高 陽，張曉暉，高玉兒，尚 婷，楊啟航

西安理工大學(xué) 自動化與信息工程學(xué)院，西安 710048

水下機(jī)械臂在海洋資源的開發(fā)和利用過程中扮演的角色越來越重要，它已成為水下機(jī)器人進(jìn)行深海資源研究與勘探的重要工具，在海洋探索和資源開發(fā)中起到至關(guān)重要的作用[1]。與傳統(tǒng)的工業(yè)機(jī)械臂相比，水下機(jī)械臂動力學(xué)模型具有時變、非線性、外部干擾和水動力干擾的特點(diǎn)，成為限制水下機(jī)械臂作業(yè)的主要因素。為進(jìn)一步提升水下機(jī)械臂的運(yùn)動性能，需要對水下機(jī)械臂的動力學(xué)模型以及運(yùn)動控制方法進(jìn)行更進(jìn)一步的研究[2]。

國內(nèi)外學(xué)者在水下機(jī)械臂的控制方面提出許多方法。謝宏等[3]提出了機(jī)械臂卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模軌跡跟蹤控制方法，通過此算法實(shí)現(xiàn)對機(jī)械臂軌跡跟蹤的精確控制；魏娟等[4]提出了一種改進(jìn)的徑向基函數(shù)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法來控制機(jī)械臂，使得控制系統(tǒng)的控制精度提高、收斂速度加快，有著良好的魯棒性和控制性；Soltanpour等[5]提出了一種用于機(jī)器人手臂位置跟蹤控制的模糊自適應(yīng)滑模控制，降低了輸入的計算量和抖動現(xiàn)象；劉建昌等[6]設(shè)計的高斯徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償器可有效地補(bǔ)償機(jī)械臂動力學(xué)模型的非線性，并具有較強(qiáng)的泛化能力和自適應(yīng)能力；He等[7]采用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對機(jī)器人的動力學(xué)進(jìn)行估計，成功地補(bǔ)償了系統(tǒng)不確定性影響，提高了機(jī)器人系統(tǒng)的魯棒性；楊亮等[8]采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理動力學(xué)參數(shù)不確定問題，將動力學(xué)分成兩部分，分別設(shè)計兩個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同時處理，較好地克服電機(jī)參數(shù)漂移對跟蹤控制性能的影響；徐智浩等[9]設(shè)計一種自適應(yīng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償器，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)中包括LuGre摩擦在內(nèi)的非線性環(huán)節(jié)的逼近，并利用滑?？刂祈?xiàng)減小逼近并利用滑?？刂祈?xiàng)減小逼近誤差。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性連續(xù)函數(shù)有著優(yōu)良的動態(tài)逼近能力與自適應(yīng)能力，能夠以任意精度近似各種非線性函數(shù)和動態(tài)系統(tǒng)，且學(xué)習(xí)收斂速度快，需要的條件較少，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單，具有良好的泛化能力，能夠大幅度提高設(shè)計和仿真的效率。因此，通過將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)滑?？刂葡嘟Y(jié)合，能夠有效地改善滑?？刂频摹岸墩瘛比毕?。但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近分段連續(xù)函數(shù)的能力較差正是其進(jìn)行摩擦補(bǔ)償?shù)碾y點(diǎn)所在，對于摩擦這類難以精確獲取模型的參數(shù)，模糊補(bǔ)償方法簡單，不要求被控系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，有著良好的動態(tài)性能。

基于以上研究，本文針對水下機(jī)械臂動力學(xué)建模復(fù)雜且控制算法精度不高的現(xiàn)有問題，建立了水下機(jī)械臂的精準(zhǔn)動力學(xué)模型，并結(jié)合RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和模糊控制在滑模控制器優(yōu)化設(shè)計過程中的有效性，提出一種復(fù)合控制策略，該策略使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近建模參數(shù)的不確定項(xiàng)，利用模糊控制補(bǔ)償摩擦力造成的建模影響。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，本文針對水下機(jī)械臂提出的控制算法有較好的綜合控制性能，能夠?qū)崿F(xiàn)良好的控制效果。

1 建立水下機(jī)械臂動力學(xué)模型

Lagrange法是通過計算控制系統(tǒng)的動能和勢能，基于Lagrange約束得到動力學(xué)方程。由Lagrange法可以得到一組形式簡潔的動力學(xué)方程，適合于計算機(jī)高速求解。本文使用Lagrange法求解機(jī)械臂動力學(xué)方程[10]。理想機(jī)械臂的動力學(xué)模型為：

式中，MB(θ)是n×n階正定慣性力矩陣，C(?)是n×n階離心力和哥氏力矩陣，其中GB(θ)是n×1階重力矩陣，τ是關(guān)節(jié)力矩，θ、?、?依次是關(guān)節(jié)的角度、角速度、角加速度矩陣。二連桿串聯(lián)機(jī)械臂模型示意圖如圖1所示。

