曲安京

(西北大學 科學史高等研究院, 陜西 西安 710127)

一、問題的提出

2011年,鄭州文物考古研究院對位于鄭州市上街區(qū)的西晉墓葬群進行了考古發(fā)掘。 2019年, 《文物》刊發(fā)了其中三個墓葬的發(fā)掘報告。 其中M1為單室磚室墓; M2與M3形制相同, 為雙室磚室墓。 發(fā)掘報告認為, 這三座墓葬均為中原地區(qū)晉墓常見的形制。 盡管這三個墓葬的墓室受到了不同程度的嚴重遭擾, 但其基本建筑結構大體上保留了下來, 特別是M3的前室與后室, 除了頂部的盜洞, 都保持了原始的建筑形狀[1]。 圖1保存了M3前后兩個墓室的外觀影像, 可惜的是, 圖中建筑的隆頂部分已被拆除。

這些墓室建筑的形制是類似的, 每個墓室都是由底部的立方柱和上部的穹隆頂構成, 如圖2所示, 墓室四壁微外弧, 以條磚錯縫平砌而成, 頂部有寬約0.5米見方的透氣孔。 M 3的后室穹隆頂部有一個盜洞。

有趣的是這些墓室穹隆頂?shù)慕Y構,如圖1所示,其橫截面均為正方形。這個特別的穹隆頂,形似魏晉時期的數(shù)學家劉徽曾經構造的一種幾何模型:牟合方蓋。在近年來的考古實踐中,可以頻繁地看到東漢到南北朝時期的大量墓室都采用了牟合方蓋的穹隆頂結構,其地域分布非常廣泛,遠超中原的范圍。例如,2021年報道了山西大同發(fā)掘的北魏賈寶墓[2],2013年報道了在新疆庫車友誼路發(fā)現(xiàn)的魏晉十六國時期的墓葬群[3,4],等等。

作為牟合方蓋的實物模型,這是首次在中國古代的墓室建筑中被認證,以前的考古學者與數(shù)學史家從未將這兩者聯(lián)系起來。我們是否可以根據(jù)牟合方蓋的幾何特征,復原鄭州上街西晉墓室建筑的設計模型,并由此從考古類型學的視角,探討中國古代墓室建筑形制的數(shù)學結構與天文意義?

“研究確定考古學遺存的時空關系的地層學與類型學,是考古學的基本理論和方法?！盵5]通過分析歷史遺跡和遺物的形態(tài)變化過程,發(fā)現(xiàn)其演變規(guī)律,是考古類型學的主要內容,因此考古類型學在各種文物器具的歸類與斷代研究中扮演了非常重要的角色。

本文試圖解決的問題是:作為數(shù)理考古的一個案例,能否根據(jù)鄭州上街區(qū)的西晉墓葬,嘗試構建東漢到南北朝時期墓室結構之類型學的標準模型?為此,我們需要先了解一下,什么是牟合方蓋?為什么這個數(shù)學結構是重要的?

二、牟合方蓋與數(shù)理考古

歷史學研究所依賴的基本對象,是史料。早期的史料,僅僅是指文字記錄的文獻?？脊艑W的出現(xiàn),將文物包括遺跡,擴充為史料,這是歷史學研究范式的第一次重要的擴張?？萍伎脊?則進一步將文物,如陶瓷、尸骨、銅器等等,作為試驗“材料”,擴充為史料,通過對“材料”成分的分析,重構或還原文物所承載的歷史,成為歷史學研究范式的第二次重要的擴張。

通過對“史料”定義的擴張,導致對史學研究疆域的擴展,使傳統(tǒng)的史學研究不斷煥發(fā)出勃勃生機。近年來,筆者嘗試將文物與遺跡的“數(shù)據(jù)”,擴充為可以利用的史料,通過數(shù)據(jù)清洗與數(shù)學建模,利用這些過去不被關注的“數(shù)據(jù)”,重構或還原古人的設計藍圖,與科技考古相對應,稱之為數(shù)理考古。

將“數(shù)據(jù)”作為可以利用的史料,納入古代史的研究范疇,其學理依據(jù)是,在古代文明的構建中,“數(shù)”扮演了非常重要的角色。在北大秦簡中我們看到,陳起在回答魯久次的提問時,談到了“萬物皆數(shù)”的觀點:

