李凌云 李國(guó)良

【摘 要】本文通過對(duì)教材的調(diào)整與整合，科學(xué)研判學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，兩次運(yùn)用有效的異同點(diǎn)的比較，使學(xué)生對(duì)三角形從角和邊的角度進(jìn)行更加準(zhǔn)確的分類，并能在分類的過程中明確各類三角形之間的關(guān)系，運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)加深學(xué)生對(duì)三角形定義、類別的理解，使課堂教學(xué)更為精準(zhǔn)、有效。

【關(guān)鍵詞】準(zhǔn)確 學(xué)情 分類

一、課前慎思

實(shí)施精準(zhǔn)教學(xué)要根據(jù)課標(biāo)的要求和學(xué)生發(fā)展的實(shí)際，全面研判教材的編排體系，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，從而有效建構(gòu)起教學(xué)結(jié)構(gòu)。人教版數(shù)學(xué) “三角形”單元涉及三角形的認(rèn)識(shí)與特性、三邊關(guān)系、分類及三角形的內(nèi)角和與多邊形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)。基于學(xué)情，我們認(rèn)為，對(duì)于這樣的編排，在課時(shí)安排上可以做一些調(diào)整，一是在學(xué)習(xí)三角形的底和高時(shí)，需要運(yùn)用到三種不同類型的三角形，特別在對(duì)直角三角形與鈍角三角形高的認(rèn)識(shí)與畫高時(shí)，學(xué)生存在著較大的困難;二是在一年級(jí)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了三角形，知道了三角形由三個(gè)尖尖的點(diǎn)、三條直直的邊、三個(gè)角組成，也就是說，四年級(jí)學(xué)生是比較容易理解三角形的定義的，而三角形的分類也是認(rèn)識(shí)三角形的重要組成部分，它們的共性就是三角形的定義，不同點(diǎn)就是角與邊的大小、關(guān)系等。

筆者以為，可以把“三角形分類”結(jié)合在“三角形認(rèn)識(shí)”一節(jié)課中，把教材中的“三角形的特性”安排在“三邊關(guān)系”中，而把“底和高的認(rèn)識(shí)”單獨(dú)成立一節(jié)課。這樣，學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)、分類會(huì)更加深刻，對(duì)三角形的穩(wěn)定性認(rèn)識(shí)、底和高的學(xué)習(xí)會(huì)更加到位，從而更加完整與全面地認(rèn)識(shí)三角形。

二、基礎(chǔ)慎析

學(xué)情基礎(chǔ)是在開展教學(xué)前通過不同的調(diào)查方式對(duì)學(xué)生的知識(shí)水平、已有經(jīng)驗(yàn)、思維能力等方面進(jìn)行了解、分析與思考，為教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施有針對(duì)性教學(xué)等提供依據(jù)。

（一）調(diào)查內(nèi)容的擬定與思考

基于對(duì)教材的分析與調(diào)整，結(jié)合“三角形認(rèn)識(shí)與分類”的教學(xué)內(nèi)容與要求，筆者根據(jù)思維發(fā)展水平層次設(shè)計(jì)了5個(gè)問題，旨在了解學(xué)生關(guān)于三角形的知識(shí)儲(chǔ)備、分類標(biāo)準(zhǔn)、圖示表征、深度理解等能力水平。

一級(jí)思維層次。本層次涉及兩道題目，一是要求畫出3個(gè)不一樣的三角形，二是尋找3個(gè)三角形的共同點(diǎn)。主要考查學(xué)生能否從平時(shí)接觸的三角形（三角板）中畫出三類三角形，初步了解學(xué)生對(duì)三角形的共性與個(gè)性的把握程度，為后續(xù)分類做準(zhǔn)備。

二級(jí)思維層次。本層次有兩道題目，一是給畫出的三角形取個(gè)名稱并說說理由，二是除上述名稱外，還知道哪些三角形。主要了解學(xué)生能否從角或邊的特征來抽象出三角形的名稱及對(duì)已掌握的三角形的名稱的理解程度。

三級(jí)思維層次。本層次設(shè)計(jì)了一道題目，表征出三角形的類別和它們之間的關(guān)系。主要調(diào)查學(xué)生對(duì)三角形分類的掌握情況，特別是按角的特征與按邊的特征進(jìn)行分類后的關(guān)系圖，了解學(xué)生的表征能力及對(duì)三角形分類本質(zhì)的理解力。

（二）調(diào)查結(jié)果的梳理與分析

本次調(diào)查，選擇了兩所小學(xué)各兩個(gè)班級(jí)的180個(gè)四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行前認(rèn)知的調(diào)查，要求獨(dú)立完成，用時(shí)10分鐘。根據(jù)上述思維層次，筆者進(jìn)行了梳理與統(tǒng)計(jì)，具體見表1、表2、表3。

