核心素養(yǎng)視角下高考數(shù)學(xué)選擇題評(píng)析及解題建議
——以2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷為例

羅 瑤 張映輝

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 541006)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.各要素之間相互融合，統(tǒng)一于一個(gè)有機(jī)整體，但其各部分保持相對(duì)獨(dú)立，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中充分體現(xiàn).本文以2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷為例，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所包含的六個(gè)要素對(duì)試卷的選擇題進(jìn)行評(píng)析，論證其合理性，發(fā)現(xiàn)每一套卷子均落實(shí)了立德樹(shù)人、五育并舉的要求，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)均有考查，并基于分析以及核心素養(yǎng)的考查要求為高三考生提出一些數(shù)學(xué)備考建議.

1 數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，而數(shù)學(xué)抽象作為它的本質(zhì)特征之一，也位于該學(xué)科六大核心素養(yǎng)之首，是數(shù)學(xué)教學(xué)以及考查中必須涉及的內(nèi)容.舉例來(lái)說(shuō)，函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)一般以數(shù)學(xué)抽象為理論基礎(chǔ)，進(jìn)而理解其含義并將其應(yīng)用到實(shí)踐，以此使學(xué)生清晰地感知數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生以及發(fā)展過(guò)程.因此單調(diào)性在高考數(shù)學(xué)題目中的考查較為常見(jiàn)，常常結(jié)合其他考點(diǎn)一同體現(xiàn)在題目中.

例1(2021年新高考Ⅱ卷第8題)已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+1)為奇函數(shù)，則( ).

C.f(2)=0 D.f(4)=0

評(píng)析本題主要考查的是函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性及周期性等知識(shí)點(diǎn).根據(jù)f(x+2)為偶函數(shù)可以推導(dǎo)出f(x+2)=f(-x+2)，將-x+2看作一個(gè)整體從而得出f(x)=f(-x+4)，此外由奇函數(shù)的性質(zhì)得到f(2x+1)=-f(-2x+1)且f(1)=0，同樣把2x+1作為一個(gè)整體可得出f(x)=-f(-x+2)，因此f(x+4)=-f(x+2)=-f(-x+2)=f(x)，即f(x)是周期函數(shù)，且是以4為周期的，再結(jié)合f(1)=f(3)=0，進(jìn)而得到答案為選項(xiàng)B.本題旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，其中也包括了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2 邏輯推理

數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有抽象性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)解題對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求也較高.有學(xué)者提出完成培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)任務(wù)只有在邏輯推理活動(dòng)中進(jìn)行，數(shù)學(xué)題目的解答過(guò)程其實(shí)就包含了許多邏輯推理活動(dòng).

例2(2021年新高考Ⅱ卷第12題)設(shè)正整數(shù)n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0，1}，記ω(n)=a0+a1+…+ak，則( ).

A.ω(2n)=ω(n)

B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3)

D.ω(2n-1)=n

評(píng)析本題主要考查二項(xiàng)式定理及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)等.根據(jù)題目中的ω(n)定義可以逐項(xiàng)判斷選項(xiàng)ACD的正誤，對(duì)于選項(xiàng)B的正誤判斷，可以通過(guò)特殊值法來(lái)完成.本題題干表述簡(jiǎn)潔，需要學(xué)生具備規(guī)律意識(shí)、發(fā)現(xiàn)意識(shí)和歸納意識(shí).本題主要考查了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，其中也涉及到數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的考查.邏輯推理素養(yǎng)是學(xué)生普遍匱乏的素養(yǎng)之一，完成對(duì)該素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該滲透在日常學(xué)習(xí)和生活過(guò)程中.

3 數(shù)學(xué)建模

具備數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的人能將實(shí)際問(wèn)題先抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并實(shí)現(xiàn)問(wèn)題到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)變，最后能用數(shù)學(xué)方法完成相關(guān)模型的構(gòu)造以及問(wèn)題的處理.數(shù)學(xué)建模要從實(shí)際情境出發(fā)，與生活聯(lián)系，盡可能使學(xué)生體悟數(shù)學(xué)源自生活、最后又回到生活中去，感受數(shù)學(xué)知識(shí)與技能在生活中的價(jià)值.

A.18 B.10 C.6 D.4

評(píng)析本題主要考查線性變換知識(shí)點(diǎn).根據(jù)題目的約束條件可畫出圖象，再把z=3x+y整理成y=-3x+z，把原本求z的最小值轉(zhuǎn)換成求y=-3x+z在y軸截距的最小值，即可得答案C.其中關(guān)鍵在于學(xué)生能夠?qū)@個(gè)問(wèn)題情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，畫出約束條件的圖象，即建立模型求解.本題主要考查的是學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，其中也包括了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，同時(shí)對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)換思想、數(shù)形結(jié)合思想也進(jìn)行了考查.