圖1 二連桿串聯(lián)機(jī)械臂示意圖Fig.1 Schematic diagram of two-link series manipulator

基于Lagrange方法得到二連桿串聯(lián)機(jī)械臂動力學(xué)參數(shù)為：

式中，c1=cosθ1，c2=cosθ2，s2=sinθ2，c12=cos(θ1+θ2)。

由于水下機(jī)械臂所處的工作環(huán)境復(fù)雜，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性會受到水流、摩擦、外部干擾等因素的影響，因此水下機(jī)械臂的動力學(xué)分析需要考慮到部件與水流相對運(yùn)動所受的力。

由流體力學(xué)可知，機(jī)械臂在水下的受力主要由水阻力Fd、附加質(zhì)量力Fm、浮力Ff和升力Fl組成。

假設(shè)機(jī)械臂各連桿均是規(guī)則圓柱體，則升力為0。

1.1 水阻力矩和附加質(zhì)量力矩計算

根據(jù)Morison方程[11]，水阻力和附加質(zhì)量力為：

式中，dFd和dFm分別表示連桿單位厚度所受到的水阻力和附加質(zhì)量力，ρ是流體的密度，D表示連桿的直徑，A是水下機(jī)械臂連桿的橫截面積，v是連桿速度函數(shù)，Cd是水阻力系數(shù)，Cm是附加質(zhì)量力系數(shù)。由于實(shí)際的水阻力系數(shù)和附加質(zhì)量力系數(shù)很難測量，一般使用常數(shù)。查閱相關(guān)文獻(xiàn)后，本文取Cd=1.1,Cm=1[12]。

1.1.1 水阻力矩

當(dāng)物體運(yùn)動時，就會受到阻力的影響，水阻力就是由于機(jī)械臂與水的相對運(yùn)動引起的。

關(guān)節(jié)1的角速度和關(guān)節(jié)2的角速度?使連桿1產(chǎn)生法向速度，從而導(dǎo)致水阻力矩τD1的產(chǎn)生[13]，連桿1的水阻力矩為：

式中，x1是單位厚度dx1距離連桿1底端的長度，x2是單位厚度dx2距離連桿2底端的長度，l1是連桿1的長度，l2是連桿2的長度。

關(guān)節(jié)1的角速度?和關(guān)節(jié)2的角速度也使得連桿2產(chǎn)生法向速度，進(jìn)而導(dǎo)致水阻力矩τD2的產(chǎn)生[13]，同理可得，連桿2的水阻力矩為：

二連桿串聯(lián)機(jī)械臂計算得到的水阻力矩為：τD=，水阻力矩陣DW為：

其中：

1.1.2 附加質(zhì)量力矩

當(dāng)物體在水中做加速運(yùn)動時，物體周圍的水也跟隨其做加速運(yùn)動，就會存在一個作用力使水做加速運(yùn)動，同時物體必然受到一個反作用力，這個反作用力就稱為附加質(zhì)量力[13]。

連桿1所受的附加質(zhì)量力矩τA1為：

連桿2所受的附加質(zhì)量力矩τA2為：

由式（10）和式（11）知，附加質(zhì)量力矩表達(dá)式為：τA=，求得矩陣DA和MA為：

1.2 浮力力矩計算

由于重力和浮力方向相反，所以假設(shè)連桿重心和浮心重合的情況下，用等效重力代替重力和浮力[14]，則等效重力為：

式中，mi是連桿i的重量；g是重力加速度；V i是連桿i的體積；ρ是水的密度；ρi是連桿i的密度。

所以兩個連桿的等效重力G(θ)為：

依據(jù)以上分析，建立基于Lagrange和Morison的水下機(jī)械臂動力學(xué)模型：

式中，M(θ)=MB(θ)+MA(θ)是含有部分附加質(zhì)量力矩的正定慣性矩陣，表示離心力和哥氏力矩陣，是含有水阻力矩和部分附加質(zhì)量力矩的矩陣，G(θ)∈Rn是等效重力矩陣，表示摩擦力矩陣，τd∈Rn是外部干擾，τ∈Rn是控制力矩。

2 水下機(jī)械臂控制系統(tǒng)設(shè)計

2.1 水下機(jī)械臂動力學(xué)模型分析

設(shè)機(jī)械臂實(shí)際角度為θ(t)，目標(biāo)角度為θd(t)，則跟蹤誤差為：

定義滑模誤差函數(shù)為：

其中Λ=ΛT＞0，聯(lián)立式（17）與式（18），則：

結(jié)合式（16），可得：

式中：

水下機(jī)械臂動力學(xué)模型中的參數(shù)主要分為以上兩類，而大多數(shù)控制算法的改進(jìn)針對這兩種不同類型的參數(shù)使用同一種控制策略，由于水下機(jī)械臂控制系統(tǒng)的多耦合和非線性的特點(diǎn)，單獨(dú)以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊控制作為控制策略存在局限性，對于這兩種不同性質(zhì)的參數(shù)使用不同的算法逼近是較為合理的選擇。