魯久次問數(shù)于陳起曰： “久次讀語、計數(shù)弗能并徹，欲徹一物，何物為急?”陳起對之曰：“子為弗能并徹，舍語而徹數(shù)，數(shù)可語也，語不可數(shù)也?！本么卧唬?“天下之物，孰不用數(shù)?”陳起對之曰：“天下之物，無不用數(shù)者。”[6]

在各種早期文明中,無論是古希臘還是古中國,都將“數(shù)”作為其文明構建的核心要素。因此,將文獻、文物、遺跡中所蘊含的“數(shù)”作為可利用的史料,通過數(shù)據(jù)清洗、數(shù)學建模,可以有效地、深刻地還原被歲月塵封的歷史，再依此構建數(shù)學模型,闡釋大量類似考古發(fā)現(xiàn)的歷史價值。

例如,我們根據(jù)北大秦簡中陳起的文字,復原了從未在傳世文獻中記錄的“三圓三方”的宇宙模型[7]。這個模型的最先使用,是馮時在闡釋紅山文化的三環(huán)石壇天文意義時提出的[8]。在近幾年的考古發(fā)掘中,可以看到大量的蘊含了這個結構的遺址[9-11]。

根據(jù)鄭州上街西晉墓室的牟合方蓋穹隆頂結構,重構東漢到南北朝時期的墓室結構的數(shù)學模型,能否成為古代墓葬研究的一個可以應用的類型學的標準模型呢?如果可以實現(xiàn),便可為考古學者在發(fā)掘類似的具有牟合方蓋結構的墓葬中提供一套簡明的判別標準。

鄭州上街西晉墓室的核心結構,是所謂的牟合方蓋。牟合方蓋是一個重要的數(shù)學模型。這個模型最早是魏晉時期的著名數(shù)學家劉徽提出來的。

《九章算術》“少廣章”的開立圓術,給出了一個球體積的計算公式,劉徽在注《九章》時證明,《九章算術》中的球積公式是錯誤的。為此,他構造了“牟合方蓋”。不過,劉徽雖然發(fā)現(xiàn)了問題,但并沒有解決問題,他說“敢不闕疑,以俟能言者”。后來,祖沖之父子利用牟合方蓋的模型,推導出了正確的球積公式。由于牟合方蓋在現(xiàn)實世界中有多種應用,因此被認為是一個非常重要的數(shù)學結構。根據(jù)劉徽的描述,可以按如下的方式構造一個牟合方蓋:

取立方棋八枚,皆令立方一寸,積之為立方二寸。規(guī)之為圓囷,徑二寸,高二寸。又復橫規(guī)之,則其形有似牟合方蓋矣。[12]261

簡而言之,就是當兩個直徑相同的圓柱作十字正交,此時,兩個圓柱體的公共部分就是牟合方蓋,如圖3所示。牟合方蓋有一個顯著的幾何特點,每一個橫截面均為正方形,并且過其頂點,將每一層截面之正方形邊長的中點連接起來,形成一個圓。

比較圖1與圖3,不難發(fā)現(xiàn),鄭州上街晉墓墓室的穹隆頂,形似半個牟合方蓋。穹隆頂?shù)牡酌媸且粋€正方形,剖面是半個圓。由此可以寓意大地為方,天蓋為圓。這就是牟合方蓋的幾何意義。

假設鄭州上街西晉墓室的穹隆頂就是按照牟合方蓋的模型設計的，那么我們就可以根據(jù)發(fā)掘報告的實測數(shù)據(jù),復原鄭州上街西晉墓室建筑的設計模型,并由此考察這些墓室在構建時的數(shù)學與天文意義。

三、河南鄭州上街西晉墓室模型復原

2011年5月,鄭州市文物考古研究院共清理了8座西晉墓葬,其中墓葬M1、M2、M3保存相對較好,出土器物豐富,發(fā)掘簡報給出了這三個墓葬的考古數(shù)據(jù)。

由于M1墓室的遭擾嚴重,墓室的穹頂與四壁條磚大多損壞,且M1為單室磚室墓,其“平面呈長方形”,與M2和M3的雙室磚墓室、平面呈正方形的結構有一定差異。為了復原這些西晉墓室建筑的設計模型,我們僅根據(jù)M2與M3的四個墓室的實測數(shù)據(jù),來進行墓室建筑設計模型的復原研究。

