“審美價(jià)值”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究
——以全等三角形為案例

盧 雪 (吉林師范大學(xué)，吉林 四平 136000)

一、緒 論

(一)研究背景和意義

1.研究背景

“數(shù)學(xué)美”來源于人類的生產(chǎn)與生活中,是自然美的客觀反映形式.即人類的日常生活中體現(xiàn)著“數(shù)學(xué)美”，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)思維領(lǐng)域的美,體現(xiàn)著數(shù)學(xué)存在形式的美.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂以來,明確指出高中數(shù)學(xué)課程的“三維目標(biāo)”,即知識(shí)與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀;也明確指出學(xué)生應(yīng)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的“四大價(jià)值”，即科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值與審美價(jià)值.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師應(yīng)充分利用教學(xué)資源,理性組織教學(xué)內(nèi)容，有效運(yùn)用教學(xué)媒體，重視學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)美的眼睛，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新美、創(chuàng)造美的能力，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)鑒賞美的認(rèn)知和激勵(lì)學(xué)生豐富自我的審美情趣.在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美、感受心靈美、激勵(lì)靈魂美.現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育，教育者更多在意的是學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，家長(zhǎng)更多在意的是學(xué)生在校的成績(jī)排名，很少注意數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的滲透，對(duì)于數(shù)學(xué)美在學(xué)習(xí)中的滲透更是容易被忽略的，作為未來的教師，重視數(shù)學(xué)審美價(jià)值在學(xué)科里的滲透，是至關(guān)重要的任務(wù).羅素曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)在使人賞心悅目和提供審美價(jià)值方面,至少可與其他任何一種文化門類媲美.”[1]因此,著重研究審美價(jià)值在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用價(jià)值，以全等三角形為教學(xué)研究案例.

2.研究意義

哪里有數(shù),哪里就有美,在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中,在整個(gè)數(shù)學(xué)方法之中,在整個(gè)數(shù)學(xué)思想之中,無可否認(rèn),數(shù)學(xué)的美都是客觀存在的,比如簡(jiǎn)潔美，阿拉伯?dāng)?shù)字的簡(jiǎn)便表示，數(shù)學(xué)符號(hào)、式子的簡(jiǎn)潔記法；對(duì)稱美，數(shù)學(xué)圖形中的對(duì)稱軸、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，中心對(duì)稱、鏡像對(duì)稱、軸對(duì)稱等；和諧美，黃金比例與圓錐曲線方程等都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“美”.因此,本論文的研究不僅有利于在數(shù)學(xué)教學(xué)中,提高縝密的邏輯思維能力，培養(yǎng)提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)探索的興趣，認(rèn)知水平和欣賞美的能力,并對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義思想教育，進(jìn)而提升學(xué)生的綜合素質(zhì).國(guó)家教育重點(diǎn)培養(yǎng)全面發(fā)展綜合素質(zhì)的人才，學(xué)生不僅要把書本上的知識(shí)點(diǎn)掌握，更應(yīng)該體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中的審美價(jià)值、文化價(jià)值等；教師不僅注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，更應(yīng)該注重養(yǎng)成學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣與數(shù)學(xué)意識(shí)等；家長(zhǎng)不僅在乎學(xué)生的考試成績(jī)與成績(jī)排名，更應(yīng)該注重學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)與學(xué)習(xí)態(tài)度.

(二)國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

1.國(guó)外研究現(xiàn)狀

國(guó)外關(guān)于數(shù)學(xué)審美價(jià)值的研究，時(shí)間較早且成果顯著,主要在數(shù)學(xué)美的理論研究和數(shù)學(xué)美的教學(xué)應(yīng)用兩大方面.早期,古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的《美在形式》中指出,“宇宙的美就在于數(shù)及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)美,認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)美的存在并揭示了數(shù)學(xué)美的特征”;20世紀(jì)法國(guó)學(xué)家龐加萊的《科學(xué)的價(jià)值》中指出,“數(shù)學(xué)美對(duì)數(shù)學(xué)直覺的重要作用,及其數(shù)學(xué)直覺對(duì)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造發(fā)明的價(jià)值”;美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因的《西方文化中的數(shù)學(xué)》中指出,“音樂能激發(fā)情懷,繪畫使人賞心悅目,詩歌能動(dòng)人心弦,哲學(xué)使人獲得智慧,科技可以創(chuàng)造生活,但數(shù)學(xué)卻能提供上述全部”[1].這無疑肯定了數(shù)學(xué)審美價(jià)值重要的地位及作用.總之,國(guó)外的理論研究從不同角度揭示了數(shù)學(xué)美的客觀存在,側(cè)重于通過審美體驗(yàn)進(jìn)而增進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造、直覺、思維能力.

