蘇 山，謝永杰，白瑜亮，劉印田，單永志

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001；2.上海機電工程研究所，上海 201109；3.北京機電工程研究所，北京 100074；4.中國兵器工業(yè)集團航空彈藥研究院，黑龍江哈爾濱 150001）

0 引 言

隨著導(dǎo)彈武器技術(shù)的不斷發(fā)展，未來戰(zhàn)爭將會出現(xiàn)高動態(tài)、強博弈的特征，智能化博弈對抗成為趨勢。目前單一攔截彈已經(jīng)無法滿足智能化作戰(zhàn)的需求，因此需要開展多彈協(xié)同、智能化的導(dǎo)彈攔截方法研究，以增加對來襲導(dǎo)彈的攔截概率并提高攔截效率。

微分對策制導(dǎo)律是應(yīng)對目標機動并提高攔截效率的一種有效手段。Kamal在飛行器和目標均具有理想動態(tài)特性條件下，設(shè)計了一種基于邊界型微分對策的制導(dǎo)律（DGL），后來又考慮到了飛行器具有一階動態(tài)特性、目標具有理想的動態(tài)特性的情況?；ㄎ娜A等考慮飛行器和目標均具有一階動態(tài)特性，設(shè)計了微分對策制導(dǎo)律（DGL/1）。Battistini和Shima等考慮攔截彈的舵控效果，將其動態(tài)特性取為一節(jié)正則環(huán)節(jié)，并分別在目標具有理想動態(tài)特性和一階正則動態(tài)特性條件下對攔截微分對策問題進行研究，得到了相應(yīng)的邊界型微分對策制導(dǎo)律。為了得到飛機和目標的最優(yōu)控制策略，需要將兩點邊值問題求解作為考慮實際動態(tài)特性的非線性微分對策問題。Wang等從數(shù)值方法角度出發(fā)對該問題展開研究，提出了集合遺傳算法與初始值猜測以及半直接配點法的解法。Bardhan等通過SDRE方法對微分對策制導(dǎo)方法進行了研究。

本文研究了一種基于微分對策的多防空導(dǎo)彈角度協(xié)同制導(dǎo)方法。在考慮終端脫靶的情況下，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對相對運動矢量方程進行簡化，并采用最優(yōu)策略求解狀態(tài)方程。考慮2攔1的簡化場景，得到了角度協(xié)同制導(dǎo)律的解析解。最后，對所采用的協(xié)同制導(dǎo)進行了仿真研究，建立了一個典型的防空仿真場景，驗證了所設(shè)計的制導(dǎo)律對攔截不同類型目標的有效性。

1 多攔一博弈對抗模型

在協(xié)同作戰(zhàn)過程中，設(shè)置場景為多枚防空導(dǎo)彈對一個來襲目標進行攔截時，兩者的二維相對位置關(guān)系如圖1所示。

圖1 n攔1作戰(zhàn)場景Fig.1 n versus 1 scene

圖1 中共有個攔截彈對1 個目標進行攔截，其中：M、M、M分別為第、、枚攔截彈；T為目標；、、分別為攔截彈、、的視線角（即各攔截彈與目標的連線與軸的夾角）；、、分別為攔截彈、、加速度；為目標加速度；r、r、r分別為攔截彈、、的彈目連線距離；、、分別為攔截彈、、速度；為目標速度；、、為攔截彈、、的彈道傾角；為目標彈道傾角。在目標對個攔截彈進行突防的過程中，攔截彈的視線方向與加速度方向垂直。為提高目標成功逃逸的可能性，設(shè)定來襲目標的加速度與其速度方向垂直。

對圖1中相對運動關(guān)系進行線性化處理，得到

式中：為枚攔截彈相對目標在垂直于初始視線方向的位置偏差；為對時間的導(dǎo)數(shù)，即垂直于初始視線方向的相對速度；x為攔截交會角矢量。根據(jù)式（4），定義第枚攔截彈與目標的狀態(tài)矢量為

2 多攔一微分對策制導(dǎo)律推導(dǎo)

2.1 多攔一最優(yōu)策略求解

根據(jù)微分對策博弈原理，保證攔截彈盡可能完成對進攻彈的攔截，即終端脫靶量盡可能小，且攔截彈機動盡可能小，進攻彈為完成突防任務(wù)盡可能大，設(shè)計性能指標如下：

式中：α、β、、分別表示對應(yīng)性能指標項的比例系數(shù)；表示終端時刻；Δ表示相對攔截角度的期望值；、表示對應(yīng)的控制權(quán)重。

為實現(xiàn)多枚攔截彈對目標的攔截任務(wù)，所有枚導(dǎo)彈和目標都要滿足以下條件：①導(dǎo)彈和相鄰的導(dǎo)彈間的相對攔截角度與期望值Δ的偏差盡可能小；②每一枚攔截彈在對目標完成攔截的過程中，保證攔截彈與目標的攔截脫靶量能達到最??；③攔截彈的能量消耗盡量小。對進攻導(dǎo)彈則反之。

利用狀態(tài)空間中的相關(guān)理論，將狀態(tài)變量通過空間轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)化為另一種形式，則攔截彈對目標的零控脫靶量Z()和零控攔截角度Z()可表示為

