基于臨界面理論的多軸等效應變疲勞壽命預估模型

劉儉輝 趙 賀 冉 勇 李 斌

1.蘭州理工大學機電工程學院，蘭州，730050 2.甘肅建筑職業(yè)技術學院建筑工程系，蘭州，730050

0 引言

實際工程中大多數(shù)構件在使用過程中往往會受到復雜的多軸應力和應變狀態(tài)的影響，這給疲勞壽命預測帶來了嚴峻挑戰(zhàn)。針對單軸疲勞問題的研究已經(jīng)形成較為成熟的理論方法和疲勞評估準則[1]，但傳統(tǒng)的單軸疲勞預估方法在用于預測多軸疲勞壽命時，往往不能比較精確地進行壽命預估。由于試驗條件和理論基礎的限制，現(xiàn)有的多軸疲勞理論體系尚不完善，主要是由于多軸加載下不同應力應變分量的相位、頻率和應力比的隨機組合，使得材料的疲勞行為復雜多變。與單軸疲勞相比，多軸疲勞過程中材料的循環(huán)應力應變特性、裂紋的萌生和擴展更加復雜[2]。

目前，已經(jīng)建立的多軸疲勞壽命預估方法主要有等效應變法、能量法、臨界面法[3-5]。等效應變法以von Mises等效應變作為損傷參量，將單軸疲勞研究方法應用于多軸疲勞研究領域中，在比例加載下有較好的預測精度，但在非比例加載情況下預測壽命有較大的誤差，不能揭示裂紋萌生機理和反映裂紋擴展方向[6-7]。能量法以應變能密度作為疲勞損傷參量進行多軸壽命預估模型的建立，該模型幾乎不包含材料參數(shù)，應用簡單，但是應變能密度是一個標量，很難反映多軸疲勞的破壞機理[8-9]。臨界面法以材料最大損傷平面的應力或應變以及應力與應變的線性組合或非線性組合作為損傷參量來考慮多軸疲勞的破壞面，能夠揭示裂紋萌生機理和反映裂紋擴展方向[10-11]。因此，在多軸疲勞壽命預測中，一些學者傾向于首先尋找疲勞破壞相關的臨界損傷平面，在此基礎上建立疲勞損傷參量。KANDIL等[12]對臨界面方法進行了早期研究，將一個加載循環(huán)中包含最大剪切應變的平面定義為臨界面，提出了著名的KBM模型。FATEMI等[13]考慮到采用應變參數(shù)不能反映材料非比例硬化對多軸疲勞損傷的影響，故將臨界面上最大正應力作為損傷參數(shù)以反映材料的非比例附加強化的影響，建立了FS模型。SMITH等[14]考慮單軸載荷下平均應力對疲勞壽命的影響，同時結合臨界面法，提出了SWT模型，將其用于多軸疲勞壽命的預測。

本文基于經(jīng)典臨界面理論，針對等效應變模型未考慮非比例附加強化影響的缺陷，對等效應變模型加以修正，建立新的多軸疲勞壽命預估模型。采用16MnR、GH4169、S460N、45鋼和Pure Ti五種薄壁圓管進行試驗驗證，并與等效應變模型、SWT模型和FS模型進行了對比分析。

1 臨界面的確定

在多軸加載下，金屬材料的疲勞失效通常發(fā)生在特定的臨界平面上，因此，在臨界平面上進行相應的疲勞分析具有明確的物理意義。要確定臨界面方程首先要確定試件的應力應變狀態(tài)，在拉扭復合載荷作用下，受應變控制的薄壁圓管試件表面的應力和應變可以表示為[15]

(1)

式中，σx為正應力；τxy為剪切應力；εx為正應變；γxy為剪切應變;νeff為等效泊松比。

在多軸加載條件下，材料表面會發(fā)生一定的塑性變形，而在計算其應力應變時，已有的彈性泊松比已不適用，因此，需要用一個等效泊松比代替彈性泊松比，等效泊松比νeff定義為

(2)