2.國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀

我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治在《數(shù)學(xué)方法論選講》中,首次提出數(shù)學(xué)美問題,引起國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注;國(guó)內(nèi)學(xué)者肖柏榮在《數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)概論》中,從多個(gè)角度對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)進(jìn)行深入研究,既有理論價(jià)值,也有應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的可操作性[3].因此,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師應(yīng)落實(shí)數(shù)學(xué)美學(xué)思想方法,讓學(xué)生深入體會(huì)到數(shù)學(xué)美的價(jià)值及意義.

劉云章認(rèn)為數(shù)學(xué)美是客觀存在的，不僅從哲學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，論證了數(shù)學(xué)美在學(xué)習(xí)與培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)中的價(jià)值，而且從數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、邏輯美與和諧美三個(gè)層面表達(dá)總結(jié)數(shù)學(xué)美的價(jià)值與特點(diǎn).研究總結(jié)得出，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力，培養(yǎng)學(xué)生的審美意識(shí)，有益于學(xué)生創(chuàng)造能力的提升與發(fā)現(xiàn)歸納等邏輯思維的提升.

新出版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，尤其重視發(fā)展全面素質(zhì)教育，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)文化滲透到教學(xué)中，讓學(xué)生更深層次體會(huì)與感受數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力，融合環(huán)境與審美主體意向.數(shù)學(xué)不僅僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課上的概念、法則、定理與公式，更是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)的思想、精神和方法的養(yǎng)成.

二、數(shù)學(xué)審美教育的概念和特征

(一)數(shù)學(xué)審美教育的概念

科學(xué)社會(huì)主義的創(chuàng)始人,偉大的革命大師馬克思指出社會(huì)的進(jìn)步就是人類對(duì)美的追求的結(jié)晶,審美教育又稱為美育.美育即審美價(jià)值在教育活動(dòng)中不斷滲透,21世紀(jì)是科技時(shí)代、信息時(shí)代，學(xué)生要用自己的審美能力,主動(dòng)接受審美教育,教師通過學(xué)生對(duì)審美教育的反饋，教師通過運(yùn)用現(xiàn)代媒介積極影響學(xué)生審美價(jià)值.因此,數(shù)學(xué)審美價(jià)值,是在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師在數(shù)學(xué)審美對(duì)象上,滿足學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的審美需要,引起學(xué)生審美感受的體驗(yàn).數(shù)學(xué)學(xué)科具有多種價(jià)值和特點(diǎn)，是一門不可或略的自然學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人多數(shù)認(rèn)為數(shù)學(xué)的美極其特別與精致.數(shù)學(xué)課堂上，教育者應(yīng)該將數(shù)學(xué)美滲透在教學(xué)知識(shí)的方方面面，貫穿教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，引領(lǐng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中的美學(xué)，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美等帶來的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而提升每名學(xué)生的審美能力，提升每名學(xué)生的數(shù)學(xué)情趣，提升每名學(xué)生的創(chuàng)造能力等.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教育者應(yīng)將數(shù)學(xué)美貫穿在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì).

(二)數(shù)學(xué)審美價(jià)值的特征

1.數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美,是指數(shù)學(xué)的表達(dá)形式和數(shù)學(xué)理論體系的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔,是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的重要標(biāo)志.例如以往其他記數(shù)符號(hào)都很煩瑣,而阿拉伯?dāng)?shù)字(0，1，2，3，4，5，6，7，8，9)因其簡(jiǎn)潔性而成為國(guó)際上的通用符號(hào);又如函數(shù)y=f(x),數(shù)學(xué)家笛卡爾用這一簡(jiǎn)潔的表達(dá)式,就使兩個(gè)變量x和y通過對(duì)應(yīng)法則聯(lián)系在一起.這些都深刻地、靈活地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美，更多展現(xiàn)的是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的“化繁為簡(jiǎn)”.

