李和平，趙成立，魯恩順，趙章焰

（武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院，湖北 武漢 430063）

1 引言

港口起重機(jī)作為港口物流的主要工具，為國(guó)際貿(mào)易帶來極大便利。但在工作環(huán)境復(fù)雜、工作強(qiáng)度大，頻率高的情況下。港口起重機(jī)的承力結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生不同程度的形變。這種情況不僅會(huì)縮短港口起重機(jī)的使用壽命，還會(huì)造成一定的安全問題。因此有必要通過有效的測(cè)量來評(píng)估安全性[1]。

現(xiàn)在用于測(cè)量大型機(jī)械平面度的方法主要有：三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)方法、CCD測(cè)量方法和百分表方法[2]，三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)方法將受到使用環(huán)境及自身的限制：CCD測(cè)量法操作復(fù)雜、成本高；百分表方法的準(zhǔn)確度存在不足。并且這些方式對(duì)于港口起重機(jī)有非常大的局限性，甚至完全不可行，實(shí)際的工程領(lǐng)域并不適用。

伴隨計(jì)算機(jī)水平的發(fā)展以及學(xué)科之間的交叉越來越深入，對(duì)于起重機(jī)或與其代表的傳統(tǒng)行業(yè)，應(yīng)該尋找新的結(jié)合點(diǎn)。

近景攝影測(cè)量[3]經(jīng)歷過多個(gè)發(fā)展階段之后，已逐漸成熟，近景攝影測(cè)量能夠獲得大量的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，操作簡(jiǎn)單，成本低廉。攝影測(cè)量在當(dāng)今工程領(lǐng)域當(dāng)中愈來愈廣泛，包括道路，橋梁，隧道[4]等方面。

另外得益于計(jì)算機(jī)視覺以及圖像處理領(lǐng)域的技術(shù)發(fā)展，后期數(shù)據(jù)的處理也有了更高效的計(jì)算方式。因此在計(jì)算機(jī)的幫助下，數(shù)據(jù)的后期處理也變得十分快速，精準(zhǔn)。利用近景攝影測(cè)量對(duì)二維像片進(jìn)行處理即可完成對(duì)港口起重機(jī)待測(cè)平面點(diǎn)云數(shù)據(jù)的采集，獲得相關(guān)點(diǎn)的空間位置。對(duì)于港口起重機(jī)平面度的測(cè)量，則可以利用攝影測(cè)量獲得的平面的點(diǎn)云空間坐標(biāo)，然后通過最小二乘法擬合得到相應(yīng)的空間平面，計(jì)算出點(diǎn)到擬合平面的距離，完成平面度的測(cè)量。

2 建立近景攝影測(cè)量系統(tǒng)

2.1 構(gòu)建攝影測(cè)量坐標(biāo)系系統(tǒng)

在攝影測(cè)量中，為了得到待測(cè)物體的位置，形狀，大小，首先要構(gòu)建物體與像片之間的解析關(guān)系，這對(duì)于計(jì)算機(jī)后期處理步驟是十分重要的。坐標(biāo)系系統(tǒng)為笛卡爾空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示。圖1（a）～圖1（d）分別為像平面坐標(biāo)系o′-xy，像空間坐標(biāo)系S-xyz，像空間輔助坐標(biāo)系S-XYZ，物方空間坐標(biāo)系O-XPYPZP。各個(gè)坐標(biāo)系之間的相對(duì)位置關(guān)系，如圖2所示。各待測(cè)點(diǎn)的像平面坐標(biāo)為觀測(cè)值，通過計(jì)算機(jī)相關(guān)軟件處理得到。依據(jù)各個(gè)坐標(biāo)系間的相對(duì)位置關(guān)系，可以獲得待測(cè)物方坐標(biāo)系坐標(biāo)。

圖1 坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate System

圖2 各坐標(biāo)系相對(duì)位置Fig.2 Relative Positions of Each Coordinate System

2.2 后方交會(huì)

在攝影測(cè)量中，共線方程[5]是后方交會(huì)[6]的核心，物方點(diǎn)和像方點(diǎn)要一一對(duì)應(yīng)，點(diǎn)的共線性是解算的基礎(chǔ)。如圖3 所示，S為投影中心，其物方空間坐標(biāo)是（XS，YS，ZS），M是地面上任意一點(diǎn)，物方空間坐標(biāo)（X，Y，Z），像空間輔助坐標(biāo)為（Xm，Ym，Zm），像空間坐標(biāo)為（x，y，-f），則可以得到像空間輔助坐標(biāo)與物方坐標(biāo)之間的關(guān)系式：