根據(jù)發(fā)掘報告,M2與M3的四個墓室的橫截面均為正方形,我們將發(fā)掘報告中各個墓室底部的邊長與墓室高度的實測數(shù)據(jù)羅列如表1所示。按照西晉的尺度,1晉尺=0.2412米[13]，將這些實測數(shù)據(jù)轉換成相應的西晉的尺數(shù)。例如,M2前室底部的邊長為2.3—2.4米,折合成晉尺,邊長為9.5—10.0晉尺。

如前所述,這些墓室的基本形制由兩個部分構成(如圖1、圖2所示),底部是一個立方柱,上面扣了一個穹隆頂。穹隆頂?shù)拿總€橫截面,都是由條磚錯縫平砌而成的正方形,因此,整個穹隆頂?shù)慕ㄖY構形似半個牟合方蓋,所以,穹隆頂?shù)母叨?應該等于底部正方形邊長的一半。由此可知墓室底部立方體的高度,我們稱之為“底高”,即

底高=高-邊長/2

(1)

我們將表1中M2與M3的四個墓室的實測數(shù)據(jù),按晉尺數(shù)據(jù)依四舍五入取整,數(shù)據(jù)清洗后的結果羅列如表2所示,由此可以得到這四個墓室建筑設計模型的基本數(shù)據(jù)。非常有趣的是,這些數(shù)據(jù)極為整端,其底高均為八晉尺。

表1 河南鄭州上街西晉墓M2與M3墓室的實測數(shù)據(jù) (采自[1])

表2 河南鄭州上街西晉墓M2與M3墓室建筑的設計模型數(shù)據(jù)

我們據(jù)此可以將這些墓室建筑的設計模型繪制如圖4所示。墓室中心的剖面如圖5所示,每個墓室無論高度如何,底高均為8晉尺;穹隆頂?shù)钠拭媸前雮€正圓,其高度為墓底邊長的一半;墓室的高度與大小,取決于墓室平面正方形的邊長。如果規(guī)定采用牟合方蓋為穹隆頂?shù)哪故医Y構的底高為8晉尺,則墓室平面的邊長就成為這種墓室結構的唯一參數(shù)。這就是鄭州上街西晉墓室結構的理論設計模型。

由表2可以得出如下結論:M2與M3相應墓室的差,等同于各自前后墓室的差。其中M2的前室與M3的后室大小是一樣的。M2的后室、M2的前室(及M3的后室)、M3的前室,在高與邊長兩個維度上均形成等差數(shù)列,其中邊長的公差為2晉尺,高度的公差為1晉尺。

值得強調的是,采用2晉尺為底部邊長等差數(shù)列的公差,1晉尺為高度等差數(shù)列的公差,在建筑設計尺寸取整數(shù)的前提下,這是不同墓室底部邊長與高度可能取得的最小的公差值。由此可見,表2歸算出來的M2與M3的四個墓室的基本數(shù)據(jù),具有很強的關聯(lián)性,前后墓室的底部邊長與整體高度,按一定大小比例設計,非常規(guī)律,由此可以體現(xiàn)不同墓主的地位身份。

我們把表1中邊長的實測數(shù)據(jù)取平均值,將設計模型數(shù)據(jù)(表2)換算成單位“米”,羅列如表3所示,可以看到,模型數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的絕對誤差的最大值不超過11厘米,平均絕對誤差不超過6厘米。從墓室的建筑與考古發(fā)掘的精度來看,這個誤差,完全在正常的測量范圍之內。

由于表2給出的模型數(shù)據(jù)極為規(guī)律,而設計模型的誤差又非常小,由此可以推論,我們復原的鄭州上街的西晉墓室建筑的設計模型是合理的。

表3 河南鄭州上街西晉墓M2與M3墓室的實測與模型數(shù)據(jù)的誤差

四、魏晉南北朝時期的墓室

根據(jù)前面的討論,可以得出這樣的結論:鄭州上街西晉墓室的結構,采用了這樣的數(shù)學模型,墓室的穹隆頂,相當于天蓋,如圖4所示,過其中心點縱截面是個半圓,代表了“天圓”,穹隆頂?shù)拿恳粋€橫截面,都是正方形,體現(xiàn)了“地方”。 因此,牟合方蓋所具備的幾何特性,可以完美地體現(xiàn)天圓地方的宇宙模型，將這樣的數(shù)學結構引入墓室建筑的設計模型中,符合古人與天地溝通的愿望。

