但是LVT目前無法表征雙孔徑多孔材料的孔道結(jié)構(gòu)，原因是LVT的生成點來自分子動力學(xué)模型混合的堆積球體，球體在擾動的邊界條件下充分混合，形成致密且隨機的堆積。如使用LVT方法進行雙孔徑模型建模，需要同時引入尺寸對應(yīng)雙峰分布的球體，然而尺寸差異較大的顆粒難以在振動力場下混合均勻[23]，造成LVT無法形成兩種尺寸獨立分布的隨機球體填充。

借助以往研究者對PVT模型參數(shù)化形成特定孔隙度的成果[24]和一種二維Voronoi迭代隨機幾何圖形的算法設(shè)計[18]，考慮到雙孔徑材料大孔和小孔的形成機理的獨立性，首先將總孔隙度total分配為由大孔形成的部分1和小孔形成的部分2，對應(yīng)實際測量雙孔徑材料塊體的孔隙度和壓汞法獲得的孔徑分布，如式(2)：

WEJRZANOWSKI等[21]總結(jié)了多種驗證多孔模型的孔隙度公式，LEI等[25]從規(guī)則晶格劃分出發(fā)開發(fā)了孔隙度公式，并且實現(xiàn)了孔道結(jié)構(gòu)的梯度變化。本文利用LEI等開發(fā)的式(4)，調(diào)整隨機點的數(shù)量和棱邊纖維設(shè)置的半徑，獲得多孔模型孔隙度，其中C為高階修正項，為正方體空間的邊長。

2 算法

2.1 二階Voronoi劃分

為了減少式(4)的變量數(shù)目，考慮到Voronoi劃分適用的空間不限于其形狀，本文認為式(4)的邊長參數(shù)可以推廣定義為與空間體積相等的正方體邊長，記的體積為V，可得式(5)。

將式(5)和式(6)代入式(4)并忽略高階修正項，得總孔隙度，如式(7)：

記第一階劃分的泊松點集強度參數(shù)為λ1，設(shè)置纖維半徑為1，第二階劃分的泊松點集強度參數(shù)為2，設(shè)置纖維半徑為2。代入式(2)、式(3)、式(8)，得到式(9)，其中=1,2。

研究實驗中通?？梢垣@得兩種孔徑尺寸d的數(shù)值[8, 10]，本文以每階劃分形成的單胞體積v代表單個孔隙體積，孔徑尺寸d為等效球形孔隙直徑，如式(10)。而劃分產(chǎn)生在空間Ω中的平均孔隙總數(shù)與生成點數(shù)n相等，結(jié)合式(6)，可得式(11)。

由式(10)和式(11)得式(12)，即每階劃分產(chǎn)生的孔隙度P、孔徑d與輸入泊松強度λ的關(guān)系，結(jié)合式(9)解出建立二階PVT模型需要的所有參數(shù)。

2.2 模型圖示

UHLMANN[26]指出目前Voronoi劃分的學(xué)術(shù)研究通常使用Matlab或“VORO++”的函數(shù)庫，兩種方法都提供了運行時間與生成點規(guī)模成線性關(guān)系的快速算法。本研究第二次劃分的空間位置由第一次劃分的棱邊決定，需要對大量坐標進行平移、投影和旋轉(zhuǎn)，因而選用Matlab作為向量編程的工具。表1所列為多階劃分算法主函數(shù)的偽代碼，圖2所示為分別調(diào)整大孔與小孔泊松點集強度生成的雙孔徑模型，可見本文算法具有獨立調(diào)整兩種孔徑分布的功能。

2.3 分析

2.3.1 孔隙度

表1 生成N+1階劃分算法的偽代碼

表2 投影法處理圓柱區(qū)域邊界算法的偽代碼

2.3.2 分形維度

由式(16)、(17)可知式(13)中的參數(shù)為平均化圓柱空間的半徑與長度的比值。

在初始圓柱長度為單位長度時，代入幾何相似式(9)和式(14)，式(18)可化簡為式(19)和式(20)：

圖2 相對厚度為0.5不同泊松強度下形成的大小孔模型雙孔隙度圖示

(a) 30, 300; (b) 30, 600; (c) 60, 300; (d) 60, 600

將式(2)，式(3)推廣至多峰分布，可得孔隙度組成的級數(shù)形式，如式(23)。將式(23)代入式(22)得到(24)：

WEI等[28]研究了分形幾何方法推導(dǎo)的毛細孔徑分布，如式(25)。式(24)與式(25)存在差別的原因是WEI的分形方法為迭代地劃分孔隙，本研究的方法為迭代地劃分實體，兩種方法關(guān)于孔隙相-實體相對稱。

從式(25)獲得按冪次分布的孔徑密度分布函數(shù)，將此函數(shù)與泊肅葉流動壓降進行積分，得到預(yù)測的Kozeny-Carman數(shù)值與乳液滲流實驗結(jié)果相符[28]。式(24)證明Voronoi分形劃分方法可以獲得冪次分布的孔徑，所以式(18)～(24)分析得到的分形維度可用于雙孔徑模型的流體分析。