式中，εe為彈性應變；εp為塑性應變；νe為彈性泊松比；νp為塑性泊松比。

定義θ為任意材料平面和試件軸向的夾角，則任意平面上的正應力、正應變以及剪切應變可以表示為

(3)

(4)

(5)

在正弦波拉-扭加載下，該平面上的最大剪切應變變程和法向正應變變程可以表示為

Δγmax=εa{[λcos 2θcosφ-(1+νeff)sin 2θ]2+(λcos 2θsinφ)2}1/2

(6)

(7)

λ=γa/εa

(8)

式中，φ為正應變和剪切應變加載的相位差；λ為加載應變比；γa為剪切應變加載幅值；εa為正應變加載幅值。

根據(jù)已有的臨界面準則確定臨界面位置，定義一個加載循環(huán)中的最大剪切應變幅所在的平面為臨界平面。

由式(7)和式(8)可知，Δγmax和Δεn的相位差為φ，將式(6)中的Δγmax對θ求導，得到最大剪切應變的值，即

(9)

由式(9)可以得到最大剪切應變所在平面的方位角θ的表達式為

(10)

將已知的νeff、φ和λ代入式(10)，可得到θ值。在-π/2～π/2范圍內使Δγmax取極值的θ值有4個，其中兩個θ值(θ1，θ2)求得的Δγmax相等，且為最大值，二者中具有較大法向應變的平面就為臨界面位置，即

Δεn=max(Δεn(θ1),Δεn(θ2))

(11)

利用式(1)～式(11)就可以確定薄壁管狀試件臨界面的位置及其最大剪切應變變程和法向正應變變程。

2 經(jīng)典臨界面模型

2.1 等效應變模型

單軸疲勞問題的研究已經(jīng)形成較為成熟的理論方法，因此在多軸疲勞的研究過程中，一般情況下將多軸問題簡化為單軸問題，然后采用單軸疲勞損傷理論處理多軸問題。通常采用基于von Mises等效應變參數(shù)的Manson-Coffin方程來評估不同加載條件下材料的抗疲勞性能[16]，其計算求解表達式如下：

(12)

式中，Δεeq為臨界面上的等效應變幅；σ′f為疲勞強度系數(shù)；ε′f為疲勞延性系數(shù)；b為疲勞強度指數(shù)；c為疲勞延性指數(shù)；Nf為疲勞壽命；E為材料的彈性模量。

2.2 SWT模型

SWT模型定義最大正應變平面為臨界面，以臨界面上最大正應力和正應變變程為損傷參量進行疲勞壽命預估，其表達式如下：

(13)

式中,Δε1為臨界面上的正應變變程；σn,max為臨界面上的最大正應力。

2.3 FS模型

FATEMI等[13]考慮到采用應變參數(shù)不能夠反映材料非比例附加強化對多軸疲勞損傷的影響，故將臨界面上最大剪切應變和最大正應力進行組合形成了一個新的多軸損傷參量以反映材料的非比例附加強化，該損傷參量中外加一個多軸常數(shù)k來考慮最大正應力與材料屈服強度之間的關系，提出了FS模型，其表達式如下：

(14)

式中,Δγmax為臨界面上的最大剪切應變變程；σs為材料的屈服強度；k為與材料相關的經(jīng)驗參數(shù)；τ′f為剪切疲勞系數(shù)；γ′f為剪切疲勞延性系數(shù)；b0為疲勞強度指數(shù)；c0為疲勞延性指數(shù)；G為剪切模量。

利用FS模型預測疲勞壽命時，由于材料的扭轉性能和單軸拉壓性能相差不大[17],因此，式(14)中的扭轉疲勞參數(shù)也可以通過單軸拉壓疲勞參數(shù)表征，其具體關系式如下：

(15)

