彭 丹，陳 瑩

(燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

二維(two-dimensional，2-D)系統(tǒng)由于在熱處理、多維數(shù)字濾波和迭代學(xué)習(xí)控制等方面的大量應(yīng)用而被廣泛地關(guān)注[1-5]。一般來說，2-D系統(tǒng)的基本理論被視為傳統(tǒng)一維(one-dimensional，1-D)系統(tǒng)理論的推廣。但是使用傳統(tǒng)的1-D系統(tǒng)理論不能對2-D系統(tǒng)進(jìn)行分析，因?yàn)?-D系統(tǒng)和2-D系統(tǒng)之間存在深刻而實(shí)質(zhì)性的差異，2-D系統(tǒng)信息傳播沿著水平和豎直兩個方向。此外,研究實(shí)際問題時，還需對系統(tǒng)進(jìn)行控制，如滑模控制[6]、采樣控制[7]和H∞控制[8]等。

在對實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行建模時，實(shí)際系統(tǒng)往往是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)[9-12]，近年來，模糊理論在2-D系統(tǒng)中取得了重要發(fā)展。文獻(xiàn)[13]討論了2-D Takagi-Sugeno (T-S)模糊系統(tǒng)的故障檢測觀測器設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[14]利用Lyapunov-Krasovskii函數(shù)(Lyapunov-Krasovskii function，LKF)，給出了以線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)的形式保證2-D T-S模糊系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。文獻(xiàn)[15]重點(diǎn)研究了2-D T-S模糊系統(tǒng)輸出反饋滑?？刂频膯栴}。雖然模糊理論已經(jīng)應(yīng)用于2-D系統(tǒng)，但在現(xiàn)有的2-D模糊系統(tǒng)中，與研究不含時滯[16]系統(tǒng)的文章相比，研究含有時滯系統(tǒng)的文章數(shù)量偏少。工程系統(tǒng)對外部信號的響應(yīng)絕不是瞬時的，并且總是受到時間延遲的影響。在延時的情況下，系統(tǒng)的性能通常是不可預(yù)測的，甚至是混亂的。因此，研究時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是控制工程領(lǐng)域的一個重要課題[17]。雖然2-D模型被廣泛應(yīng)用，但2-D T-S模糊時滯系統(tǒng)的理論還遠(yuǎn)未發(fā)展，因此，研究2-D T-S模糊時滯系統(tǒng)非常重要。

目前，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)有兩個重要手段。第1個是LKF的選擇，第2個是LKF的前向差分的估計(jì)。正如文獻(xiàn)[18]所討論的那樣，使用分段的LKF可以降低保守性，獲得更好的結(jié)果。然而，基于柯西矩陣不等式和松弛矩陣變量的方法不僅在可行性上是保守的，而且還會產(chǎn)生計(jì)算負(fù)擔(dān)。文獻(xiàn)[19]提出了一種新的離散單求和不等式和雙求和不等式來估計(jì)LKF差分中的求和項(xiàng)，并研究了線性離散時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[21]證明了含有三重求和形式的LKF可有效降低延遲束縛結(jié)果的保守性。文獻(xiàn)[22]利用含有三重積分形式的LKF，研究了具有混合時變時滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)輸出反饋控制問題。需注意的是，LKF中含有三重積分或三重求和的形式在1-D系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用[23-24]，并且取得較好結(jié)果，但是在2-D模糊系統(tǒng)幾乎沒有被應(yīng)用。因此，本文嘗試將含有三重求和的LKF應(yīng)用到2-D T-S模糊時滯系統(tǒng)，研究其穩(wěn)定性及狀態(tài)反饋H∞控制問題。

本文研究了由Fornasini-Marchesini (FM)模型描述的2-D T-S模糊時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H∞控制問題。選取了含有三重求和的LKF，并利用求和不等式對其進(jìn)行處理，得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)控制器，保證系統(tǒng)的H∞性能。最后，通過數(shù)值算例，證明系統(tǒng)穩(wěn)定，驗(yàn)證了結(jié)果的可行性以及準(zhǔn)確性。