從上述統(tǒng)計(jì)可以看出：

（1）大部分學(xué)生能從不同的角度畫出不一樣的三角形，53.9%的學(xué)生分別畫出了按角分類的三類三角形，其中銳角三角形占多數(shù)，鈍角三角形相對(duì)較少;而從邊的角度畫出等腰三角形的學(xué)生只占8.3%。畫等邊三角形有一定難度，因此，沒一個(gè)學(xué)生能畫出來，這說明如果不刻意強(qiáng)化邊的長(zhǎng)度，學(xué)生很少會(huì)想到等腰三角形或等邊三角形，這說明三角形角的特征對(duì)于學(xué)生來說更加直觀一些、本質(zhì)一些。

（2）大部分學(xué)生能根據(jù)畫出的三角形說出名稱，但基本停留于銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形上;闡述理由方面正確率較低，特別是銳角三角形，18.9%的學(xué)生表述成有銳角的三角形叫作銳角三角形。對(duì)于等腰三角形和等邊三角形，分別有45人和23人說到，說明學(xué)生還是知道涉及邊的三角形名稱，只是在畫的過程中較少呈現(xiàn)從而無法闡述理由。

（3）從角的分類情況看，83.3%的學(xué)生能分清楚三類三角形，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于從邊的角度來分析三角形。而對(duì)于從關(guān)系的角度來厘清三角形之間的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)生在認(rèn)知上存在困難。

分類既是一種數(shù)學(xué)活動(dòng)，也是重要的數(shù)學(xué)思想，而分類后通過對(duì)事物之間關(guān)系的分析既能厘清其聯(lián)系也能分析其區(qū)別。學(xué)生要正確掌握從角和邊兩個(gè)維度來進(jìn)行分類并理解各種三角形之間的關(guān)系，需要了解一類事物的共同特征和性質(zhì)，再進(jìn)行相似類之間的比較，也就是先尋找共性再找異相。筆者認(rèn)為，教材內(nèi)容的調(diào)整與整合是合理的，可以加深學(xué)生對(duì)三角形更立體化的認(rèn)知，在學(xué)生自行畫三角形的過程中找到共性的特征：由三個(gè)點(diǎn)、三個(gè)角、三條邊首尾連接的平面圖形。然后尋找每一個(gè)三角形的個(gè)性特征，可以從角或邊的角度進(jìn)行分析，最終找到不同類三角形之間的聯(lián)系與區(qū)別。當(dāng)然，在研究三角形分類時(shí)，學(xué)生往往會(huì)從“角”的角度展開，這樣顯得更加本質(zhì)一些。

三、實(shí)踐慎行

人類認(rèn)識(shí)事物必須經(jīng)歷兩項(xiàng)活動(dòng)，一項(xiàng)是對(duì)事物進(jìn)行分類，一項(xiàng)是對(duì)每類事物進(jìn)行度量。沒有這兩項(xiàng)活動(dòng)的展開，學(xué)生就很難認(rèn)清研究對(duì)象的性質(zhì)、特征。因此，通過“三角形認(rèn)識(shí)”前對(duì)其概念的全面了解與分析，我們采取了兩次比較的方式讓學(xué)生分別從角和邊的角度來認(rèn)識(shí)三角形。學(xué)生知道按角分有銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，它們存在著并列的關(guān)系;按邊分有一般三角形、等腰三角形、等邊三角形，它們存在著包含關(guān)系。這樣分類有利于更精準(zhǔn)地開展教學(xué)，使學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)三角形的特征。

（一）基于比較理解三角形分類中的并列關(guān)系

概念是思維的基本形式之一，它需要把客觀事物一般的、本質(zhì)的共同特征反映出來，沒有概念就難以對(duì)事物進(jìn)行判斷、推理與論證。課始，筆者組織學(xué)生畫三個(gè)自己認(rèn)為不一樣的三角形，把與眾不同的三角形貼在黑板上（如圖1），并設(shè)疑：這些圖形為什么都稱為“三角形”。學(xué)生通過討論得出，這些圖形的共同特征是由三條線段圍成，而且相鄰兩條線段的端點(diǎn)首尾相連。三角形的定義在尋找共性中自然而然地被抽象出來。

隨后，教師提問：“這些展示的三角形有什么不一樣嗎？”

生1：有的三角形是直的，有的三角形是斜的。

生2：有的三角形有直角，有的三角形有鈍角，有的三角形只有銳角。

生3：有的三角形有一個(gè)直角、兩個(gè)銳角，有的三角形有一個(gè)鈍角、兩個(gè)銳角，有的三角形有三個(gè)銳角。

師：如果讓你給這些三角形分類，你準(zhǔn)備怎么分？說說理由。

生1：可以分兩類，③④是有直角的三角形，其余是沒有直角的三角形。

生2：可以分三類，①⑥是有鈍角的三角形，③④是有直角的三角形，②⑤⑦是有銳角的三角形。

生3：同意生2的觀點(diǎn)，但不是把有銳角的三角形歸為一類，而是把有三個(gè)銳角的三角形歸為一類。

……

接著，大家一起討論分成三類的理由，并用圖的形式把它們之間的關(guān)系表征出來。這一尋找共性與個(gè)性的教學(xué)，正是基于調(diào)查結(jié)果的運(yùn)用。學(xué)生在畫三角形的過程中，很少會(huì)從邊的角度去畫等腰三角形與等邊三角形，自然不會(huì)想到從等腰三角形與等邊三角形上進(jìn)行分類，這樣可以更加本質(zhì)地從角的關(guān)系上進(jìn)行三角形的分類。