對參數(shù)M、C、D、G使用整體RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，不能精確地重構(gòu)機(jī)械臂的水動力學(xué)方程[15]。而分塊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以對每個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)單獨(dú)調(diào)整，從而簡化了設(shè)計，實(shí)現(xiàn)更快的權(quán)重更新過程。

本文擬采用4個RBF網(wǎng)絡(luò)分別逼近M(θ)、C(?)、D(?)和G(θ)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種具有高度非線性的連續(xù)時間動力系統(tǒng)，它有著很強(qiáng)的自學(xué)習(xí)功能和對非線性系統(tǒng)的強(qiáng)大映射能力[16]。對于伺服系統(tǒng)而言，摩擦環(huán)節(jié)是提高系統(tǒng)性能的障礙，使系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)爬行、振蕩或穩(wěn)態(tài)誤差[17]，本文基于模糊補(bǔ)償摩擦力F(?)的系統(tǒng)控制方法設(shè)計控制律。

2.2 控制律設(shè)計

（1）對f進(jìn)行逼近

式中，ε為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差。使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(x)中的各項(xiàng)分別進(jìn)行逼近：

自適應(yīng)律?。?/p>

（2）對F的逼近

由于機(jī)械臂的摩擦力只與關(guān)節(jié)角速度相關(guān)，因此用于逼近摩擦力的模糊系統(tǒng)可表示為

式中，ξ(?)為模糊系統(tǒng)的基函數(shù)向量，Θ為自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)。

ξ(?)為維向量，其第l1,l2,…,l n個元素為：

式中，分別為-π/6，-π/12，0，π/12和π/6，θ?i的隸屬函數(shù)如圖2所示。

圖2 的隸屬函數(shù)Fig.2 Membership function of?

基于傳統(tǒng)模糊補(bǔ)償?shù)目刂破髟O(shè)計方法，設(shè)計模糊系統(tǒng)的自適應(yīng)律為：

得到RBF網(wǎng)絡(luò)和模糊系統(tǒng)的輸出，設(shè)計控制律為：

式中，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對f的估計值為?，模糊系統(tǒng)對摩擦力F的補(bǔ)償輸出為?，K v是對稱正定矩陣，v是克服RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差ε的魯棒項(xiàng)。

魯棒項(xiàng)設(shè)計為：

2.3 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為：

對Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)可得：

考慮到水下機(jī)械臂動力學(xué)的特性，將式（24）和式（28）代入式（32），得：

由于

則?≤0，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可證。

根據(jù)設(shè)計合適的各種控制函數(shù)項(xiàng)和算法，本文設(shè)計的水下機(jī)械臂控制原理示意圖如圖3所示。

圖3 水下機(jī)械臂控制原理Fig.3 Control principle of underwater manipulator

3 二連桿串聯(lián)水下機(jī)械臂動力學(xué)仿真

3.1 仿真參數(shù)

仿真使用的二連桿串聯(lián)水下機(jī)械臂的尺寸為：連桿1的質(zhì)量m1=6 kg，長度l1=0.45 m，等效直徑D1=0.1 m，密度ρ1=1 698 kg/m3；連桿2的質(zhì)量m2=4 kg，長度l2=0.275 m，等效直徑D2=0.1 m，密度ρ2=1 852 kg/m3[18]。

二連桿串聯(lián)水下機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度的期望值為θ1d=θ2d=0.1 sint，關(guān)節(jié)角度和角速度的初值設(shè)置為：

二連桿串聯(lián)水下機(jī)械臂水動力學(xué)方程參數(shù)設(shè)置為：

（1）帶有部分附加質(zhì)量力矩的慣性矩陣為：

（2）離心力和哥氏力矩陣C(?)由公式（3）求得。

（3）水 阻 力 矩 陣Dw(?)和 部 分 附 加 質(zhì) 量 力 矩DA(?)的矩陣為：

（4）等效重力矩陣G(θ)由公式（15）求得。

（5）摩擦模型為一般模型：庫倫摩擦力+黏性摩擦力，則摩擦力矩陣F(?)為：

其中，K1和K2分別表示庫倫摩擦系數(shù)和黏性摩擦系數(shù)，取K1=0.2，K2=3。

（6）假設(shè)外加干擾項(xiàng)和水下機(jī)械臂期望運(yùn)動軌跡一致，則外加干擾τd是0.1sint。

二連桿串聯(lián)水下機(jī)械臂控制算法參數(shù)設(shè)置為：

本文四個RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高斯函數(shù)中，均值c i取[-1-0.5 0 0.5 1]，標(biāo)準(zhǔn)差b=10，權(quán)值矩陣中任意元素初值取0.1，滑模系數(shù)Λ=diag（10，10），K v=diag（30，30），魯棒項(xiàng)中εn=0.1，bd=0.1，自適應(yīng)律中FM、FC、FD、FG取對角陣，每個元素取值為100。