1 問題描述和準(zhǔn)備工作

考慮以下基于模糊規(guī)則描述的2-D T-S模糊離散時滯系統(tǒng)：

規(guī)則k：如果θ1(i,j)是Θk1，θ2(i,j)是Θk2，…，θp(i,j)是Θkp，那么

x(i+1,j+1)=A1kx(i+1,j)+A1dkx(i+1,j-d1(j))+A2kx(i,j+1)+A2dkx(i-d2(i),j+1)+

B11ku(i+1,j)+B12ku(i,j+1)+B21kω(i+1,j)+B22kω(i,j+1);

(1)

z(i,j)=G1kx(i,j)+L1kω(i,j)，

0

(2)

其中：d1m、d2m、d1M、d2M是正整數(shù)，表示延遲邊界。

使用中心平均去模糊化方法，2-D模糊時滯系統(tǒng)(1)可以表示為:

(3)

為了書寫方便，系統(tǒng)(3)可以寫成以下形式:

x(i+1,j+1)=A1μx(i+1,j)+A1dμx(i+1,j-d1(j))+B11μu(i+1,j)+B12μu(i,j+1)+

A2μx(i,j+1)+A2dμx(i-d2(i),j+1)+B21μω(i,j+1)+B22μω(i+1,j);

(4)

z(i,j)=G1μx(i,j)+L1μω(i,j)，

其中：

為了使系統(tǒng)(4)穩(wěn)定，給出了以下模糊控制定律。

規(guī)則k：如果θ1(i,j)是Θk1，θ2(i,j)是Θk2，…，θp(i,j)是Θkp，那么

u(i,j)=Kkx(i,j)。

(5)

通過模糊規(guī)則：

u(i,j)=Kμx(i,j)，

(6)

因此，系統(tǒng)(4)可以寫成

A2dμx(i-d2(i),j+1)+B21μω(i+1,j)+B22μω(i,j+1)；

(7)

z(i,j)=G1μx(i,j)+L1μω(i,j)，

定義1[4]如果滿足以下條件，則稱具有零邊界條件的2-D T-S模糊系統(tǒng)(4)具有H∞擾動衰減度γ：

(1)當(dāng)ω(i,j)=0，系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的；

其中：

Δx1(i,j)=x(i+1,j)-x(i,j)；Δx2(i,j)=x(i,j+1)-x(i,j)；

其中：

Δx1(i,j)=x(i+1,j)-x(i,j)；Δx2(i,j)=x(i,j+1)-x(i,j)；

2 穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)

2.1 穩(wěn)定性分析

本節(jié)提出了一種新的2-D T-S模糊時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，以LMI的形式給出了在ω(i,j)=0的情況下，系統(tǒng)(4)漸近穩(wěn)定的充分條件。

定理1 給定標(biāo)量dkm，dkm，dkM(k=1,2)，時滯d1(j)，d2(i)滿足式(2)，如果存在對稱正定矩陣P>0，Q>0，Rk>0，Zk>0，Sk>0，Sk+2>0(k=1,2)，有如下LMI成立：

(8)

其中：

y(1,l+1)=x(1,l+1)-x(1,l)；y(l+1,1)=x(l+1,1)-x(l,1)；d12=d1M-d1m；d21=d2M-d2m；

φ1=diag{(d12+1)Q1+R1-Q+6S1,(d21+1)Q2+R2+Q-P+6S2,-Q1,-Q2}；φ2=04×4；

則系統(tǒng)(4)在ω(i,j)=0的情況下是漸近穩(wěn)定的。

證明首先，考慮以下LKF:

然后，通過差分規(guī)則ΔV=V1-Vd1-Vd2產(chǎn)生差值，差分結(jié)果為：

根據(jù)引理1和引理2有：

其中：

定義

其中：

使用Schur補(bǔ)引理，可以得到不等式(8)，也就是說，系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的。

2.2 H∞性能分析與控制器設(shè)計(jì)

定理1已經(jīng)給出了系統(tǒng)(4)在ω(i,j)=0時的穩(wěn)定性結(jié)果，除此之外，實(shí)際應(yīng)用時還需要考慮系統(tǒng)的性能，所以定理2和定理3將研究系統(tǒng)(7)在ω(i,j)≠0時的H∞性能以及控制器設(shè)計(jì)問題。