根據(jù)表2可以看出,鄭州上街西晉墓葬M2與M3墓室的底部,統(tǒng)一為高8晉尺的立方體,這是一個基本數(shù)據(jù),此數(shù)在古代墓室建筑中是否有根據(jù),留待考古學者與古建筑學家的進一步考證。一個有趣的關聯(lián)是:中國古代天文學中測量晷影的圭表的標準高度,就是8尺。從鄭州上街西晉墓葬群可以看出,這些墓室的形制是相似的,其大小完全取決于墓室平面正方形的邊長,這是判定此類墓室規(guī)格的唯一參數(shù)。

如前所述,以牟合方蓋為穹隆頂?shù)哪故医Y構,在東漢到南北朝的考古發(fā)掘中是常見的。2017年,山西大同市考古研究所對該市的一處北魏墓葬群進行了搶救性發(fā)掘,共清理44座墓葬,其中M13出土的文物明確記載了墓主賈寶的身份及下葬的時間。由2021年發(fā)表的北魏賈寶墓發(fā)掘報告可知,M13的穹隆頂采用了牟合方蓋的模型。如圖6、圖7所示。

根據(jù)發(fā)掘報告,賈寶墓(M13)的墓室位于甬道的北側,單室四角攢尖頂磚券墓, 墓室平面呈弧邊長方形,南北寬5.4米,東西長4.7米,高4.9米。由圖6可以看到,M13墓室南北方向的剖面圖顯示, 墓

室穹隆頂?shù)母叨?比東西邊長的一半要大。這說明穹隆頂所蘊含的標準的半圓,應該在南北方向的剖面。如此,則以M13南北方向邊長5.4米為穹隆頂剖面半圓的直徑,對于采用牟合方蓋為穹隆頂?shù)哪故?其底高可以根據(jù)公式(1)計算而得:

底高=4.9-5.4/2=2.2(米)

假設北魏賈寶墓在結構上與鄭州上街西晉墓相同,也取底高為8尺,則可以據(jù)此得出賈寶墓M13所采用的尺度值:

1尺=2.2/8=0.275(米)

此數(shù)與北魏中期的尺度0.28米幾乎吻合[13]。 而根據(jù)M13的出土文物,其墓主賈寶為北魏平城時期人,下葬日期為太和元年(477)十月初十,正好在北魏中期。

我們按照北魏中期1尺為28厘米,對賈寶墓M13墓室的數(shù)據(jù)進行歸算,結果如表4所示。據(jù)此,可以推測北魏賈寶墓M13的設計藍圖,大體上是這樣的:墓室平面,是南北邊長19北魏尺的近似正方形。墓室正中東西方向的剖面圖,底高8北魏尺,整體高度17.5北魏尺,穹隆頂半圓的直徑19北魏尺。

考古學者可以利用這個模型,對大同北魏墓葬群所有采用了牟合方蓋為穹隆頂結構的墓室的平面南北方向的邊長進行測算,按1北魏尺=0.28米換算,以確定墓葬的規(guī)格。

表4 山西大同北魏賈寶墓M13墓室的實測與模型數(shù)據(jù) (采自[2])

近期考古發(fā)掘的另外一個例子,是新疆庫車縣的魏晉十六國墓葬群。2007年,在新疆阿克蘇地區(qū)庫車縣友誼路的建設工地,發(fā)現(xiàn)了一個墓葬群。新疆文物考古研究所在2007年和2010年,兩次對其中的15座墓葬進行了清理。發(fā)掘報告詳細報道了保存較好的M1、M3、M11、M12、M13的發(fā)掘情況,這些墓葬都采用了牟合方蓋的穹隆頂結構。如圖8所示。

根據(jù)這兩次發(fā)掘報告,我們將庫車縣友誼路的五個主要墓葬的墓室之實測數(shù)據(jù)羅列如表5所示。由此可以看出,這些墓室的平面基本上都是正方形。其邊長較鄭州上街西晉墓稍大,但是,墓室的高度較之又矮一些。

