韓若凡 陳杰 張偉

（北京工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院，北京 100124）

引言

氣動彈性現(xiàn)象是指：飛行器作為彈性體在氣動載荷的作用下將產(chǎn)生振動，同時結(jié)構(gòu)的振動將改變流場的分布，從而影響氣動載荷的大小，這種現(xiàn)象將一直持續(xù)下去，直到飛行器達到平衡或者發(fā)散的狀態(tài)[1].各種氣動彈性力學(xué)現(xiàn)象都是由彈性力、慣性力和氣動力三者之間的相互作用引起的.顫振是一種氣動不穩(wěn)定現(xiàn)象，是典型的氣動彈性問題，大振幅的顫振將影響飛行器結(jié)構(gòu)的飛行安全性，是飛行器設(shè)計人員最為關(guān)注的問題之一.

薄板結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于飛行器當中，當飛行器的飛行速度逐漸增大時，由于結(jié)構(gòu)不斷從氣流中吸取能量，振動幅度會隨速度的增大而增大.當飛行器的速度超過顫振臨界速度時，從氣流中吸取的能量大于結(jié)構(gòu)阻尼所引起的能量消耗，系統(tǒng)就會從穩(wěn)定狀態(tài)變成發(fā)散狀態(tài)，結(jié)構(gòu)在某一瞬時就會發(fā)生災(zāi)難性的破壞[2].為了提高飛行器的安全系數(shù)，對顫振問題和顫振主動抑制的研究是十分有意義的.

國內(nèi)外學(xué)者對顫振以及對顫振現(xiàn)象的抑制，做了許多相關(guān)研究.Prakash 和 Ganapathi[3]用有限元程序研究了熱環(huán)境對功能梯度材料制成的平板的超音速顫動行為的影響.通過計算復(fù)雜特征值問題的解決方案，發(fā)現(xiàn)熱梯度會降低臨界顫振速度.Chen[4]分析了正交各項異性復(fù)合層壓矩形板在空氣動力壓力和橫向激勵作用下的顫振和非線性動力學(xué).通過對特征值問題的求解，研究了復(fù)合材料層合板顫振發(fā)生的臨界馬赫數(shù).基于非線性方程，分析了極限環(huán)振蕩與臨界馬赫數(shù)之間的關(guān)系.Moon和Hwang[5]提出了一種最佳控制設(shè)計來控制帶有壓電致動器的超音速復(fù)合板的顫動，以較低的控制輸入即可獲得較高的最大可抑制動壓力.Reddy[6]設(shè)計了一種自適應(yīng)輸出反饋控制器，通過使用前緣和后緣控制面驅(qū)動來抑制非線性機翼截面上的氣動彈性振動.Oh和Li[7]開發(fā)了用于圓柱壓電疊層殼的空氣熱彈性分析的幾何非線性有限元.結(jié)果表明主動壓電致動可以有效地增加空氣動力學(xué)臨界壓力.Li[8]研究了使用壓電材料的超音速梁的主動氣動彈性顫振特性，結(jié)果表明表面加入壓電材料，可以顯著改善梁的氣動性能.Peng等[9]應(yīng)用負速度反饋控制算法，分析了具有分布式壓電傳感器和主動振動控制執(zhí)行器的復(fù)合材料層合板的振動抑制.

石墨烯或石墨烯薄片（GPL）是一種碳填充的聚合物復(fù)合材料，具有極高的機械、電和熱特性，并能降低生產(chǎn)成本.此外，理論和實驗上的研究已經(jīng)證明，向原始聚合物基質(zhì)中添加少量GPLs可以顯著改善其機械性能[10-14]、熱性能[15，16]和電性能[16].Fang等[17]制備的聚苯乙烯片材納米復(fù)合材料摻入了0.9%質(zhì)量分數(shù)的GPL片材，這使得楊氏模量顯著提高了57.2%.King[18]等通過添加6%質(zhì)量分數(shù)的GPLs，制備了GPLs增強復(fù)合材料，并通過實驗測試發(fā)現(xiàn)納米復(fù)合材料的楊氏模量從2.72GPa提高到3.36GPa.Fan等[19]研究了GPLs增強界面對碳纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料的熱氧化穩(wěn)定性的影響.結(jié)果表明，層間剪切強度和彎曲強度分別增加了18%和15%.Lin等[20]發(fā)現(xiàn)，GPLs增強的聚甲基丙烯酸甲酯復(fù)合材料的楊氏模量和剪切模量會隨著GPLs質(zhì)量分數(shù)的增加而增加，但隨著溫度的升高而降低.Wang等[21]研究了不同GPL尺寸對GPL/環(huán)氧納米復(fù)合材料力學(xué)性能的影響.他們的研究表明，較大的GPL尺寸可以顯著提高拉伸模量，但會降低納米復(fù)合材料的強度.Song等[22，23]研究了多層GPL納米片增強板在軸向壓縮和橫向載荷下的自由振動、屈曲和強迫振動問題.結(jié)果表明將少量GPLs分散到環(huán)氧基質(zhì)中可以顯著改善臨界屈曲載荷并降低振動響應(yīng).

