張文珠,王佐勛,潘錦浩,宋 聰

齊魯工業(yè)大學(山東省科學院)信息與自動化學院,山東 濟南 250353

自1963年Lorenz首次發(fā)現(xiàn)混沌系統(tǒng)以來,具有重要研究價值的熱門方向是混沌系統(tǒng)及其現(xiàn)象[1]。狀態(tài)變量屬于復空間的復混沌系統(tǒng)是另一種重要的混沌動力系統(tǒng)[2-3]。它在定理和應用上得到了廣泛的研究,成為近年來的熱門話題之一。特別是由于復混沌系統(tǒng)是由實數(shù)和虛數(shù)組成的,它比實混沌系統(tǒng)具有更好的加密效果[4-5]。由于復混沌系統(tǒng)的動力學行為比實混沌系統(tǒng)更為復雜,因此研究此類系統(tǒng)的控制問題非常困難。

傳統(tǒng)的線性反饋控制器雖然結(jié)構(gòu)簡單,物理上易于實現(xiàn),但也存在過分依賴控制反饋增益值的問題,極大地限制了系統(tǒng)初始值設(shè)定的自由度[6-8]。目前,大多數(shù)研究人員采用以下方法：首先,通過分離復狀態(tài)變量的實部和虛部,將復混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為其等價的實混沌系統(tǒng),然后為被控制的實混沌系統(tǒng)設(shè)計相應的控制器,最后根據(jù)復混沌與其等價實混沌系統(tǒng)之間的對應關(guān)系,得到復混沌系統(tǒng)的對應控制器,從而實現(xiàn)對這類復混沌系統(tǒng)的控制問題[9-10]。但是,這種方法也存在一些問題：一方面,第一步缺乏系統(tǒng)的方法,即對于特定的復混沌系統(tǒng),如何找到系統(tǒng)的方法將復混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為與其等價的實混沌系統(tǒng),不僅具有重要的理論意義,而且具有廣泛的應用價值[11-12]；另一方面,前人設(shè)計的控制器大多是復雜[13-15]；因此,它們很難在實際情況中應用[16-18]。關(guān)于求解非線性系統(tǒng)的控制問題,物理學上也有控制器可供選擇,動態(tài)增益反饋控制器為就是其中之一[19]。

本文的主要貢獻是利用動態(tài)反饋控制方法為復4D超混沌系統(tǒng)設(shè)計了幾個物理控制器。與以往的研究成果相比,這種控制器將更為簡單,并可以實現(xiàn)復4D超混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定和完全同步。最后通過Matlab進行數(shù)值模擬,模擬結(jié)果驗證了理論結(jié)果的正確性和有效性。

1 理論準備

考慮如下混沌系統(tǒng)：

其中,x∈n是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T是連續(xù)光滑的向量函數(shù)并且f(0)=0。

設(shè)系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng),則相應的受控從系統(tǒng)為：

其中,y∈n是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,f(y)=(f1(y),f2(y),…,fn(y))T是連續(xù)光滑的向量函數(shù),B∈n×r是常數(shù)矩陣且r≥1,u是待設(shè)計的控制器。

令e=y-x,則可以得到誤差系統(tǒng)如下所示：

其中,e∈n是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,B和u已經(jīng)在(2)中給出。

2 問題描述

一個復4D超混沌系統(tǒng),系統(tǒng)中的每個方程都有一個三項叉積,表示為

令m=x1+ix2,n=x3+ix4,p=x5,q=x6,則系統(tǒng)(4)可以轉(zhuǎn)化為以下等價的實系統(tǒng)

其中,x∈6是系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

設(shè)系統(tǒng)(5)為主系統(tǒng),則相應的受控從系統(tǒng)為：

其中,y∈6是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,u是待設(shè)計的控制器,B被設(shè)計為

3 主要結(jié)果

在本節(jié)中,我們通過動態(tài)反饋增益的方法來實現(xiàn)復4D超混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定和同步問題。

定理3.1 考慮系統(tǒng)(6),如果被設(shè)計的控制器u是

u=k1(t)BTy,

(7)

其中

說明系統(tǒng)(6)實現(xiàn)了鎮(zhèn)定。

證明：令x3=x4=x5=0,則相應的三維子系統(tǒng)為

是漸進穩(wěn)定的。因此,(f(y),B)是可控的,這就完成了證明。

定理3.2考慮主系統(tǒng)(5)和從系統(tǒng)(6),如果被設(shè)計的控制器u是

u=k1(t)BTe,

(10)

其中e=y-x,

說明主系統(tǒng)(5)和從系統(tǒng)(6)實現(xiàn)了完全同步。

證明：令e=y-x,則誤差系統(tǒng)為

其中e∈6且

其中：

G5(x,e)=(y1y3y6-x1x3x6)+(y2y4y6-x2x4x6)-ce5,

(14)

G6(x,e)=(y1y3y5-x1x3x5)+(y2y4y5-x2x4x5)-de6,

(15)

顯然,如果e3=e4=e5=0,且a=20,b=10,c=1,b=2,則相應的三維誤差系統(tǒng)為

是漸進穩(wěn)定的。因此,(G(x,e),B)是可控的,這就完成了證明。

4 數(shù)值仿真

受控復4D超混沌系統(tǒng)的初始值為x(0)=[1,1,2,2,3,3,-1],動態(tài)反饋增益k(t)的初始值k(0)=-1,仿真結(jié)果如下圖所示。從圖1和圖2中可以看出復4D超混沌系統(tǒng)的每個狀態(tài)變量是漸進穩(wěn)定的,圖3表明動態(tài)反饋增益k(t)收斂到一個合適的常數(shù)。

圖2 狀態(tài)變量x4、x5、x6漸進穩(wěn)定

圖3 動態(tài)反饋增益收斂到一個合適的常數(shù)

主系統(tǒng)的初始值x(0)=[-1,-2,3,2,-1,2],從系統(tǒng)的初始值y(0)=[3,2,-1,-2,3,-2],動態(tài)增益反饋k(t)的初始值k(0)=-1。仿真結(jié)果如下圖所示。從圖4和圖5中可以看出控制器被激活時的誤差系統(tǒng),表明已經(jīng)穩(wěn)定,這意味著復4D超混沌系統(tǒng)中完全同步已經(jīng)實現(xiàn)。圖6和圖7顯示了控制器啟動時狀態(tài)變量的動態(tài)變化,主系統(tǒng)和從系統(tǒng)的狀態(tài)實現(xiàn)了完全同步,圖8表明動態(tài)反饋增益k(t)收斂到一個負常數(shù)。

圖4 誤差系統(tǒng)e1、e2、e3漸進穩(wěn)定

圖5 誤差系統(tǒng)e4、e5、e6漸進穩(wěn)定

圖6 主系統(tǒng)x1、x2、x3和從系統(tǒng)y1、y2、y3的狀態(tài)實現(xiàn)了完全同步

圖7 主系統(tǒng)x4、x5、x6和從系統(tǒng)y4、y5、y6的狀態(tài)實現(xiàn)了完全同步

圖8 動態(tài)反饋增益收斂到一個合適的負常數(shù)

5 結(jié) 論

本文研究了通過動態(tài)增益反饋控制的方法來實現(xiàn)復4D超混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定和同步問題。首先,通過分離復變量的實部和虛部,將復4D超混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價的六維實系統(tǒng)。然后,設(shè)計兩個簡單的控制器來實現(xiàn)復4D超混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定和同步問題。最后,通過Matlab進行數(shù)值仿真驗證了理論結(jié)果的正確性和有效性。本文提出的研究方法也可以應用于其他混沌或超混沌系統(tǒng)。