按照牟合方蓋為穹隆頂?shù)哪故医Y構,我們可以利用公式(1),根據(jù)實測的墓室平面邊長和墓室高度,將墓室的底高計算出來。除了M1的墓頂殘破,準確的墓室高度無法測量,其余墓室的測量數(shù)據(jù)完整,我們取墓室之長與寬的平均值為其平面邊長的實測值,推算各個墓室之底高,結果羅列在表5的最后一欄。

魏晉南北朝時期的尺度,在0.24—0.31米之間,若假設墓室底高8尺,則墓室的底高介于1.9—2.5米之間。由表5可以看出,庫車魏晉十六國墓室的底高,都遠遠小于1.9米。

這個事實說明了這樣的問題:或者庫車魏晉十六國的墓室設計者采用的尺度遠遠小于這個時期中原各國采用的數(shù)值,或者他們的墓室結構雖然采用了牟合方蓋為穹隆頂,但是其墓室的底高,并未采用8尺的標準,換句話說,底高8尺或許并非所有采用牟合方蓋為穹隆頂?shù)哪故医y(tǒng)一采用的數(shù)據(jù),底高的尺數(shù)本身,也與墓主的身份地位相關聯(lián)。

表5 新疆庫車魏晉十六國墓室的實測數(shù)據(jù) (采自[3]與[4],單位:米)

五、結 論

牟合方蓋,作為一個數(shù)學結構,在現(xiàn)實生活中有很多的應用。但是,這個模型出現(xiàn)在中國古代墓室建筑的構造中,似乎從未被科學史界、考古與歷史學界的同仁們注意到。因此,鄭州上街西晉墓葬結構的發(fā)現(xiàn)和認證,是有重要意義的。

如果我們根據(jù)考古發(fā)掘數(shù)據(jù),對采用牟合方蓋模型為穹隆頂?shù)哪故业牡赘?、邊長與墓主的身份、地位、時代相關聯(lián),就有可能從墓葬類型學的角度,構建出魏晉南北朝時期這種類型的墓室的演化規(guī)律。本文對鄭州上街西晉墓室結構的討論,初步推測了這個時期采用牟合方蓋為穹隆頂結構的墓室的標準模型:底高通常為8尺,墓室平面邊長是確定墓室規(guī)格的唯一參數(shù)(如圖4、圖5所示)。

墓室作為一類特殊的地下建筑, 有可能寄予了設計者某些神圣的理念和精巧的構思。 鄭州上街西晉墓室的穹隆頂, 采用了魏晉數(shù)學家劉徽構造的數(shù)學模型: 牟合方蓋。 由于牟合方蓋本身具備天圓地方的幾何特征, 因此, 西晉墓室穹隆頂?shù)倪@個結構的發(fā)現(xiàn), 對中國古代墓葬建筑文化的研究具有重要的價值。

在墓室的構造中,利用牟合方蓋作為建筑模型,這應該是中國數(shù)學史與建筑史上的首次發(fā)現(xiàn)。作為一個標準的數(shù)學模型,這個結構出現(xiàn)在公元三世紀的西晉,與魏晉時期劉徽的生活年代相近,兩者之間有什么聯(lián)系,值得進一步的研究。此前的墓葬設計,是否出現(xiàn)過這個模型?后世的墓室結構,是否沿襲了這樣的模型?都是值得未來的考古發(fā)掘關注的問題。

古代墓室是考古發(fā)掘中最常見的地下建筑,遺憾的是,除非墓室墻壁上繪制了圖文,一般的條磚砌壘的墓室的隆頂在發(fā)掘中都可能被拆卸,且不再復原,因此破壞了整個墓室原有的建筑結構。從大量的墓葬發(fā)掘報告來看,人們對隨葬器物的重視,要遠遠高于對墓葬結構的保護。作為地下遺址建筑,墓室的結構在建筑美學、數(shù)學模型、天文意義等方面都有重要的研究價值。因此,在考古發(fā)掘過程中,針對一些具有特殊形制的墓室建筑,應該予以完整的保護,盡量不要拆除。

我們可以期待通過更多新的考古發(fā)掘,將以牟合方蓋為穹隆頂?shù)奈鲿x墓室結構的數(shù)學模型,從類型學的角度予以標準化,從而為墓葬考古,建立一種應用簡便的、可以參考的、具有很強的解釋功能的序列參數(shù)與數(shù)學模型。