圖3 后方交會(huì)示意圖Fig.3 Schematic Diagram of the Resection

由圖2可以看出，像空間坐標(biāo)系繞投影中心S旋轉(zhuǎn)，以得到像空間輔助坐標(biāo)系，其關(guān)系式如下：

將式（1）代入式（2），得到了共線方程公式：

式中：x，y，-f—像點(diǎn)的像空間坐標(biāo)；

f—像片焦距；

XS，YS，ZS—投影中心的物方空間坐標(biāo)；

ai，bi，ci—由像片的旋轉(zhuǎn)角組成的方向余弦值。

因?yàn)楣簿€方程是非線性方程，所以需要使用泰勒公式展開成線性表達(dá)式，即線性化。

線性化后可以得到誤差方程的一般形式為：

式（5）、式（6）中（x）（y）是用各待求值的近似值代入到式（3）與式（4）中求出的像點(diǎn)坐標(biāo)近似值。

x，y為觀測(cè)值，相應(yīng)的改正數(shù)為vx，vy；X，Y，Z為控制點(diǎn)物方坐標(biāo)，是已知的值；外方位元素XS，YS，ZS，φ，ω，κ為待定的參數(shù)，其相應(yīng)的改正數(shù)分別是ΔXS，ΔYS，ΔZS，Δφ，Δω，Δκ。

由式（3）、式（4）可知，至少需要3個(gè)物方控制點(diǎn)才能解共線方程，求得待定參數(shù)，超過3個(gè)控制點(diǎn)可以進(jìn)行平差處理。

2.3 前方交會(huì)

攝影測(cè)量的前方交會(huì)[7]過程需要用到后方交會(huì)所求得的6個(gè)外方位元素，是由立體像對(duì)的內(nèi)，外方位元素和觀測(cè)的像平面坐標(biāo)共同來確定同名像點(diǎn)的物方坐標(biāo)。由左，右像片的外方位元素φ1，ω1，κ1和φ2，ω2，κ2計(jì)算得到相應(yīng)的正交矩陣R1，R2，求得任何一像點(diǎn)的像空間輔助坐標(biāo)。如圖4所示，左像片像點(diǎn)m1，右像片同名像點(diǎn)m2，和模型點(diǎn)M的像空間輔助坐標(biāo)分別為（X1，Y1，Z1），（X2，Y2，Z2），（NX1，NY1，NZ1）或（N′X2，N′Y2，N′Z2），N，N′分別為左右片同名像點(diǎn)的投影系數(shù)。它們之間的關(guān)系式為：

圖4 前方交會(huì)示意圖Fig.4 Schematic Diagram of Forward Intersection

投影系數(shù)由式（7）、式（9）求得：

BX，BY，BZ用左，右像片的外方位元素來計(jì)算，則：

聯(lián)立式（10）～式（14）可得投影系數(shù)N，N′。

任意一點(diǎn)的物方坐標(biāo)初值可通過以下公式獲得：

對(duì)于空間前方交會(huì)的情況，內(nèi)外方位元素已知，地面點(diǎn)坐標(biāo)初值已經(jīng)求得，因此每張像片列出誤差方程為：

3 平面度測(cè)定的最小二乘法分析

3.1 確定平面度測(cè)定方法

平面度誤差[8]是指測(cè)量的實(shí)際表面相對(duì)其參考平面的變動(dòng)量。通過將待測(cè)實(shí)際表面與參考表面進(jìn)行比較來評(píng)估平面度，而通過數(shù)據(jù)處理擬合出的參考平面和實(shí)際表面的相對(duì)位置關(guān)系，將決定平面度的最后評(píng)定結(jié)果。

平面度誤差的評(píng)定主要方法有：最小包容區(qū)域法、最小二乘法、對(duì)角線平面法以及三遠(yuǎn)點(diǎn)平面法。其中最小二乘法[9]是利用所有的點(diǎn)云坐標(biāo)數(shù)據(jù)擬合出一個(gè)理想的參考平面，因此該方法能夠在數(shù)學(xué)理論的支撐下比較客觀，準(zhǔn)確地反映待測(cè)表面平面度的大小。

參考平面上下兩側(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)與該參考平面之間的最大偏離值之和，即為待測(cè)表面平面度的大小。平面D是由最小二乘法擬合出的參考面，Δd為擬合的參考面D兩側(cè)偏離值的最大值之和，如圖5所示。