3 多軸等效應變疲勞壽命預估模型

3.1 相位差的影響

在多軸加載下，材料裂紋先是沿著剪切應變方向萌生，然后近似地沿著法向正應變方向擴展，因此臨界面上最大剪切應變變程和法向正應變變程對裂紋的形成和擴展具有重要的物理意義[18]。尚德廣等[19]基于von Mises準則，將臨界面上的最大剪切應變變程和法向正應變變程合成為一個等效應變變程，其具體表達式如下：

(16)

式中,Δεeq為等效應變變程；Δεn為法向正應變變程；Δγmax為最大剪切應變平面上的剪切應變變程。

將式(16)確定為損傷參量預估疲勞壽命時，考慮了臨界面上最大剪切應變變程和法向應變變程對裂紋形成和擴展的影響，并且從物理意義上能很好地揭示多軸加載下裂紋萌生機理以及裂紋擴展方向。研究發(fā)現(xiàn)[20]，以式(16)作為損傷參量預估多軸疲勞壽命時，比例加載下預測壽命與試驗數(shù)值基本吻合，而在非比例加載下其預測壽命與相位差有關，且預測誤差隨著相位差的增大而增大。因此需要對式(16)的損傷參量進行重新定義，考慮非比例加載下相位差對疲勞壽命的影響，引入一個影響因子α，其具體表達式如下：

(17)

式中,φ為相位差。

該影響因子考慮了在非比例載荷作用下相位差對多軸疲勞壽命的影響，影響因子α與相位差的關系如圖1所示。

圖1 影響因子與相位差的關系

由圖1可以看出，隨著相位差的逐漸增大，影響因子α呈非線性增大，當相位差φ為0°時(比例加載)，影響因子為1；當相位差φ為90°時(非比例加載)，影響因子達到最大值，即當相位差為90°時，材料的非比例附加強化現(xiàn)象最明顯，說明引入影響因子α時，能夠反映非比例附加強化現(xiàn)象，具有較好的合理性和有效性。

3.2 臨界面上最大正應力和正應變的影響

在多軸疲勞壽命中，材料裂紋的萌生是由材料內部滑移帶的局部塑性變形所致，而裂紋面往往為最大剪切應變幅平面[21]。尤其在非比例加載條件下，由于最大剪切應變所在的平面不斷旋轉而產生的額外附加硬化會導致材料的位錯結構比單軸或比例加載條件下的位錯結構更加復雜，對材料的疲勞性能有重要的影響[22]。有研究表明[23]，以最大剪切應變幅所在的平面作為損傷平面，最大剪切應變幅作為裂紋萌生的主要控制參數(shù)時，最大剪切應變幅平面上的正應力和正應變變程會加劇疲勞裂紋的擴展。建立新的損傷參量時，應考慮最大剪切應變幅平面上的最大正應力和正應變變程兩者的影響，引入一個影響因子β表征材料裂紋萌生和裂紋擴展的機理，其表達式如下：

(18)

式中，Δε為正應變變程；μ為材料常數(shù)。

不同材料的μ的取值如表1所示，具體計算流程如圖2所示。

表1 不同材料的μ的取值

圖2 μ值計算流程圖

通過考慮最大剪切應變幅平面上的最大正應力和正應變變程兩者的影響，引入一個影響因子β來建立新的損傷參量，新的損傷參量考慮最大剪切應變幅平面上的最大正應力和正應變變程來表征材料裂紋萌生和裂紋擴展的機理，對不同的多軸疲勞行為作出合理的解釋，提高多軸疲勞壽命模型預測的精確性。

3.3 多軸等效應變疲勞壽命預估模型

基于以上分析，新的損傷參量以臨界面理論為基礎，將最大剪切應變平面定義為臨界平面，第一控制參數(shù)為臨界面上的等效應變，第二控制參數(shù)包括最大剪切應變平面上的最大正應力、正應變變程以及相位差。由式(17)和式(18)可得，新的損傷參量表達式如下：

(19)

結合新的損傷參量，對等效應變模型進行修正，新的疲勞壽命模型表達式如下：

(20)

式(20)中σn,max可以用疲勞壽命函數(shù)表示[17]：

(21)