綜上所述，學(xué)者們從理論、仿真及實驗等多個方面對結(jié)構(gòu)的顫振行為以及顫振的控制進行了研究，同時針對GPLs增強復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)特性也進行了廣泛的研究.但目前結(jié)合壓電反饋控制與GPLs增強材料來對顫振進行抑制的研究還十分有限.GPLs增強材料優(yōu)異的力學(xué)性能為我們抑制顫振提供了新的思路.本文研究了石墨烯增強復(fù)合材料懸臂板的主動氣動彈性顫振特性以及對顫振的壓電抑制.材料參數(shù)的計算基于修改后的Halpin-Tsai模型.根據(jù)經(jīng)典板理論和一階活塞理論，通過Hamilton原理來推導(dǎo)GPLs增強復(fù)合材料壓電懸臂板的運動方程，分析了GPLs質(zhì)量分數(shù)和GPLs的三種不同分布（X-GPLs，U-GPLs和O-GPLs）對臨界顫振氣動壓力的影響.對基于反饋的主動振動控制進行了數(shù)值研究.詳細討論了反饋增益對臨界顫振點和臨界顫振點附近響應(yīng)的影響.

1 構(gòu)建方程

1.1 材料屬性的影響

本文假設(shè)GPLs的質(zhì)量分數(shù)隨著板的厚度方向逐層呈線性變化，如圖1所示，文章研究了三種類型的GPLs增強體分布類型，分別為X-GPLs分布，U-GPLs分布和O-GPLs分布.O-GPLs分布表示GPLs含量在中間層最高，在頂層和底層最低；XGPLs分布表示GPLs含量在中間層最低，在頂層和底層最高；U-GPLs分布則表示GPLs增強體在復(fù)合材料中均勻分布.

圖1 石墨烯分布模型Fig.1 Graphene distribution model

1.2 結(jié)構(gòu)建模

石墨烯增強復(fù)合懸臂板結(jié)構(gòu)模型如圖2所示，板的頂部和底部為壓電層，中間為石墨烯增強復(fù)合材料，長、寬和總厚度為a，b，H.石墨烯增強復(fù)合材料的厚度為h.根據(jù)位移-應(yīng)變方程，板的應(yīng)變表示如下：

圖2 結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic of the structure

2 自由振動

石墨烯增強復(fù)合材料懸臂板模型的具體尺寸和材料參數(shù)如下：

可以通過Rayleigh-Ritz得到結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型.懸臂板的模態(tài)函數(shù)可以表示為：

將式（18-20）帶入到式（17），令H=h，通過特征值求解得到GPLs質(zhì)量分數(shù)為0.3%時的固有頻率，與有限元方法得到的固有頻率對比如表1所示.結(jié)果表明本文所得到的結(jié)果和通過有限元方法所得到的結(jié)果相近，驗證了本文方法的有效性.

表1 與有限元方法固有頻率對比Table 1 Natural frequency comparison with finite element method

隨著GPLs質(zhì)量分數(shù)的變化，結(jié)構(gòu)的固有頻率也會發(fā)生改變，固有頻率的相對變化率(ωωM/ωM)×100%隨著GPLs質(zhì)量分數(shù)的變化率如圖3所示，其中ωM為純環(huán)氧樹脂基體的固有頻率.可以看到：隨著GPLs質(zhì)量分數(shù)的增加，石墨烯增強復(fù)合材料懸臂板的固有頻率相對變化率總是大于零，這說明GPLs的加入使得結(jié)構(gòu)的固有頻率提高.更高的固有頻率，體現(xiàn)了GPLs對結(jié)構(gòu)的剛化作用，有利于提高結(jié)構(gòu)的氣動穩(wěn)定性.并且X-GPLs分布對固有頻率的提高效果大于U-GPLs分布和O-GPLs分布.圖4為模型的前六階振型.

圖3 固有頻率隨石墨烯質(zhì)量分數(shù)的相對變化率Fig.3 Relative change rate of natural frequency with graphene mass fraction

圖4 懸臂板前六階振型Fig.4 The first six mode shapes of the cantilever plate

3 顫振分析

4 數(shù)值模擬

λ的實部和虛部隨著無量綱氣動力β的變化如圖5所示.在無量綱氣動力β=33.706時，圖5（a）中特征值的實部由負變正，同時圖5（b）中特征值虛部此時會發(fā)生匯合，此時的βi稱作無量綱臨界顫振氣動壓力，意味著顫振現(xiàn)象的發(fā)生.圖6為顫振發(fā)生前后板的響應(yīng)，可以看到顫振發(fā)生后，響應(yīng)開始發(fā)散，逐漸趨于無窮.

