孫建良

二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的曲線叫做二次曲線，或圓錐曲線，它的圖形可能是常態(tài)圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線），也可能是退縮圓錐曲線（兩條相交直線、兩條平行直線、一條直線、一點(diǎn)、沒有圖形）。本文主要研究常態(tài)的圓錐曲線。

筆者將通過對(duì)上海自2017年高考新綜合改革以來，數(shù)學(xué)試卷（春季與秋季高考）中圓錐曲線試題的題量與題型、知識(shí)點(diǎn)分布和試題分值統(tǒng)計(jì)與分析研究，明確考查的內(nèi)容，了解試題的特點(diǎn)，提出高三圓錐曲線復(fù)習(xí)與練習(xí)教學(xué)的建議，試圖為“雙減”政策和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)背景下的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段的學(xué)和教提供有益的幫助與啟示。

（一）高考圓錐曲線試題題量與題型

1.從試題的題量來看

整套試卷考查二次曲線的題量，除2020年春考、2020年秋考、2021年春考出現(xiàn)兩次，其余年份均出現(xiàn)三次，占整套試卷題量的七分之一。這與二次曲線的知識(shí)內(nèi)容在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的比例是相吻合的。

2.從試題的題型來看

試題以填空題形式進(jìn)行考查的占比最多，選擇題形式考查的占比最少，這與試卷中填空題和選擇題的多少有關(guān)。解答題在三類題型中考查的次數(shù)處于中間，但解答題一般是綜合題，題目涉及多個(gè)知識(shí)的綜合應(yīng)用，運(yùn)算過程較為復(fù)雜，難度較大，對(duì)應(yīng)的分值較高，所以，理應(yīng)要引起師生的重視。

3.從試題出現(xiàn)的曲線頻次來看

考查次數(shù)最多的是橢圓，最少的是圓，雙曲線與拋物線出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)。在填空題中，橢圓出現(xiàn)的次數(shù)最多。而在解答題中，橢圓、雙曲線與拋物線考查次數(shù)相同。比較特別的是，除2018年外，同一年的春考與秋考，解答題很少出現(xiàn)同一種二次曲線的?；蛟S，這對(duì)師生的復(fù)習(xí)會(huì)有所啟發(fā)。

（二）高考圓錐曲線試題知識(shí)點(diǎn)分布

1.從考查的知識(shí)點(diǎn)來看

對(duì)圓錐曲線定義和基本性質(zhì)的考查，依次為橢圓、雙曲線、拋物線、圓；試題的形式，以填空題與選擇題為主。有的題較易，如根據(jù)給出的雙曲線方程直接寫出漸近線方程；而有的題較難，如，2018年秋考第12題是求圓上兩點(diǎn)到直線距離之和的最大值，難度不亞于一個(gè)綜合題。

2.從考查的綜合應(yīng)用情況來看

圓錐曲線一般與直線的結(jié)合最多，相關(guān)延伸的有直線與圓錐曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)、線段的長(zhǎng)度、兩條直線的夾角；圓錐曲線與三角形，圓錐曲線與平行四邊形等；2021年春考，涉及兩條雙曲線的綜合問題，這是比較少見的現(xiàn)象。

（三）高考圓錐曲線試題分值

1.從試題的分值來看

每年涉及圓錐曲線的試題分值在26分左右，約占總分的六分之一。2018年春考，圓錐曲線試題分值最高，為32分——主要是出現(xiàn)了兩道解答題。其中的一道題，是二次曲線在廣告燈設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，屬于應(yīng)用題類型。2021年春考，相關(guān)試題的分值最低，僅有19分；不過，還考查了一題關(guān)于兩條直線的夾角，屬于解析幾何的范疇，所以，這一考查的安排，也算是合理的。

2.從考查的重點(diǎn)來看

除考查基本定義和基本性質(zhì)的基礎(chǔ)題外，每年均有一道解答題，屬于綜合應(yīng)用問題，難度系數(shù)高，學(xué)生要完整正確解答還是不容易的。這是廣大師生需要正確面對(duì)的事實(shí)。