4 試驗驗證

為了驗證本文提出模型的預測精度，分別采用16MnR[24]、GH4169[25]、S460N[26]、45鋼[27]和Pure Ti[28]5種材料進行試驗驗證，且5種材料的試件均采用薄壁圓管試件，加載方式均為應變控制加載，材料的單軸拉壓疲勞參數(shù)和扭轉疲勞參數(shù)如表2和表3所示，圖3給出了等效應變模型、FS模型、SWT模型和本文模型的預測壽命與試驗壽命(壽命均為循環(huán)次數(shù))的對比結果。

表2 材料單軸拉壓疲勞參數(shù)

表3 材料扭轉疲勞參數(shù)

由圖3可以看出，對于不同的材料，4種疲勞壽命預估模型表現(xiàn)出不同的預測效果。由圖3a可以看出，本文模型對5種材料的預測精度較高，大多數(shù)點處于2倍分散帶之內，有極個別點處于兩倍分散帶之外。由圖3b和圖3c可以看出，等效應變模型和FS模型預測結果大多數(shù)處于3倍分散帶之內，F(xiàn)S模型預測精度要高于等效應變模型。由圖3d可以看出，SWT模型的預測結果分散性較大，預測結果只有少數(shù)在2倍分散帶范圍內。

(a)本文模型

綜上，考慮最大剪切應變幅平面上的最大正應力、正應變變程以及相位差作為損傷參量建立的新疲勞壽命模型對5種薄壁圓管試件具有較好的預測精度，且預測壽命和試驗壽命較為接近。引入影響因子α和β反映非比例加載條件下的附加強化效應以及材料裂紋萌生和擴展的影響，對比例加載和非比例加載下的疲勞壽命都有較好的預測結果，因此，本文提出的新模型對多軸加載下的薄壁圓管試件壽命預估具有較好的適用性。

5 分析與討論

為了定量分析4種多軸疲勞壽命預估模型的預測能力，采用統(tǒng)計學方法表征其預測精度及分散性，通過對比概率密度函數(shù)的特征，能夠直觀判斷模型的優(yōu)劣性，其具體計算過程如下[8]：

(22)

(23)

(24)

式中,ν為Xi的平均值；δ為Xi的標準差。

服從正態(tài)分布的概率密度函數(shù)表達式為

(25)

4種模型預測誤差概率密度函數(shù)中ν和δ的計算值如表4所示，壽命預估誤差正態(tài)分布如圖4所示。

表4 ν和δ的計算結果

圖4 預測誤差概率密度函數(shù)

由圖4可以看出，新的多軸疲勞模型正態(tài)分布圖呈現(xiàn)“瘦高”的特點，標準差較小，說明新的多軸疲勞模型平均預測誤差較小，且具有較好的預測精度。而等效應變模型、FS模型和SWT模型正態(tài)分布圖呈現(xiàn)出“矮胖”的特點，說明其預測誤差較大，分散性較大。綜上，采用統(tǒng)計學的方法定量分析4種模型的預測誤差結果表明，本文模型考慮最大剪切應變幅平面上的最大正應力、正應變變程以及相位差對多軸疲勞壽命的影響，具有較高的預測精度，且分散性較小。

6 結論

(1)通過引入最大剪切應變幅平面上的最大正應力、正應變變程和相位差反映非比例加載條件下的附加強化效應以及材料裂紋萌生和擴展的機理，提出一個新的基于臨界面理論的多軸疲勞損傷模型。

(2)通過預測結果與試驗結果的對比分析可以看出，本文模型預測精度較高，大多數(shù)點處于2倍分散帶之內，有極個別點處于2倍分散帶外。等效應變模型、FS模型和SWT模型對多軸非比例加載條件下疲勞壽命的預測效果較差，預測結果只有少數(shù)在2倍分散帶范圍內。

(3)從統(tǒng)計學角度來看，4種模型的平均預測誤差中，本文模型的分散性最小，預測結果相對穩(wěn)定，而等效應變模型、FS模型和SWT模型預測結果分散性較大。