由于泊肅葉流動將復(fù)雜的孔道近似為平行的圓柱流道，所以研究者引入屈曲度，孔道分形維度等幾何不變量改善精度，這些幾何不變量代表相應(yīng)測量的數(shù)值與分辨率的變化規(guī)律，一般以Hausdorff“數(shù)格子”的方法獲得。在向量編程環(huán)境中將待處理的模型所在空間網(wǎng)格化，然后判斷每一格點與模型的相交狀態(tài)，例如使用Matlab內(nèi)建函數(shù)find()，可以提取待計數(shù)的格點。

2.3.3 間隙度

間隙度是衡量聚集和不均勻性的物理量[29]，XIA等[30]使用算法生成二維孔隙圖形并以LBM(lattice Boltzmann method，格子玻爾茲曼方法)分析了其滲透系數(shù)，結(jié)果表明對于固定的孔隙度，滲透系數(shù)以正冪次規(guī)律與間隙度正相關(guān)，與分形維度負相關(guān)[30]。此結(jié)論也印證了雙孔徑材料引入較大孔徑增加傳質(zhì)能力的機理，即在介觀尺度下改變材料的間隙度。

計算間隙度的數(shù)值需首先設(shè)置位于模型內(nèi)邊長為的立方體窗格空間Box()，滑動窗格并獲取窗格空間的孔隙度Box，一般將滑動窗格網(wǎng)格化并設(shè)置格點采樣閾值，所以Box為離散型數(shù)值，記滑動窗格次統(tǒng)計Box對應(yīng)的頻率為(Box,)，則間隙度(Box,)由式(26)計算[29]。

2.3.4 比表面積

需注意的是，采用式(28)估算實際材料比表面積需另外考慮材料孔道內(nèi)表面粗糙度的貢獻。

3 模型實現(xiàn)及應(yīng)用

3.1 幾何模型

所有輸入體素的并集，對應(yīng)建模軟件的布爾求和運算。雖然目前存在可以與數(shù)值分析軟件交互的三維建模工具，如COMSOL Multiphysics，Ansys APDL 等[5, 19?20, 24]，但是其交互的穩(wěn)定性尚待提高。當繪制體素數(shù)高于1 000時，在內(nèi)存有限的桌面級電腦上，無論是修改幾何文件容差還是分步存儲，建模進程都難以保證平穩(wěn)運行。本文選用Solidworks在.NET環(huán)境中與Excel進行交互，Excel來自預(yù)先存儲的Matlab所輸出的坐標矩陣，在逐條讀取坐標的同時，.NET環(huán)境調(diào)用Solidworks程序進程在相應(yīng)文件中形成體素，循環(huán)至所有體素創(chuàng)建完畢后保存文件，可有效保證交互的穩(wěn)定性。

將面向過程的矩陣運算與面向?qū)ο蟮慕＿^程獨立編程，可顯著提升效率和程序穩(wěn)定性。實時呈現(xiàn)運算圖示可預(yù)先發(fā)現(xiàn)建模的錯誤，將坐標數(shù)據(jù)預(yù)先存儲在散列表文件中可以節(jié)約運行內(nèi)存，集中計算資源運行體素搭建。

體素搭建是一個循環(huán)輸入體素并與既有體素布爾求和的過程。本文采用向Solidworks輸入臨時體(一種按參數(shù)形成的body類型)的方式輸入體素，再轉(zhuǎn)換臨時體為殼體(surface類型)，最后填充殼體獲得實心圓柱體，完成體素輸入。執(zhí)行填充時設(shè)置merge為True，即可在輸入體素的同時自動布爾求和，上述調(diào)用函數(shù)均如圖3所示。

在2016版本后Solidworks不再限制多實體零件文件的實體數(shù)上限，此功能強力支持了多孔體的孔道結(jié)構(gòu)設(shè)計，并且.NET環(huán)境所支持的語言如VB.NET，C#，C++都可以將每個體素的建立加入Try-Catch語句，增加程序的健壯性，避免某次體素建立失敗導(dǎo)致程序崩潰。

3.2 仿真應(yīng)用

以有限元或有限體積方法為例，多孔介質(zhì)的滲流模擬通常需要耗費巨大的計算資源，且計算域復(fù)雜的幾何形狀會導(dǎo)致極其復(fù)雜的網(wǎng)格劃分，又需要耗費人力進行網(wǎng)格調(diào)整和優(yōu)化。因此，LBM因其易于編程部署，適用并行計算，前后處理難度低，適合低速流動分析的特點被廣泛應(yīng)用于微流動仿真分析領(lǐng)域。本文介紹一種通過圖像處理方法將三維模型再次壓縮為二維圖形，可以達到繼續(xù)簡化計算規(guī)模且能得出定性結(jié)論的目的。如圖4(a)，黑色區(qū)域為通過圖像處理采集三維薄片得到的多孔介質(zhì)實體部分，藍色區(qū)域為流體的計算域，藍色的深淺代表LBM運行4 000周期該處的無量綱流速，從而根據(jù)實際的雷諾數(shù)估計相應(yīng)多孔介質(zhì)的滲流性能。可見本案例中，高流速集中在大孔區(qū)域的喉部，根據(jù)泊肅葉定律層流壓降正比于流速的估計，這與研究多孔介質(zhì)壓降的直觀經(jīng)驗相符。