高考作為國(guó)家的重要考試，應(yīng)該始終貫徹黨的教育方針。中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系，明確了高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能。因此，高考對(duì)命制試題的要求極高。縱觀命題者命題的依據(jù)，不外乎以下幾種：國(guó)家頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、考試大綱或說明、現(xiàn)行教材、歷年的教學(xué)參考資料和當(dāng)年學(xué)生的知識(shí)能力整體水平等。

教材既作為落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的重要載體，又作為教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的最主要范本，自然有其重要的作用。除了教材，歷年的高考試題，都是經(jīng)過精心研制而得，所以也會(huì)成為高考命題的重要參考。下面，我來具體分析一下高考試題的幾個(gè)來源。

（一）對(duì)教材中的例題進(jìn)行改編

2018年上海春考數(shù)學(xué)試題，第19題是關(guān)于圓錐曲線應(yīng)用的問題。試題如下：

利用“平行與圓錐母線的平面截圓錐面，所得截線是拋物線”的幾何原理，某快餐店用兩個(gè)射燈（射出的光錐視為圓錐）在廣告牌上投影出其標(biāo)識(shí)，如圖1所示，圖2是投影出的拋物線的平面圖，圖3是一個(gè)射燈投影的直觀圖，在圖2與圖3中，點(diǎn)O、A、B在拋物線上，OC是拋物線的對(duì)稱軸，OC⊥AB于C，AB=3米，OC=4.5米.

（1）求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；

（2）在圖3中，已知OC平行于圓錐的母線SD，AB、DE是圓錐底面的直徑，求圓錐的母線與軸的夾角的大?。ň_到0.01°）.

本題與上海教材（高二第二學(xué)期第67頁的例3）高度相似。教材原題如下：

如圖12-48，汽車前反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知，燈口直徑是24厘米，燈深10厘米，求燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)的距離.（圖略）

這兩道題，都是關(guān)于拋物線應(yīng)用的問題，均提供了燈口大小與燈深。不同之處，僅是實(shí)際應(yīng)用的背景略有差異。可以說，2019年上海春考數(shù)學(xué)試題第19題，是教材例題的翻版。這種高考試題與教材例題高度類同或相似的情況，值得我們好好研究。

（二）對(duì)教材中的習(xí)題進(jìn)行拓展

2017年上海高考數(shù)學(xué)試題，第20題是一個(gè)關(guān)于橢圓上動(dòng)點(diǎn)問題，試題如下：

像這樣變形，在題設(shè)條件相同時(shí)，可以得出不同的結(jié)論；有些結(jié)論幾乎類同，只是從不同的角度去設(shè)問，實(shí)際求解過程基本相同。

對(duì)比2017年上海高考數(shù)學(xué)試題第20題，其中第二小問，就是以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，那就要討論∠APM=90°、∠AMP=90°和∠PAM=90°。這與變型題2幾乎類同。如果教師在平時(shí)的教學(xué)中，對(duì)課本中的例題或習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏屯卣?，那么，學(xué)生在碰到新問題時(shí)，會(huì)利用化歸的思想，把新問題轉(zhuǎn)化為熟悉的老問題予以解決。

（三）對(duì)練習(xí)冊(cè)中的習(xí)題進(jìn)行延伸

（1）若點(diǎn)（2，1）在Г上，求Г的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若a=1，直線y=kx+1與Г相交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求k的值.

本題與上海教材習(xí)題（高二第二學(xué)期第38頁）極為相似。原習(xí)題如下：

已知直線l：y=ax+1與雙曲線C：3x2-y2=1相交于A、B兩點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求當(dāng)a為何值時(shí)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).