3.2 仿真結(jié)果與分析

本文使用了4種方法對二連桿串聯(lián)水下機(jī)械臂控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。其中，整體RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、分塊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和本文提出的控制算法的參數(shù)基本一致。關(guān)節(jié)1的輸出力矩仿真如圖4所示，關(guān)節(jié)2的輸出力矩仿真如圖5所示，兩個關(guān)節(jié)的角度跟蹤曲線如圖6所示，誤差曲線如圖7所示。

圖4 不同算法下關(guān)節(jié)1的輸出力矩Fig.4 Output torque of joint 1 under different algorithms

圖6 兩個關(guān)節(jié)的角度跟蹤Fig.6 Angle tracking of two joints

由圖4和圖5可以得到，本文提出的算法有效地消除了滑?？刂扑惴ǖ奶烊蝗毕荨墩?，并且它的響應(yīng)速度更快，能夠更穩(wěn)定、更快地輸出合適的力矩。根據(jù)圖7結(jié)果，對機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度跟蹤誤差從響應(yīng)速度、均方差、平均誤差和最大誤差四個方面進(jìn)行分析，結(jié)果如表1所示。

表1 二連桿水下機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的角度跟蹤誤差分析Table 1 Angle tracking error analysis of each joint of two-link underwater manipulator

圖5 不同算法下關(guān)節(jié)2的輸出力矩Fig.5 Output torque of joint 2 under different algorithms

圖7 兩個關(guān)節(jié)的跟蹤誤差Fig.7 Tracking error of two joints

由表1可知，在二連桿串聯(lián)水下機(jī)械臂控制系統(tǒng)的響應(yīng)時間上，整體RBF滑?？刂频捻憫?yīng)時間較長，模糊分塊RBF滑?？刂频捻憫?yīng)時間相比較其他控制算法大幅度降低，關(guān)節(jié)1的響應(yīng)時間是1.021 s；關(guān)節(jié)2的響應(yīng)時間是1.059 s，體現(xiàn)出了本文算法的響應(yīng)速度有了顯著提高。

在水下機(jī)械臂控制系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差上，傳統(tǒng)的滑?？刂频木讲?、平均誤差和最大誤差都是這四種控制算法中最大的，存在需要改良的缺陷。相比而言，整體RBF滑?？刂坪头謮KRBF滑?？刂普`差會小很多，而本文的模糊分塊RBF滑模算法的誤差是四種控制算法中最小的，關(guān)節(jié)1的均方差是1.35×10-6rad，平均誤差是2.83×10-4rad，最大誤差是2.03×10-2rad；關(guān)節(jié)2的均方差是4.94×10-8rad，平均誤差是5.86×10-5rad，最大誤差是3.81×10-3rad。

本文算法與分塊RBF滑?？刂扑惴▽Ρ龋P(guān)節(jié)1的平均誤差降低了25.3%，關(guān)節(jié)2的平均誤差降低了93.1%；與整體RBF滑?？刂扑惴▽Ρ?，關(guān)節(jié)1的平均誤差降低了64.0%，關(guān)節(jié)2的平均誤差降低了71.8%；與滑?？刂扑惴▽Ρ?，關(guān)節(jié)1的平均誤差降低了85.5%，關(guān)節(jié)2的平均誤差降低了77.8%。結(jié)果表明本文設(shè)計的模糊分塊RBF滑?？刂扑惴ǖ目刂菩Ч黠@優(yōu)于其他三種控制算法。

4 結(jié)論

本文針對水下機(jī)械臂控制系統(tǒng)提出了一種基于分塊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)滑?？刂扑惴?。該方法使用分塊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對動力學(xué)模型參數(shù)的不確定項(xiàng)M、C、D、G進(jìn)行逼近，使用模糊系統(tǒng)對非參數(shù)的不確定項(xiàng)F進(jìn)行補(bǔ)償。并且結(jié)合自適應(yīng)控制、魯棒控制和滑模控制，改善了傳統(tǒng)滑?？刂贫墩竦膯栴}。同時，該方法還降低了水下機(jī)械臂控制系統(tǒng)的跟蹤誤差，提高了水下機(jī)械臂控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度、穩(wěn)態(tài)性能和抗擾性能，具有非常重要的實(shí)用價值。