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      沖激函數(shù)δ(t)及其導(dǎo)數(shù)的微分方程求解

      2022-09-05 03:19:46肖立文
      關(guān)鍵詞:拉氏特征方程二階

      方 飛, 肖立文

      (內(nèi)江師范學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院, 四川 內(nèi)江 641100)

      0 引言

      《信號(hào)與系統(tǒng)》是電子信息類專業(yè)的核心課程,該課程理論性強(qiáng)、過于抽象,學(xué)生學(xué)起來普遍有畏難情緒[1].單位沖激響應(yīng)是分析線性時(shí)不變(linear and time invariant,LTI)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性等特性的重要方法[2].教學(xué)中發(fā)現(xiàn),阻礙學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的常常是某些知識(shí)點(diǎn)理解不到位,而沖激函數(shù)δ(t)(也稱奇異函數(shù))及其響應(yīng)就加重了學(xué)生的理解難度.

      當(dāng)前對《信號(hào)與系統(tǒng)》課程的研究主要集中教學(xué)模式及教學(xué)方法改革[3-6]和課程思政[7-10]等方面.杜世民等[2]利用奇異函數(shù)平衡法、等效初始條件法、線性分析法分析了沖激響應(yīng)的求解算法;張國強(qiáng)等[11]對單位沖激信號(hào)的引入方法進(jìn)行了對比;許梅等[12]對單位沖激信號(hào)的性質(zhì)進(jìn)行了研究.已有的研究都未對沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析,沒有對微分方程中出現(xiàn)沖激函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)如何求解展開研究,而拉氏變換求解算法中又經(jīng)常用到.針對此問題,本文對微分方程中出現(xiàn)沖激函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)如何采取經(jīng)典方法進(jìn)行求解開展研究.

      1 微分方程經(jīng)典求解算法

      二階常系數(shù)微分方程如下:

      y″(t)+5y′(t)+6y(t)=f′(t)+f(t).

      (1)

      假定系統(tǒng)初始值為零,即

      y′(0-)=0,y(0-)=0,

      (i)當(dāng)f(t)=u(t),求系統(tǒng)的全響應(yīng);

      (ii)當(dāng)f(t)=δ(t)時(shí),求系統(tǒng)的全響應(yīng).

      依據(jù)線性微分方程求解方法,得到微分方程的特征方程為:

      α2+5α+6=0,

      (2)

      求得特征根為α1=-2,α2=-3,齊次解為:yh(t)=C1e-2t+C2e-3t.

      由于δ(t)、δ′(t)及其高階導(dǎo)數(shù)只在0時(shí)刻起作用,因此對于(i)的求解,式(1)的右邊變?yōu)棣?t)+u(t),依據(jù)沖激函數(shù)匹配方法,左邊y″(t)將出現(xiàn)δ(t),在0-到0+時(shí)刻,y′(t)將發(fā)生躍變,y′(0+)=y′(0-)+1=1.

      微分方程的特解為:

      yp(t)=1/6.

      微分方程的全解可表示為:

      代入初始值:

      (3)

      對于(ii)的求解中,右邊激勵(lì)變成3δ′(t)+2δ(t),對于δ(t)引起的響應(yīng)可以按照(i)所求方法進(jìn)行求解.然而當(dāng)激勵(lì)為δ′(t)時(shí),依據(jù)沖激函數(shù)匹配方法,左邊y″(t)將出現(xiàn)δ′(t)項(xiàng),y′(t)將出現(xiàn)δ(t).依據(jù)δ(t)的性質(zhì),在0-到0+時(shí)刻,y(t)將發(fā)生躍變.此時(shí)將產(chǎn)生如下問題:

      (1)當(dāng)y″(t)中包含δ′(t)項(xiàng)時(shí),也可能包括δ(t)項(xiàng),此時(shí)如何確定系數(shù);

      (2)y″(t)中δ′(t)項(xiàng)從0-到0+是否會(huì)引起y(t)發(fā)生躍變.