定理2 給定標(biāo)量γ和dkm，dkM(k=1,2)，時滯d1(j)，d2(i)滿足式(2)，如果存在對稱正定矩陣P>0，Q>0，Rk>0，Zk>0，Sk>0，Sk+2>0(k=1,2)有如下LMI成立:

(9)

其中：

則系統(tǒng)(7)具有給定的H∞擾動衰減水平γ。

證明由于式(8)可以從式(9)推導(dǎo)出來，通過定理1，可以從式(9)中得到系統(tǒng)(7)在ω(i,j)=0的情況下是漸近穩(wěn)定的。

(10)

3 數(shù)值算例

為驗(yàn)證上述定理的有效性及正確性，將其應(yīng)用于化學(xué)反應(yīng)器、熱交換器或管式爐中的熱過程，可以用以下具有時間延遲的部分可微方程來表示：

其中：T(x,t)在空間x中表示溫度；t表示時間；τt表示時間延遲；a(.)=a(x,t,T(x,t))，b=(.)=b(x,t,T(x,t))是取決于T(x,t)的狀態(tài)的系數(shù)函數(shù)。

假設(shè)

可得到以下2-D非線性模型：

定義xT(i,j)=[TT(i-1,j)TT(i,j)]，從而很容易地獲得以下2-D FM模型：

x(i+1,j+1)=A1x(i,j+1)+A2x(i+1,j)+A1dx(i-d1(i),j+1)+A2dx(i+1,j-d2(j))，

其中：

令Δt=1，Δx=1，a(.)=-0.7+0.3sin2(T(i,j))，b(.)=0.5-cos2(T(i,j))。

考慮以下兩個sin2(T(i,j))規(guī)則，進(jìn)而獲得2-D T-S模糊系統(tǒng)。

規(guī)則1：如果sin2(T(i,j))是0，那么

x(i+1,j+1)=A111x(i,j+1)+A121x(i+1,j)+A1d1x(i-d1(i),j+1)+A1d2x(i+1,j-d2(j))。

規(guī)則2：如果sin2(T(i,j))是1，那么

x(i+1,j+1)=A212x(i,j+1)+A222x(i+1,j)+A2d1x(i-d1(i),j+1)+A2d2x(i+1,j-d2(j))，

其中：

隸屬函數(shù)由下式給出：

此外，為了考慮擾動問題，該過程建模為式(3)的形式:

并且給定參數(shù)t1=0.02，t2=0.05，t3=0.24，t4=0.2，t5=0.02，t6=0.3，則有:

仿真結(jié)果如圖1和圖2所示。由圖1和圖2可知：在初始階段，狀態(tài)曲線有明顯的波動。隨著i和j的增加，狀態(tài)響應(yīng)逐漸趨向于0。這意味著系統(tǒng)(7)具有預(yù)先給定的H∞擾動衰減水平γ=1。

圖1 系統(tǒng)(7)狀態(tài)變量x1(i,j)軌跡 圖2 系統(tǒng)(7)狀態(tài)變量x2(i,j)軌跡

4 結(jié)論

在實(shí)際系統(tǒng)中，時滯是存在的，還會隨著環(huán)境變化，可能會帶來不理想的性能甚至引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以研究時變時滯系統(tǒng)具有重要意義。本文提出了一種含有更多時滯信息的三重求和的LKF，并針對基于FM模型描述的2-D T-S模糊時滯系統(tǒng)，研究了其穩(wěn)定性及H∞控制問題。將理論分析應(yīng)用到熱過程中，通過數(shù)值算例，驗(yàn)證了所得定理的準(zhǔn)確性。此外，本文選取新的 LKF，包含更多的時滯信息，所以得到的結(jié)果也更適用于含有時變時滯的2-D T-S模糊系統(tǒng)，雖然本文研究了2-D T-S模糊時滯系統(tǒng)，但是由于信號通過不同軸突大小和長度的平行路徑傳輸?shù)目臻g特性，分布時滯也在影響著系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，未來將在此方法上進(jìn)行改進(jìn)，研究帶有離散時滯和分布時滯的2-D T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制問題。