利用還原法解決導數(shù)中的一類問題

華加婷

(江蘇省揚州大學數(shù)學科學學院 225009)

1 問題的提出

在高中數(shù)學學習過程中，解題的方法多種多樣，但一般來說，最常見的方法是“前推后”，即通過已知條件向后推算出結果.而實際操作過程中很多問題是需要“逆推”的，例如導數(shù)中的一類問題，需要將導數(shù)還原，這需要學生具備一定的邏輯推理能力.而多數(shù)學生因不知道從哪里下手，所以找不到解題的切入點，這時就需要運用多種解題方法.還原法是眾多方法之一，是依據(jù)數(shù)學規(guī)則和方法，來實現(xiàn)導數(shù)的還原.對于絕大多數(shù)高中生來說，能記憶某些導數(shù)的原函數(shù)，卻不知道還原原函數(shù)的方法.

為了幫助學生解決此類問題，本文介紹一種構造函數(shù)的方法：“對數(shù)還原法”，它是為了證明中值定理而采用的一種方法，其原理是將目標條件構造成兩個以e為底對數(shù)函數(shù)的形式，最終所構造的輔助函數(shù)是利用導數(shù)加減法則和對數(shù)運算法則而得.順著這個思路，將其應用在抽象函數(shù)導數(shù)的一類問題中，去探求從特殊到一般、抽象到具體的解題方法.

2 步驟初探索

一般情況下，在高考數(shù)學試題中，抽象函數(shù)和導數(shù)結合常以綜合題的形式出現(xiàn).下面將以xf′(x)-f(x)=0為源頭，探索在題目給出不同條件的情況下，如何不靠“死記硬背”而靈巧地構造相應的“關鍵性”函數(shù)，從而為解決這一類問題提供切實可行的解題步驟.

在高中有兩種構造抽象函數(shù)的方法，一是利用和差函數(shù)求導法則構造；二是利用積商函數(shù)求導法則構造，其本質上是組合還原，其關鍵點是根據(jù)已知條件的特點去還原、構造.例如，當題目中出現(xiàn)f′(x)+g′(x)=0時，可構造F(x)=f(x)+g(x)……當然，有一部分學生能夠記住非常多的函數(shù)構造公式.雖然說這在一定程度上對解題有所幫助，但是在遇到一些更有深意、陌生的題目時，這些公式很有可能是“一把破刀”而非“利劍”.因此，為了更高效地學習數(shù)學，需探索同類題型的通法，而非是記住所有的公式.

2.1 直接構造

例1設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1)=0，當x<0時，有xf′(x)-f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

答案(-∞,-1)∪(1,+∞).

若題目中出現(xiàn)“xf′(x)+f(x)=0”這樣的條件，憑借經驗，自然地聯(lián)想到導數(shù)四則運算法則中的乘法法則，構造函數(shù)F(x)=xf(x).若將條件xf′(x)-f(x)=0換成含系數(shù)不等于1的式子，那么該如何解決呢？

2.2 間接構造

變式1設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1)=0，當x<0時，有xf′(x)-2f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

答案(-1,1).

若題目中出現(xiàn)的條件為“xf′(x)+2f(x)>0”，可模仿上述構造函數(shù)的過程，構造函數(shù)F(x)=x2f(x).

水利部門，水管部門，以及村民協(xié)會，水務集團，搭建層層的實際的交易平臺，來處理所管理區(qū)域的水權交易手續(xù)，并發(fā)放水權交易價格指導，建立水權交易賬戶，引導當事人進行合理的合法的水權交易規(guī)定，各個鄉(xiāng)鎮(zhèn)應當按照已制定的水權市場建設實施方案中的具體要求來進行交易，實時調整水權適用水量指標，建立水權交易登記制度。

變式2 設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1)=0，當x<0時，有f′(x)-2f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

答案(-1,1).

變式3設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1)=0，當x<0時，有xf′(x)-2exf(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

3 步驟應用

例2 (2007年陜西理改編)f(x)是定義在(0,+∞)上非負可導函數(shù)，且滿足f′(x)+f(x)≤0，則對于任意的正數(shù)a，b，若a

A.eaf(b)≤ebf(a)B.eaf(b)≥ebf(a)

C.eaf(a)≤ebf(b)D.eaf(a)≥ebf(b)

解析構造函數(shù)g(x)=ex·f(x)，對其進行求導得g′(x)=ex·[f′(x)+f(x)]，易知g′(x)≤0，故函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調遞減.

當a

從上面可以看出利用換元法來構造函數(shù)解題的優(yōu)越性，為后續(xù)解決類似問題提供了一種簡便、可行的方法.當然，有絕大部分學生會有這樣一個困惑——“憑借經驗直接構造函數(shù)或者看選項構造函數(shù)，這樣的解法更快.為什么非要采用這個方法呢？”學生的想法固然是正確的，但是這些解法是有局限性的.

綜上，從上面的例題可以看出，作商還原的解題步驟為構造一類非常規(guī)、非常見的函數(shù)提供一定的構造思路.當然，解決問題的方法多種多樣，并非一定按照上述步驟去解題.在解題時，面對新穎的、更有深意的題目，可靈活運用解題技巧，多角度思考問題、分析問題.