數(shù)學(xué)歸納法的巧妙運(yùn)用，在數(shù)學(xué)問題中試圖進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)行一般性驗(yàn)證時(shí)，不僅減少了運(yùn)算量，也設(shè)計(jì)出了簡(jiǎn)潔的計(jì)算推理步驟，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)問題的答案，既節(jié)省學(xué)生的寶貴時(shí)間，也免得讓學(xué)生感受復(fù)雜冗長(zhǎng)重復(fù)的核驗(yàn)而感到枯燥乏味；笛卡爾，坐標(biāo)系的發(fā)明人，大膽提出設(shè)想，當(dāng)遇到幾何問題時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想，將幾何圖形看成是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成或由具有某種特點(diǎn)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡構(gòu)成，并以方程的形式體現(xiàn)這個(gè)特定的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，而方程的解就是圖像上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而不管多么繁雜且困難的幾何問題，都可轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題進(jìn)行解決，簡(jiǎn)潔且有效；數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，將未知轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎?，將?fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

2.數(shù)學(xué)的對(duì)稱美

數(shù)學(xué)的對(duì)稱美在幾何學(xué)部分得到了完美的詮釋,中心對(duì)稱、鏡像對(duì)稱、軸對(duì)稱都給人一種舒適的、均衡的、美觀的感受.畢達(dá)哥拉斯派曾提出：“一切平面圖形中最美的是圓形,而一切立體圖形中最美的是球體.”對(duì)稱是一種形式的、勻稱的、圓滿的美感[2].

數(shù)學(xué)美中最常見、最普遍的就是對(duì)稱美，最容易發(fā)現(xiàn)的就是數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中的對(duì)稱性，是最常見的一種形式，即數(shù)學(xué)內(nèi)容與知識(shí)結(jié)構(gòu)間的協(xié)調(diào)所表現(xiàn)出來的對(duì)稱.比如在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式中也存在著對(duì)稱關(guān)系，函數(shù)與減函數(shù)及二項(xiàng)式定理體現(xiàn)出的統(tǒng)一、對(duì)稱都展現(xiàn)了其美的價(jià)值；指數(shù)與對(duì)數(shù)體現(xiàn)出的統(tǒng)一、對(duì)稱使人感到對(duì)稱美的奇妙；在數(shù)學(xué)圖形幾何知識(shí)點(diǎn)中平移對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、鏡像對(duì)稱，使得枯燥乏味的數(shù)學(xué)知識(shí)處處充滿美感，給人以視覺享受，時(shí)時(shí)刻刻都體現(xiàn)數(shù)學(xué)美.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生多觀察幾何圖形、定理等蘊(yùn)含的對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)其對(duì)稱美，提高學(xué)生的審美能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生在解題中構(gòu)造對(duì)稱并尋求解題策略與解答方法的意識(shí).

3.數(shù)學(xué)的和諧美

學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念、法則、定理和公式，在滿足一定的條件后，即使在各種各樣的數(shù)學(xué)分支下，也能將知識(shí)統(tǒng)一，融合到一起，將雜亂無章轉(zhuǎn)化成有序和諧的整體.在教學(xué)中，教育者將數(shù)學(xué)的和諧美體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式中，將數(shù)學(xué)知識(shí)與自然融合，將數(shù)學(xué)思想與生活問題融合，將數(shù)學(xué)習(xí)慣與人生哲理融合，數(shù)學(xué)的和諧美至關(guān)重要.

三、“審美價(jià)值”在數(shù)學(xué)教學(xué)案例中的應(yīng)用研究

(一)全等三角形的審美教學(xué)設(shè)計(jì)

1.審美因素分析

從字面來看,全等三角形就是兩個(gè)或多個(gè)圖形之間完全重合,通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等幾何操作過程體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美等美學(xué)意義.教師利用多媒體展示全等的圖片,引起學(xué)生對(duì)全等圖形的好奇,有助于創(chuàng)設(shè)美的教學(xué)情境[4].

2.教學(xué)目標(biāo)

(1)情境與問題：通過全等形圖片的引入創(chuàng)設(shè)美的教學(xué)情境,在情境中發(fā)現(xiàn)圖形中的全等；聯(lián)系生活實(shí)際，學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)用感官來發(fā)現(xiàn)圖形中的全等.

(2)知識(shí)與技能：掌握全等三角形的判定條件，并會(huì)準(zhǔn)確判斷兩個(gè)圖形或多個(gè)圖形是否全等；理解全等圖形、全等三角形的概念.