4 直觀想象

直觀想象并不等同于空間想象與幾何直觀的簡(jiǎn)單組合.在對(duì)高中生直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)中，主要包括三種能力的培養(yǎng)，分別是數(shù)形結(jié)合、幾何直觀、空間想象.在歷年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷中，通過(guò)幾何直觀分析和解決問(wèn)題的試題數(shù)量較多，難度也較大，對(duì)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)考查程度也較強(qiáng).

例4(2021年新高考Ⅱ卷第10題)在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足MN⊥OP的是( ).

評(píng)析本題考查空間幾何中的線面垂直、面面垂直以及異面角.由線垂直于面的充分條件可以判斷出選項(xiàng)BC是否正確，平移直線MN，再構(gòu)造與異面直線OP所形成的線線角后可以得到選項(xiàng)AD為錯(cuò)誤選項(xiàng)，即可得本題答案為BC.直觀想象的起源是為了學(xué)生能從圖中直觀地獲取合理的思維、減少運(yùn)算，該題主要測(cè)試了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)水平，其中也包括了對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力的考查.

5 數(shù)學(xué)運(yùn)算

在數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)中，學(xué)生最為熟悉、且與學(xué)生關(guān)系最密切的是數(shù)學(xué)運(yùn)算.數(shù)學(xué)運(yùn)算并不等同于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算以及簡(jiǎn)單的加減乘除，是解決問(wèn)題的基本手段，它的內(nèi)涵為首先要明晰運(yùn)算的數(shù)學(xué)對(duì)象，并在此基礎(chǔ)上能夠正確使用相關(guān)運(yùn)算法則來(lái)解決問(wèn)題.因此在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生能否從多元視角來(lái)分析影響運(yùn)算的因素，是高效解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

評(píng)析本題主要考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、倍角公式、三角函數(shù)平方公式等.本題解答的關(guān)鍵在于將式子進(jìn)行齊次化處理，利用三角函數(shù)平方公式將“1”特殊化處理：即將“1”化為sin2θ+cos2θ，同時(shí)把sin2θ中2倍角化為2sinθcosθ，代入tanθ=-2即可求得結(jié)果；本題也可以利用tanθ=-2求出sinθ，cosθ的值，分類討論也可以求得結(jié)果，但需要分情況討論sinθ，cosθ在不同象限的正負(fù)，若經(jīng)過(guò)齊次化處理則避免這一分類討論.本題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)進(jìn)行了考查，其中還包括對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查.

6 數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)主要包括從研究對(duì)象中提取數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)工具對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲得所需研究對(duì)象知識(shí)的能力.“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”是全社會(huì)的共識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)以適應(yīng)大數(shù)據(jù)時(shí)代的變化是我們義不容辭的責(zé)任.但數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的形成不是一蹴而就的，而是對(duì)數(shù)據(jù)分析觀念的繼承和發(fā)展.

評(píng)析本題主要考查隨機(jī)事件發(fā)生的概率、幾何概型公式等知識(shí)點(diǎn).在解答時(shí)學(xué)生首先從問(wèn)題情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，分析題目可知隨機(jī)數(shù)取值區(qū)間以及符合條件的長(zhǎng)度范圍分別是多少，通過(guò)幾何概型公式整理計(jì)算，即可求得答案為B.本題難度不大，主要是獲取學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，其中也包括了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).在實(shí)際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要保持對(duì)數(shù)據(jù)的敏感度，能有意識(shí)地了解并學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析的方法，提高自身的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

7 解題建議

2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷的選擇題具有強(qiáng)概念性、數(shù)形兼?zhèn)湟约敖夥ú晃ㄒ坏忍攸c(diǎn)，注重對(duì)學(xué)生雙基的考查.因此，學(xué)生在做答選擇題時(shí)，要做到“眼動(dòng)、腦動(dòng)、手動(dòng)”結(jié)合：“眼動(dòng)”即審題要仔細(xì)和全面，抓住要點(diǎn)，“腦動(dòng)”即要將提取的信息進(jìn)行有效加工，如要綜合考慮幾種情況、嘗試從不同的角度解題；“手動(dòng)”即考生需要?jiǎng)庸P計(jì)算數(shù)、動(dòng)筆畫出圖，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用且有效的方法，能化繁為簡(jiǎn)、化難為易.總得來(lái)說(shuō)，高考數(shù)學(xué)選擇題考點(diǎn)靈活，但難度適中，考生注重解題的技巧性方能從容應(yīng)對(duì).