      這是在求解含δ′(t)的微分方程時(shí)很難理解的地方,也是包含δ(t)導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)的微分方程在求解過程中面臨的問題.

      2 拉氏變換求解算法

      二階常系數(shù)微分方程如下:

      y″(t)+5y′(t)+6y(t)=f′(t)+f(t).

      (4)

      依據(jù)拉氏變換求解方法,對方程兩邊進(jìn)行拉普拉斯(Laplace)變換,當(dāng)初始條件為0時(shí),得到方程的拉氏變換:

      s2Y(s)+5sY(s)+6Y(s)=sF(s)+F(s),

      (5)

      (6)

      是由激勵(lì)f′(t)=δ(t)引起的響應(yīng),依據(jù)拉氏反變換,可以求得在該激勵(lì)下的響應(yīng)為

      y1(t)=(e-2t-e-3t)u(t);

      由激勵(lì)f(t)=u(t)引起的響應(yīng),依據(jù)拉氏反變換,可以求得在該激勵(lì)下的響應(yīng)為

      全解為:

      (7)

      (ii)當(dāng)f(t)=δ(t)時(shí),F(xiàn)(s)=1,

      (8)

      是由激勵(lì)f(t)=δ(t)引起的響應(yīng),依據(jù)拉氏反變換,可以求得在該激勵(lì)下的響應(yīng)為

      y1(t)=(e-2t-e-3t)u(t);

      是由激勵(lì)f(t)=δ′(t)引起的響應(yīng),依據(jù)拉氏反變換,可以求得在該激勵(lì)下的響應(yīng)為

      y2(t)=(-2e-2t+3e-3t)u(t).

      全解為:

      y(t)=y1(t)+y2(t)=(-e-2t+2e-3t)u(t).

      (9)

      3 含δ(t)及其導(dǎo)數(shù)方程的求解

      依據(jù)LTI系統(tǒng)的線性特性,松馳條件下(初始條件為0)的微分方程y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=f′(t)+f(t)可以分解為兩部分:

      y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=f1(t)+f2(t),

      其中f1(t)=f2′(t),因此只考慮微分方程最簡單的形式

      y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=f(t)類型的微分方程.

      3.1 激勵(lì)為δ(t)的響應(yīng)

      定理1對于二階線性常系微分方程,y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t),若其特征方程的根為非重根,則該微分方向的沖激響應(yīng)為:

      y(t)=C1ea1+C2eα2,t≥0,

      且C1,C2由如下方程確定:

      (10)

      其中,α1,α2是微分方程對應(yīng)特征方程的特征根,m是激勵(lì)δ(t)的系數(shù).

      證明:

      先考慮一常見微分方程:

      y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t).

      假設(shè)其特征根為α1,α2,(α1≠α2).由特征根的計(jì)算表達(dá),可知:

      α1+α2=-b0,α1×α2=b1.

      當(dāng)輸入激勵(lì)為f(t)=δ(t)時(shí),得到微分方程的拉氏變換為:

      (11)

      得出系統(tǒng)的響應(yīng)為:

      依據(jù)傳統(tǒng)常系數(shù)微分方程的求解方法,得到該微分方程的特征方程為:

      α2+b0α+b1=0,

      求得特征根α1,α2,(α1≠α2).

      微分方程的解可寫成:

      y(t)=C1eα1t+C2eα2t,t≥0.

      輸入為δ(t)時(shí),左邊y″(t)將出現(xiàn)δ(t),在0-到0+時(shí)刻,y′(t)將發(fā)生躍變,

      y′(0+)=y′(0-)+1=m.

      代入初始值:

      (12)

      比較兩種解法,可以發(fā)現(xiàn),在輸入為δ(t)時(shí),由拉氏變換分式分解求得的k1,k2與采用傳統(tǒng)微分方程求解得到的C1,C2相同.

      將該結(jié)論應(yīng)用于微分方程:

      y″(t)+5y′(t)+6y(t)=3f(t)

      的沖激響應(yīng)求解.利用拉氏變換求解得到該微分方程的解為

      y(t)=e-2t-e-3t,t≥0.