圖5 特征值隨無量綱氣動力的變化Fig.5 Variations of the eigenvalue with respect to the dimensionless aerodynamic pressure

圖6 時域響應(yīng)對比圖Fig.6 Time domain responses：a comparison

通?？梢酝ㄟ^提高自身的剛度來提高結(jié)構(gòu)的氣動穩(wěn)定，結(jié)構(gòu)的臨界顫振氣動壓力隨著GPLs增強體質(zhì)量分數(shù)增加的變化如圖7所示，隨著GPLs增強體質(zhì)量分數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)的臨界顫振氣動壓力隨之增加，X-GPLs分布相比U-GPLs分布和OGPLs分布能更好地提高結(jié)構(gòu)的氣動穩(wěn)定性.

下面GPLs增強體取O-GPLs分布，質(zhì)量分數(shù)為0.3%來研究反饋控制對顫振現(xiàn)象的抑制效果.

圖7 臨界無量綱顫振氣動壓力隨石墨烯質(zhì)量分數(shù)的變化Fig.7 Variations of critical dimensionless flutter aerodynamic pressure with respect to graphene mass fraction

圖8和圖9分別展示了三組不同的加速度反饋增益下的加速度反饋控制，對結(jié)構(gòu)臨界顫振氣動壓力的影響.可以發(fā)現(xiàn)隨著Ka增加，結(jié)構(gòu)的臨界顫振氣動壓力也隨著增加，這表明在一定范圍內(nèi)，更高的加速度反饋增益可以提供更好的顫振抑制效果.圖9表示三組不同的位移反饋增益下的位移反饋控制對結(jié)構(gòu)臨界顫振氣動壓力的影響.同樣可以發(fā)現(xiàn)隨著Kd增加，結(jié)構(gòu)的臨界顫振氣動壓力也隨著增加，這說明在一定范圍內(nèi)，位移反饋增益越高，對顫振抑制效果也越好.因此，兩種反饋控制都可以有效地增加結(jié)構(gòu)的臨界顫振氣動壓力，從而提高結(jié)構(gòu)的氣動特性.

圖8 不同加速度反饋增益下，特征值隨無量綱氣動力的變化Fig.8 Variations of eigenvalues with respect to dimensionless aerody?namic force under different acceleration feedback gains

圖9 不同位移反饋增益下，特征值隨無量綱氣動力的變化Fig.9 Variations of eigenvalues with respect to dimensionless aerodynamic force under different displacement feedback gains

圖10和圖11分別展示了加速度反饋控制和位移反饋控制，在控制前后結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)對比及相對的反饋控制電壓，可以看到控制后的位移響應(yīng)不再發(fā)散，幅值逐漸衰減.

圖10 加速度反饋控制效果Fig.10 Control effect of acceleration feedback

圖11 位移反饋控制效果Fig.11 Control effect of displacement feedback

5 結(jié)論

本文主要研究了石墨烯增強復(fù)合材料懸臂板的顫振特性及顫振的壓電抑制，利用Halpin-Tsai模型及混合率計算了石墨烯增強復(fù)合材料板的等效材料參數(shù)，通過Rayleigh-Ritz法得到了石墨烯增強復(fù)合材料懸臂板的固有頻率，并與有限元仿真進行了對比.研究了石墨烯增強復(fù)合材料懸臂板的固有頻率和無量綱臨界顫振氣動壓力，隨不同分布下GPLs增強體質(zhì)量分數(shù)的變化情況.研究了利用壓電層進行加速度反饋控制和位移反饋控制對結(jié)構(gòu)氣動穩(wěn)定性的增強作用.結(jié)果表明：

（1）不論是X-GPLs分布，U-GPLs分布，還是O-GPLs分布，都使石墨烯增強復(fù)合材料板的固有頻率提高，其中X-GPLs分布的提高效果要大于UGPLs分布和O-GPLs分布.

（2）添加GPLs增強體就可以使結(jié)構(gòu)的臨界顫振氣動壓力提高.對于石墨烯復(fù)合材料增強懸臂板，X-GPLs分布相比于U-GPLs分布和O-GPLs分布可以更好地提升結(jié)構(gòu)剛度及氣動穩(wěn)定性.

（3）不論是加速度反饋，還是位移反饋控制，都可以有效地抑制顫振，使石墨烯增強復(fù)合材料懸臂板的臨界顫振氣動壓力增加.

（4）加速度（位移）反饋控制后板的響應(yīng)相比于控制前的響應(yīng)，不再發(fā)散且振幅快速衰減.

附錄A

文中涉及到的矩陣的具體表達形式如下：