這兩道題目，均是關(guān)于直線與雙曲線相交的問題。前者考查了相交所得線段的中點(diǎn)；后者則考查以相交所得線段為直徑的圓，實(shí)質(zhì)是圓心平分該圓的直徑，也是關(guān)于線段中點(diǎn)的問題。只是從不同的角度去設(shè)問，學(xué)生要懂得這種圍繞一個(gè)核心內(nèi)容從不同的方面來提出的問題，以不變應(yīng)萬變。

類似的改變，還發(fā)生在2020年春考數(shù)學(xué)試題中，其第20題，是關(guān)于拋物線與直線相交問題，屬于拋物線的典型性問題。試題如下：

（一）重視基礎(chǔ)

圓錐曲線的復(fù)習(xí)，其一，要詳細(xì)復(fù)習(xí)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，把圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖像特征和基本性質(zhì)熟記會(huì)用。其二，要學(xué)會(huì)對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的整理，把分散的知識(shí)合成為一個(gè)整體，使之形成一個(gè)較完整的知識(shí)體系。如看到圖形，能想到對(duì)應(yīng)的方程與一些基本性質(zhì)；反之，知道方程，就會(huì)畫出圖形和研究其特性。其三，要掌握知識(shí)類比，如復(fù)習(xí)雙曲線時(shí)，對(duì)比橢圓與拋物線相似的基本性質(zhì)和各自的特點(diǎn)，使基礎(chǔ)知識(shí)縱向連成線，橫向結(jié)成網(wǎng)，形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（二）善于變換

“變”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活的靈魂，在復(fù)習(xí)時(shí)，不能僅停留在知識(shí)點(diǎn)的記憶程度，還要設(shè)計(jì)一定的練習(xí)題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行必要的訓(xùn)練。

練習(xí)題的選擇和設(shè)計(jì)，一是在于精。對(duì)一些典型的圓錐曲線問題，要分析透徹，訓(xùn)練到位。二是注意融入一題多解的實(shí)訓(xùn)。即對(duì)同一個(gè)問題，能從不同的角度進(jìn)行分析，建立不同式子，尋找相異的路徑，得到相同的結(jié)果，達(dá)到殊途同歸的效果。三是注意加強(qiáng)一題多變的實(shí)訓(xùn)。即在相同條件下，把結(jié)論改成等價(jià)結(jié)果或相近的結(jié)果；在結(jié)論不變時(shí)，適當(dāng)改變問題的條件，而解題的方法基本不變。四是注意進(jìn)行多題一解的實(shí)訓(xùn)。即要善于對(duì)解題方法歸類總結(jié)，把問題不同而解題方法相同或相近的歸成一類，著重對(duì)通性通法的總結(jié)，達(dá)到解一道題破一類題的效果。

（三）適當(dāng)綜合

綜合應(yīng)用，包括綜合與應(yīng)用兩個(gè)方面。

所謂“綜合”，其一，是知識(shí)的綜合。既有圓錐曲線各個(gè)知識(shí)相互關(guān)聯(lián)疊加，也有其他知識(shí)如向量、直線、三角形等與圓錐曲線結(jié)合。其二，是數(shù)學(xué)思想方法的綜合。如函數(shù)思想、方程思想、分類思想和數(shù)形結(jié)合思想等相互融合。

所謂“應(yīng)用”，一是運(yùn)用簡(jiǎn)單的知識(shí)解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，二是運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法解決實(shí)際生活中的問題。如2021年春考數(shù)學(xué)試題第19題，就是運(yùn)用二次曲線解決測(cè)量問題。三是解題方法的綜合。如根據(jù)題目給出的條件，列出方程或方程組，直接求出結(jié)果。四是設(shè)置參變量，通過設(shè)而不解的方法得出結(jié)論。

可見，我們只要對(duì)近五六年的高考圓錐曲線試題的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、來源等進(jìn)行精準(zhǔn)分析，就可以高屋建瓴、把握趨勢(shì)，從而由精準(zhǔn)復(fù)習(xí)入手，為落實(shí)“雙減”背景下培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增效”作出貢獻(xiàn)。