三角函數(shù)的解題技巧

洪霞

【摘 要】 三角函數(shù)知識的抽象性較強，是高中數(shù)學中的教學難點之一.但掌握了相應的解題思路和解題技巧后，困難就會迎刃而解.基于此，文章結合過往教學經(jīng)驗，針對高中數(shù)學中三角函數(shù)解題的展開分析和探討，從解題思路和解題技巧兩方面入手，詳細闡述具體的解題過程，以此為學生學習提供參考.

【關鍵詞】 三角函數(shù);解題技巧;解題思路

例1 某三角函數(shù)的區(qū)間求值選擇題，給出了a∈（0，π2）、2cos2a=cos（π4-a）這兩個條件，求解sin2a的值.

解題 根據(jù)題干可以得到2（cos2a-sin2a）=cosπ4cosa+sinπ4sina，通過最終的計算化簡，得到了sin2a=78，進而就可以確定最終的選項.

在例題1解題過程中，主要利用三角函數(shù)的基礎知識和概念理論，而在更多的三角函數(shù)選擇題目中考察的是三角函數(shù)和其他知識之間的聯(lián)系性.這就需要學生在思考的過程中，從多個角度入手構建邏輯橋梁，得出正解.

例2 ??某三角函數(shù)圖像選擇題中，給出了y=sinx-3cosx和y=sinx+3cosx這兩個函數(shù)，問函數(shù)2至少需要向右平移多少個單位長度能得到函數(shù)1.

解題 在實際解題過程中，避免拘泥于基本知識，可以通過對兩個函數(shù)進行化簡，最終得到了y=sinx+ 3cosx=2sin（x+π3），

y=sinx- 3cosx=2sin（x-π3）=2sin[（x-π3）-2π3].

在完成化簡轉換后，就可以清晰地看出需要函數(shù)2至少需要向右平移2π3個單位長度才能得到函數(shù)1.

總的來說，在學習三角函數(shù)的過程中，基礎知識體系的掌握非常重要，但在不斷強化理論知識的同時，也要不斷開拓思維模式，樹立起良好的解題思路，把握具體的解題技巧.教師在實際教學過程中，要幫助引導學生總結解題技巧，通過大量練習強化解題思路，從而讓學生更好地完成三角函數(shù)解題過程，構建形成數(shù)學邏輯體系，促進綜合學習能力的提高，得到全面的發(fā)展.

2 解題技巧

很多涉及三角函數(shù)知識的題目相對較難，解題過程復雜，長此以往學生會對解題喪失信心.如果想要快速得到正確答案，就要建立起豐富的解題思路，加強對三角函數(shù)的認識，提高解題效率的同時，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.學生在構建起三角函數(shù)思維后，還要掌握一些使用的解題技巧，能夠簡化解題過程，輕松完成解答.

2.1 使用弦切互化解題技巧

正余弦、正余切是高中三角函數(shù)中最為主要的內(nèi)容，涉及這些內(nèi)容的題目形式非常靈活，需要學生具備較高的思維能力，在不同的題目條件中找出其中的關鍵.解答正余弦、正余切或者正余弦角度問題時，題目中的角并不會較為特殊，可以利用題目中給出的條件，結合誘導條件完成弦切互化，從而利用特殊角的三角函數(shù)值求出正確答案.主要考察學生思維能力和舉一反三能力，只要熟練掌握公式，就可以根據(jù)已知條件求出最佳的數(shù)值，切實提高解題效率.角的轉化是三角函數(shù)解題過程中最為重要的一種方式，在多個題目中得到了廣泛應用.實現(xiàn)角的轉化后，就可以通過逆、順用公式完成解題.

例3 求解sin20°cos10°-cos160°sin10°的值.

解題 首先，判斷20°和160°之間的關系，其次，利用誘導公式完成角地轉化，最后完成具體的計算.具體解題過程如下：sin20°cos10°-cos160°sin10°= sin20°cos10° + cos20°sin10° =sin30° =12.

2.2 使用數(shù)形結合解題技巧

在解決三角函數(shù)問題的過程中，部分問題會涉及到圖形知識，單純依靠想象很難得到正確答案，還會擾亂思路.因此，在實際解題過程中，可以使用數(shù)形結合的方式完成題目的快速解答.這一技巧方式的應用，也能夠讓學生養(yǎng)成良好的作圖習慣，樹立其幾何邏輯思維，切實提高解題能力.