      由式(2)的公式m=3,α1=-2,α2=-3,推導(dǎo)得出C1=k1=3,C2=k2=-3.測試結(jié)果表明定理的準(zhǔn)確性.

      3.2 激勵(lì)為δ′(t)的響應(yīng)

      定理2對于二階線性常系微分方程,

      y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t),

      其激勵(lì)為δ′(t)的響應(yīng)為:

      y(t)=C1eα1t+C2eα2t,t≥0,

      且C1,C2由如下方程確定.

      (13)

      其中,α1,α2是微分方程對應(yīng)特征方程的特征根,m是激勵(lì)δ′(t)的系數(shù).

      證明:

      依據(jù)LTI系統(tǒng)的線性特性,松馳條件下(初始條件為0)且不出現(xiàn)重根的二階線性微分方程y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t),假設(shè)α1,α2是微分方程對應(yīng)特征方程的根.當(dāng)輸入激勵(lì)為f(t)=δ′(t)時(shí),F(xiàn)(s)=s,得到微分方程的拉氏變換為:

      (14)

      得出微分方程的解為:

      (15)

      而微分方程對應(yīng)特征方程為

      α2+b0α+b1=0,

      求得特征為根為α1,α2.

      3.3 激勵(lì)為δ′(t)的響應(yīng)

      定理3對于二階線性常系微分方程,

      y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t),

      其激勵(lì)δ′(t)響應(yīng)為:

      y(t)=m(δ(t)+C1eα1t+C2eα2t),t≥0,

      且C1,C2由如下方程確定:

      (16)

      其中,α1,α2是微分方程對應(yīng)特征方程的特征根,m是激勵(lì)δ(t)的系數(shù).

      證明:

      依據(jù)LTI系統(tǒng)的線性特性,松馳條件下(初始條件為0)且不出現(xiàn)重根的微分方程

      y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t),

      假設(shè)α1,α2是微分方程對應(yīng)特征方程的特征根.當(dāng)輸入激勵(lì)為f(t)=δ″(t)時(shí),F(xiàn)(s)=s2時(shí),得到微分方程的拉氏變換為:

      得出微分方程的解為:

      (18)

      而微分方程對應(yīng)特征方程為α2+b0α+b1=0,求得特征為根為α1,α2.使用經(jīng)典求解方法的沖激函數(shù)匹配法,y(t)必然包含δ(t),y″(t)包含mδ″(t),但是難以確定δ″(t)對y′(t)及y(t)的影響,這也是經(jīng)典求解算法存在的問題.通過分析發(fā)現(xiàn):

      正好是微分方程y′(t)的系數(shù);

      是y′(t)的系數(shù).

      驗(yàn)證:將該推論應(yīng)用于微分方程

      y″(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t),

      其解為

      y(t)=δ(t)+4e-2t-9e-3t,t≥0,

      可以得出:

      (19)

      對于方程

      y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t),

      其解為

      y(t)=δ(t)+e-t-4e-2t,t≥0,

      可以得出

      (20)

      兩個(gè)方程滿足相同的條件,驗(yàn)證結(jié)論正確.

      4 結(jié)論

      經(jīng)典的微分方程求解算法在求解含沖激函數(shù)δ(t)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)甚至高階導(dǎo)數(shù)時(shí),無法解決在0-到0+時(shí)刻,沖激函數(shù)引起的初始狀態(tài)變化情況.拉氏變換通過將微分方程變成線性方程,并通過將積分限設(shè)置為0-的方式來避免0-到0+時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)變化,簡化了微分方程的求解過程.在實(shí)際系統(tǒng)分析中,盡量采用拉氏變換來求解實(shí)際電路微分方程.經(jīng)典微分方程求解是傅里葉變換、拉氏變換以及Z變換算法的基礎(chǔ),學(xué)生必須掌握經(jīng)典求解算法技巧與方法.本文提出的系統(tǒng)匹配方法只針對了二階不重根的方法,包含δ(t)三階導(dǎo)數(shù)及以上微分方程的匹配算法還需要進(jìn)一步證明.

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