圖5 平面度測(cè)定示意圖Fig.5 Flatness Measurement Diagram

3.2 建立最小二乘法數(shù)學(xué)分析模型

在建立的空間直角坐標(biāo)系中，平面方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

如圖6所示，平面內(nèi)有n個(gè)離散點(diǎn)，坐標(biāo)為（Xi，Yi，Z）i，i=1……n，用矩陣表示為：

圖6 擬合平面示意圖Fig.6 Schematic Diagram of Fitting Plane

對(duì)矩陣F′進(jìn)行奇異值分解：

由矩陣V可以得到擬合平面的法向量，又由該擬合面必定經(jīng)過眾離散點(diǎn)的平均值坐標(biāo)。

所以可以得到該擬合平面的方程表達(dá)式：

點(diǎn)到平面的公式為：

式（27）所表示的平面方程代表的是一個(gè)擬合平面，反映的是點(diǎn)云的平面趨勢(shì)，點(diǎn)云分布在擬合平面的兩側(cè)。

上下兩側(cè)都有一點(diǎn)到該擬合平面的距離是最大的，該擬合平面上下兩側(cè)最大距離之和即為所求的平面度。

4 實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)流程

試驗(yàn)采用佳能5DS單反數(shù)碼相機(jī)，分辨率（8688×5792），搭配的鏡頭型號(hào)為EF 50mm f/1.8 STM。

其內(nèi)方位元素及畸變參數(shù)[10-11]，如表1所示。

在起重機(jī)機(jī)下方的合適位置找到特征明顯的控制點(diǎn)4個(gè)，調(diào)整好焦距，拍下清晰的像片，移動(dòng)相機(jī)到另一個(gè)攝站點(diǎn)，進(jìn)行同樣的操作。

拍攝過程中要保證左右兩張像片上都有4個(gè)控制點(diǎn)及待測(cè)平面。通過計(jì)算機(jī)攝影測(cè)量程序處理照片，獲得點(diǎn)云的物方坐標(biāo)，然后利用最小二乘法處理點(diǎn)云得到平面度計(jì)算結(jié)果。

對(duì)一臺(tái)門機(jī)可進(jìn)行多次拍攝，取得多張像片，增加實(shí)驗(yàn)的穩(wěn)定性。

實(shí)驗(yàn)流程，如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)流程圖Fig.7 Experimental Flow Chart

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)對(duì)3臺(tái)門座起重機(jī)拍攝，如圖8所示。分別為3臺(tái)門座起重機(jī)的選點(diǎn)圖，為了避免實(shí)驗(yàn)的偶然性，每個(gè)待測(cè)面取20個(gè)點(diǎn)。

圖8 門座起重機(jī)選點(diǎn)圖Fig.8 Site Selection Diagram of Portal Crane

對(duì)每臺(tái)門座起重機(jī)取5個(gè)不同攝站點(diǎn)進(jìn)行拍攝，每個(gè)攝站點(diǎn)取1張像片，5張像片記為1組，對(duì)每臺(tái)門座起重機(jī)取5組計(jì)算。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如表2～表4所示。

表2 門座起重機(jī)1號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Experimental Results of Portal Crane No.1

表3 門座起重機(jī)2號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Experimental Results of Portal Crane No.2

表4 門座起重機(jī)3號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.4 Experimental Results of Portal Crane No.3

，，,是式（27）中的待定參數(shù)，代表擬合平面方程。

門座起重機(jī)1 號(hào)的平面度均值為:13.75476mm，最大值為：13.92134mm，最小值為：13.28481mm；

門座起重機(jī)2 號(hào)的平面度均值為：16.69741mm，最大值為：16.73409 mm，最小值為：16.59285mm；門座起重機(jī)3 號(hào)的平面度均值為：9.251904mm，最大值為：9.32624mm，最小值為：9.14021mm；

多臺(tái)門座起重機(jī)的多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，每組值均在平均值附近較小范圍內(nèi)波動(dòng)，所求得的平面度數(shù)值也比較穩(wěn)定，滿足工程領(lǐng)域的需要。

表1～表3的第一組點(diǎn)的平面擬合圖，如圖9所示。

圖9 門座起重機(jī)平面擬合圖Fig.9 Plane Fitting Diagram of Portal Crane

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)起重機(jī)的特點(diǎn)，通過近景攝影測(cè)量方法獲得點(diǎn)云的位置信息，從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的角度運(yùn)用最小二乘法擬合平面，能夠穩(wěn)定，準(zhǔn)確的計(jì)算平面度數(shù)值。

算法有明確的數(shù)學(xué)理論支撐，方便在計(jì)算機(jī)上大量處理像片及相關(guān)數(shù)據(jù)，所用時(shí)間短。

計(jì)算機(jī)及相關(guān)程序的應(yīng)用，能夠快速地計(jì)算，尤其在測(cè)量較大平面時(shí)，點(diǎn)云數(shù)量足夠龐大，該算法的優(yōu)勢(shì)將進(jìn)一步體現(xiàn)。

平面度與起重機(jī)安全性評(píng)估有十分密切的關(guān)系，為其提供了有力支撐，利用其它學(xué)科領(lǐng)域的技術(shù)來解決傳統(tǒng)大型機(jī)械的安全性評(píng)估問題目前顯得十分必要，同時(shí)也對(duì)起重機(jī)之外的其它大型機(jī)械的安全性評(píng)估也有一定程度的參考價(jià)值。