例4 已知△ABC中，A=3π4，AB=6，AC=32.在BC邊上有一點D，AD=BD，求解AD長.

解題 在解答此題的過程中，單純利用條件在腦海中構建圖形，容易得到錯誤答案.引導學生根據(jù)已知條件進行畫圖，可以準確地找到題目中要求求解的線段，進而利用正余弦定理完成三角函數(shù)的求值計算.具體解題過程如下，利用已知條件和余弦定理，可知內(nèi)角∠A對應的邊長a=310，結合正弦定理可以進一步得到sinB=1010.從題干可知0<B<π4、cosB=31010，繼而就可以得到的AD=10.

2.3 使用升冪降冪解題技巧

升冪降冪也是高中三角函數(shù)解題過程中常見的思路之一，主要是對題目中的函數(shù)進行化簡，從而完成解題.對學生而言，不僅需要靈活地掌握公式，還要根據(jù)題目有選擇進行應用，從而解決求值問題.在利用這一解題方法進行求值的過程中，保證化簡過程的準確是最為重要的內(nèi)容，任何一個環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，都有可能造成最終結果的錯誤.升冪降冪是轉換題目形式，當題目中冪數(shù)統(tǒng)一時，將高次冪轉化為低次冪，如果冪數(shù)不統(tǒng)一，先要利用公式轉化題目中函數(shù)，然后考慮升冪降冪，完成加減運算.在解題過程中，升冪降冪是解題的關鍵，需要結合題目的實際情況，合理地完成轉化，切實提高解題效率和質(zhì)量[3].

例5 化簡1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x.

解題 根據(jù)三角函數(shù)公式中sin2x+cos2x=1，可以對題目進行進一步的簡化，進而得到最終的結果.

1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x=（sin2x+cos2x）3-sin6x-cos6x（sin2x+cos2x）3-sin4x-cos4x=2sin2xcos2x3sin2xcos2x（sin2x+cos2x）=23.

2.4 使用消參構造解題技巧

消參構造是兩種方法，前者是根據(jù)題目中給出的參數(shù)聯(lián)系，利用公式完成對現(xiàn)有參數(shù)的轉換，簡化計算過程，將消參法和換元法、公式定理法，結合應用效果最優(yōu).后者是在無法使用消參法的基礎上，通過添加或者減少項的方式，實現(xiàn)等效變換，完成解題.

例6 ??已知tanα=3，求sina-3cosa2sina+cosa的值.

解題 根據(jù)有關公式定理可知tanα=sinα：cosα，且α≠kπ+π2，進一步可以推出cosα≠0.那么將其完全替換到原分式中，就會得到具體的結果.具體的解題過程如下：

sina-3cosa2sina|cosa=sinacosa-3·cosacosa2sinacosa+cosacosa=tgα-32tgα+1

=3-32×3+1=0.

2.5 使用平方方式解題技巧

相比較上述幾個解題技巧來看，平方法在解析三角函數(shù)過程中最為常見，尤其是題干中涵蓋了余弦、正弦的內(nèi)容時，都可以使用平方方式解題.但需要注意的是，在使用平方方式進行解題前，必須要掌握最基本的方式，然后再采用技巧性的方法進行解題.

例7 方程x2-kx+k+1=0 得到sinθ、cosθ兩個根，且θ∈（0，2π），要求求出k值.

解題 此題有兩種解題方式，一種為利用韋達定理求出兩個k值，然后利用值域，去除不符合的數(shù)值，得到正確答案.例題7中的兩個k值分別為-1和3，最終舍去k=3這一個根.如果利用平方方式可以進一步簡化計算過程，快速得到最終結果.

3 結語

綜上所述，在高中數(shù)學學習階段，強化三角函數(shù)的解題思想和解題技巧，可以在保證準確率的同時，讓解題效率得到提高.因此，學生要正確認識三角函數(shù)知識重要性，在鞏固基礎知識公式的同時，掌握相應技巧，優(yōu)化思維邏輯，從而更好完成學習目標.不僅是為了提高數(shù)學成績，更是為未來的學習奠定基礎.