同時，壓縮三維模型得到的二維圖形同樣可以應(yīng)用于電化學(xué)仿真分析，在不考慮電解質(zhì)流動和宏觀離子濃度變化時，使用有限元或有限體積法進行電流密度計算相比流體力學(xué)仿真更加快速。如圖4(b)所示，紅色線代表電解質(zhì)中的電流密度線，可見電流密度分布取決于計算域的幾何形狀。

本研究開發(fā)的多孔模型可應(yīng)用于三種簡化假設(shè)的電化學(xué)分析模型：

1) 考慮溶液整體不存在活性離子濃度梯度，電解液在恒穩(wěn)電壓下表現(xiàn)為電阻。此應(yīng)用輸出上述電流密度線和電勢等勢面，可用于優(yōu)化電解池整體效率。

2) 考慮電極表面存在濃差極化和雙電層電容，結(jié)合本研究模型，可以進行循環(huán)伏安或電化學(xué)阻抗譜等分析。例如可通過提高小孔生成強度，提升模型比表面積，影響雙電層電容數(shù)值。

圖3 一個3746體素的多實體SLDPRT型文件(a)及Solidworks內(nèi)建函數(shù)調(diào)用流程(b)

圖4 使用格子玻爾茲曼方法滲流分析(a)及電化學(xué)模擬電解質(zhì)中多孔電極產(chǎn)生的電流密度分布(b)

3)考慮電解液存在流場，且存在非活性離子支持遷移電流，結(jié)合LBM在同一幾何計算域的流速分布結(jié)論，可實現(xiàn)流體力學(xué)和活性離子物質(zhì)傳遞的耦合，從而將電化學(xué)反應(yīng)還原為濃度依賴動力學(xué)，實現(xiàn)在流動電解質(zhì)中多孔電極的電化學(xué)仿真，即完整描述Nernst-Plank物質(zhì)傳遞方程。

4 結(jié)論

1) 迭代PVT方法可實現(xiàn)雙孔徑模型的大孔和小孔的尺寸分布獨立，同時保持空間分布均勻。通過控制每次迭代輸入?yún)?shù)可輸出具有期望孔隙度、分型維度、比表面積和間隙度的模型。

2) 使用Solidworks API可構(gòu)建本研究模型的實體文件，且實體文件包含的體素數(shù)具有較復(fù)雜的規(guī)模。使用Matlab圖形模塊可以處理本研究模型的二維 投影。

3) 應(yīng)用LBM方法可實現(xiàn)分析本研究模型的多孔介質(zhì)滲流仿真。在ComsolMultiphysics環(huán)境中利用本研究模型可進行多孔電極表面電化學(xué)分析。后續(xù)研究可實現(xiàn)相同模型計算域在不同仿真環(huán)境和多種物理場條件下的耦合仿真。

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[30] XIA Y X, WEI W, LIU Y, et al. A fractal-based approach to evaluate the effect of microstructure on the permeability of two-dimensional porous media[J]. Applied Geochemistry, 2021, 131: 105013.

Parametric design of bimodal porosity structure based on Voronoi polygons and fractals

ZHANG Yu, LIU Rutie, CHEN Jie, XIONG Xiang, LI Hao, WANG Zhubo

(State Key Laboratory of Powder Metallurgy, Central South University, Changsha 410083, China)

This research proposed a bimodal porosity structure type providing the ability to individually form evenly distributed pores of two separated sizes. A method of generating structures parametrically was provided, and a process-oriented program was developed outputting diagrams and coordinates. Iterations of tessellation module, causing geometrical self-resemblance, were further discussed from porosity, fractal dimension, lacunarity and specific surface area aspects. Technical routes were introduced for building 3D model files of large complexity in common industrial software’s object-oriented application programming interface and applications in permeability or electrochemistry simulations.

Voronoi tessellation; fractal; bimodal porosity; porous structure; porous media; porous electrode

10.19976/j.cnki.43-1448/TF.2022007

TB113

A

1673-0224(2022)03-257-10

國家國際科技合作專項資助項目(2015DFR50580)

2022?03?23；

2022?04?20

劉如鐵，教授，博士。電話：0731-88876566；E-mail: llrrtt@csu.edu.cn; 陳潔，副教授，博士。電話：0731-88876566；E-mail: chenjiecsu@163.com

(編輯 陳潔)