根據(jù)最優(yōu)控制理論的伴隨方程以及伴隨變量()的邊界條件可知伴隨變量的值應(yīng)滿足：

2.2 二攔一最優(yōu)策略分析

式中：第一次出現(xiàn)的變量要說明含義

根據(jù)式（24）可知矩陣為對稱矩陣。當(dāng)det()≠0 時，式（22）的解唯一確定。將求解出的伴隨變量（式（24））代入式（16），可得攔截彈1 的最優(yōu)控制為

攔截彈2的最優(yōu)控制策略為

根據(jù)攔截彈2的角度約束，各系數(shù)為

3 仿真分析

本章通過設(shè)定2 枚導(dǎo)彈攔截1 個目標的防空作戰(zhàn)場景，對之前所設(shè)計的制導(dǎo)規(guī)律進行仿真驗證，以證明其有效性，如表1所示。在仿真中，針對非機動目標和機動目標兩種情況進行分析，設(shè)計協(xié)同角度為30°，證明對非機動目標和機動目標都具有良好的攔截效果。

表1 仿真初始條件Tab.1 Simulation initial conditions

1）非機動目標

仿真結(jié)果表明，兩枚導(dǎo)彈對目標的攔截脫靶量分別為0.115 m 和0.671 m，兩枚導(dǎo)彈最終彈道傾角分別為24.21°和?6.546°，與指令協(xié)同角30°相差0.756°。攔截仿真結(jié)果如圖2～5 所示，分別為飛行彈道曲線、飛行過載曲線、脫靶量變化曲線和協(xié)同角度變化曲線。

圖2 采用微分對策制導(dǎo)律的飛行軌跡Fig.2 Trajectory with differential games guidance law

從仿真結(jié)果可以得到結(jié)論：兩枚攔截彈能夠以期望的協(xié)同角度實現(xiàn)對來襲目標的準確命中；兩枚攔截彈的過載變化穩(wěn)定，最大過載出現(xiàn)在攔截結(jié)束時刻，且都小于6，符合實際情況；兩枚攔截彈的協(xié)同攻擊角度先減小后增大，且在攔截時刻協(xié)同角度趨于30°，符合預(yù)期要求。

圖3 采用微分對策制導(dǎo)律的過載Fig.3 Overload with differential games guidance law

圖4 采用微分對策制導(dǎo)律的脫靶量Fig.4 Miss Distance with differential games guidance law

2）機動目標

同樣取表1的初始仿真作戰(zhàn)場景，采用機動目標。機動形式如下：

圖5 采用微分對策制導(dǎo)律的導(dǎo)彈協(xié)同角度Fig.5 Cooperation angle with differential games guidance law

兩枚導(dǎo)彈對目標的攔截脫靶量分別為0.005 1 m和0.421 3 m，導(dǎo)彈最終彈道傾角為17.13°和?12.98°，與指令協(xié)同角相差0.11°。圖6～9依次為飛行彈道圖、飛行過載圖、脫靶量變化曲線以及協(xié)同角度變化曲線。從脫靶量看出，對機動目標具有較好的攔截效果，同時滿足協(xié)同角度偏差。由仿真結(jié)果可以看出，攔截彈的最大過載出現(xiàn)在攔截彈2 的最后時刻，達到9；兩枚攔截彈的協(xié)同角度最終也能夠趨于期望值，且脫靶量能達到一個較小的水平，符合設(shè)計要求。

圖6 采用微分對策制導(dǎo)律的飛行軌跡Fig.6 Trajectory with differential games guidance law

圖7 采用微分對策制導(dǎo)律的飛行過載Fig.7 Overload with differential games guidance law

圖8 采用微分對策制導(dǎo)律的飛行脫靶量Fig.8 Miss Distance with differential games guidance law

圖9 采用微分對策制導(dǎo)律的飛行協(xié)同角度Fig.9 Cooperation angle with differential games guidance law

為體現(xiàn)角度協(xié)同微分對策制導(dǎo)律相對于單彈攔截的優(yōu)勢，采用文獻［15］提出的方法進行單彈攔截仿真，設(shè)定期望攔截角度為20°，過載限幅20。仿真結(jié)果如圖10～12所示。

圖10 采用引文制導(dǎo)律的飛行軌跡Fig.10 Trajectory with referred guidance law

圖11 采用引文制導(dǎo)律的過載Fig.11 Overlaod with referred guidance law

圖12 采用引文制導(dǎo)律的約束角變化Fig.12 Constraint angle with referred guidance law

由仿真結(jié)果可知，采用上述制導(dǎo)律的終端脫靶量為3.334 2 m，攔截彈過載在攔截終端時刻產(chǎn)生較大的抖振，最大值達到20，且攔截角沒有收斂到期望值。由此可得，本文所設(shè)計的微分對策協(xié)同制導(dǎo)律能夠在完成攔截的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)期望的角度協(xié)同，并且各攔截彈的過載能夠保持在一個較小的水平，具有比單攔截彈角度約束制導(dǎo)律更佳的攔截效果。

4 結(jié)束語

通過研究多對一攔截相對運動方程，將終端脫靶量約束以及角度約束加入到線性運動矢量方程中，構(gòu)建雙方受益對抗博弈指標函數(shù)。對矢量方程進行基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移理論的降維處理，利用最優(yōu)控制理論進行求解。針對二對一的典型攔截情況，對角度協(xié)同制導(dǎo)律進行推導(dǎo)，給出了制導(dǎo)律的解析解形式。最后通過典型場景進行算法仿真驗證，證明了所設(shè)計的制導(dǎo)律具有更好的攔截效果。