(3)思維與表達(dá)：分析全等圖形之間的特征，類比出全等三角形之間的特征；鍛煉數(shù)學(xué)思維與方法，學(xué)會(huì)用類比等思想來學(xué)習(xí)新知識(shí)，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系.

(4)交流與反思：通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折變換兩個(gè)重合三角形的位置,培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)研究幾何圖形的意識(shí),讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的變換美、統(tǒng)一美；多與同學(xué)間交流討論，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)意識(shí)，對(duì)自己解決出的問題，感受到成就感與滿足感.

3.教學(xué)重、難點(diǎn)

(1)重點(diǎn)：理解全等三角形的概念、性質(zhì);掌握全等三角形的判定條件.

(2)難點(diǎn)：掌握全等三角形的判定條件,并完成有關(guān)計(jì)算題.

4.教學(xué)過程

(1)創(chuàng)設(shè)情境：教師展示圖片,學(xué)生小組討論,創(chuàng)設(shè)教學(xué)審美的教學(xué)情境.

(2)引入新課：教師引導(dǎo)學(xué)生得出全等圖形、全等三角形的概念;引入平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等幾何變換.教師引導(dǎo)學(xué)生得出全等三角形的判定條件，學(xué)生在推導(dǎo)過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美；判定條件由字母表示為邊角邊SAS、邊邊邊SSS、角邊角ASA、角角邊AAS，在歸納判定條件中感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

(3)鞏固訓(xùn)練：設(shè)置證明題,在數(shù)學(xué)觀察與解題中感受數(shù)學(xué)的美.

問題：如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作GE∥BC，角平分線BD，CF相交于點(diǎn)H，它們的延長(zhǎng)線分別交GE于點(diǎn)E，G.

圖1

①在圖中找出三對(duì)全等三角形；

解：圖中的三對(duì)全等三角形分別為

△BCF≌△CBD、△BHF≌△CHD、△BDA≌△CFA.

②在你找出的三對(duì)全等三角形中，選一對(duì)給出證明過程.

證明：因?yàn)锳B=AC，

所以∠ABC=∠ACB.

又因?yàn)锽D，CF是∠ABC=∠ACB的角平分線，

所以∠BCF=∠CBD.

所以，在△BCF和△CBD中，

所以△BCF≌△CBD(ASA).

在解題過程中，應(yīng)用到所學(xué)的新知識(shí)，即證明全等三角形的判定條件.學(xué)生通過習(xí)題，對(duì)新知識(shí)掌握更加牢固，在第①題中，學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行分析，迅速抓到解題的關(guān)鍵信息，準(zhǔn)確判斷出全等條件，進(jìn)而得△BCF≌△CBD,△BHF≌△CHD，△BDA≌△CFA三對(duì)全等三角形.在第②題中，需要證明過程，在證明過程中，重要的是，寫清楚邏輯關(guān)系，即因?yàn)椤⑺?，?shù)學(xué)符號(hào)的正確書寫、運(yùn)用，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美、和諧美.

(4)布置作業(yè)：在生活中找到全等的例子，從生活中感受數(shù)學(xué)知識(shí)的色彩，從數(shù)學(xué)知識(shí)中發(fā)現(xiàn)生活的影子,體會(huì)數(shù)學(xué)中圖形的對(duì)稱美、和諧美.

四、結(jié)語與展望

數(shù)學(xué)審美教學(xué)是新型的數(shù)學(xué)教學(xué)方式,其核心就是重視數(shù)學(xué)的審美價(jià)值并充分挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容中的美育因素并將其恰當(dāng)?shù)厝谌胝n堂教學(xué)中,以此來優(yōu)化傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)枯燥無味的弊端[4].教育者應(yīng)該有效合理地創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，在各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中滲透數(shù)學(xué)美的元素，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的眼睛，在學(xué)習(xí)知識(shí)中體會(huì)數(shù)學(xué)帶給我們的審美價(jià)值與樂趣，使學(xué)生不再覺得數(shù)學(xué)是枯燥乏味的，而是喜歡上數(shù)學(xué)，體現(xiàn)其價(jià)值.

隨著教育教學(xué)改革，新課標(biāo)的修訂，數(shù)學(xué)審美價(jià)值更受重視，數(shù)學(xué)審美價(jià)值教學(xué)也不斷發(fā)展,望有更多的人從更多的方面對(duì)此進(jìn)行深入細(xì)致的研究.