在此基礎(chǔ)上，筆者要求學(xué)生進(jìn)一步尋找這些三角形的共同特征，那就是每個(gè)三角形都有兩個(gè)銳角。在學(xué)生掌握三類三角形的定義后，筆者出示圖2，要求根據(jù)定義來判斷，進(jìn)一步鞏固鈍角三角形與直角三角形最大的特征是有一個(gè)鈍角和一個(gè)直角，判斷銳角三角形必須明確有3個(gè)銳角。

圖2

筆者以為，二分法是分類中最基礎(chǔ)的方法。在前測(cè)與實(shí)際的教學(xué)中，部分學(xué)生容易以直觀的感知介入分類。此時(shí)，教師要大膽地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論、分析，從三角形顯著特征——角來明確分類，逐漸地按照同一標(biāo)準(zhǔn)分，使學(xué)生知道其結(jié)果也是唯一的，從而懂得以角為標(biāo)準(zhǔn)將三角形分為銳角、直角、鈍角三角形三類，它們之間的關(guān)系是并列的，均屬于三角形中的一種。

（二）基于度量感悟三角形分類中的包含關(guān)系

有了上述分類基礎(chǔ)后，筆者出示圖3，要求學(xué)生對(duì)這些三角形進(jìn)行分類。很快，學(xué)生把①②⑤⑦歸為一類（銳角三角形）、③④歸為一類（鈍角三角形）、⑥為一類（直角三角形）。教師設(shè)疑：“這些三角形有什么共同特征？”學(xué)生通過分析、討論，一致認(rèn)為它們都是軸對(duì)稱圖形，接著，學(xué)生進(jìn)行度量、驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)①③④⑤⑥有兩條邊相等，而②⑦有三條邊相等。明確有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形。在厘清分類標(biāo)準(zhǔn)，知道頂角、底角、腰的概念后，教師組織學(xué)生對(duì)等腰三角形與等邊三角形的關(guān)系進(jìn)行表征，于是出現(xiàn)圖4的兩種情況。

生1：因?yàn)槿切我部梢苑殖傻妊切闻c等邊三角形，贊成前面一種。

生2：后面一種的關(guān)系圖還可以，等腰三角形是兩條邊相等，而等邊三角形是三條邊相等，這樣的圖讓我想到了正方形是特殊的長(zhǎng)方形。

經(jīng)過集體討論，教師呈現(xiàn)出從邊的角度來研究等腰三角形與等邊三角形及一般三角形的關(guān)系，讓學(xué)生懂得按邊的關(guān)系來分析等腰三角形是特殊的三角形，而等邊三角形又是特殊的等腰三角形，它們是包含關(guān)系。

筆者以為，呈現(xiàn)出圖3這道題目，不僅可以讓學(xué)生鞏固按角分類的知識(shí)點(diǎn)，而且不經(jīng)意間引導(dǎo)學(xué)生從軸對(duì)稱圖形的維度來分析三角形，從而把觀察點(diǎn)落到邊的角度進(jìn)行分析。一個(gè)好的學(xué)習(xí)素材，不僅能聚焦數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，還能提高課堂教學(xué)效率，達(dá)到事半功倍的效果。

接著，教師再次組織學(xué)生分析圖3，設(shè)問：“做了這道題目后，大家有什么想法？”

生1：如果從三角形的角來看，這些三角形可以分成三類;如果從邊的角度看，這些三角形可以分成兩類。

生2：從角進(jìn)行分析，所有的三角形有銳角、直角、鈍角三角形三類;從邊進(jìn)行分析，有一般三角形和特殊的三角形。

關(guān)于三角形的分類，我們不僅可以從角的維度去思考，還可以從邊的角度去分析。通過這一梳理與總結(jié)，學(xué)生體會(huì)到一個(gè)事物可以從多個(gè)不同的角度去認(rèn)識(shí)，但一定要選擇合適的標(biāo)準(zhǔn)，才能對(duì)事物進(jìn)行合理的分類。學(xué)生真正感悟到“換個(gè)角度看數(shù)學(xué)，一樣的數(shù)學(xué)不一樣的內(nèi)涵;換個(gè)角度看世界，一樣的世界不一樣的精彩”。

課標(biāo)指出，課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、探索與思考。從初設(shè)教材的整合到學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的調(diào)查，再進(jìn)行課堂教學(xué)驗(yàn)證，教師基于精準(zhǔn)化課堂教學(xué)理念來改進(jìn)教學(xué)方式與行為，使教學(xué)內(nèi)容更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更能提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的認(rèn)知，逐漸地使思維從感性走向理性。