徐威，郭麗麗

(沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧沈陽 110870)

0 前言

電液伺服系統(tǒng)因其功率密度大、響應(yīng)速度快等優(yōu)點而在工業(yè)生產(chǎn)和國防軍事中廣泛應(yīng)用。電液伺服系統(tǒng)主要以閥控液壓缸和閥控液壓馬達(dá)為主，其中閥控液壓缸又分為閥控對稱缸和閥控非對稱缸。雖然閥控對稱缸所占的機(jī)械結(jié)構(gòu)空間比非對稱缸大，但因其結(jié)構(gòu)簡單，對于液壓伺服系統(tǒng)的理論研究，仍然具有一定意義。

閥控液壓系統(tǒng)具有高度的非線性，為分析閥控液壓缸系統(tǒng)，必須建立其數(shù)學(xué)模型。但數(shù)學(xué)模型不是孤立的，要和擬采用的控制算法相結(jié)合，因此必須考慮保留哪些主要因素，忽略哪些次要因素。

電液伺服系統(tǒng)之所以被廣泛應(yīng)用，是因為它將閉環(huán)控制策略引入液壓傳動系統(tǒng)，使液壓系統(tǒng)在具備高功率密度比的情況下，又具備了高響應(yīng)速度、靈活性，甚至具有一定程度的人工智能。因而，隨著計算機(jī)和人工智能的發(fā)展，智能液壓伺服系統(tǒng)將有更加廣闊的發(fā)展空間。

傳統(tǒng)液壓伺服系統(tǒng)的控制方案主要采用PID控制方法，隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，又引入了極點配置方法，之后又引入了眾多的非線性控制方法。這些非線性控制方法主要包括反步法、模糊控制、自適應(yīng)控制等。

在構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型和確定了控制算法后，需要對其進(jìn)行驗證，工程上通常采用實驗法和仿真法進(jìn)行驗證。仿真方法由于具有方便性和經(jīng)濟(jì)性，在科學(xué)研究中的應(yīng)用越來越廣泛。在眾多機(jī)電系統(tǒng)，尤其是液壓伺服系統(tǒng)的仿真方法中，基于功率鍵合圖的電液系統(tǒng)仿真方法的應(yīng)用越來越多。

本文作者在參考國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合前人的研究成果，推導(dǎo)閥控對稱缸的非線性微分方程，為控制算法的開發(fā)提供參考。分別論述PID、極點配置和自適應(yīng)反步控制方法在閥控缸系統(tǒng)中的應(yīng)用，對控制效果進(jìn)行對比研究。利用功率鍵合圖方法進(jìn)行仿真實驗對比研究，為控制算法的工程應(yīng)用提供可行性方案。

1 閥控對稱缸系統(tǒng)基本理論

零開口四邊滑閥閥控對稱液壓缸的理論模型如圖1所示。它由四通滑閥和液壓缸組成，是閥控系統(tǒng)中最常見的動力機(jī)構(gòu)。

圖1 閥控對稱缸動力機(jī)構(gòu)理論模型

在文中，僅考慮負(fù)載為質(zhì)量、彈簧和黏性阻尼組成的單自由度系統(tǒng)。

1.1 零開口四邊滑閥流量方程

如圖1所示，假設(shè)閥芯向右移動(>0)，如果圖中所示的節(jié)流邊1-4是匹配和對稱的，則通過節(jié)流邊1、3的流量應(yīng)該相等，即：

=

(1)

式中：代表流過節(jié)流邊的流量。又根據(jù)孔口流量公式:

(2)

式中：為流量系數(shù)；為節(jié)流邊面積梯度;為閥芯位移;為液壓油密度;Δ為節(jié)流邊壓差。結(jié)合公式(1)(2)，并觀察圖1，有:

(3)

其中:

(4)

式中:為系統(tǒng)供油壓力;為液壓缸左腔壓力;為液壓缸右腔壓力。由式(3)可以得到：

+=

(5)

定義負(fù)載為

=-

(6)

聯(lián)立方程(5)(6)，可以解得:

(7)

定義負(fù)載流量為

(8)

則有

(9)

1.2 液壓缸(動力機(jī)構(gòu))動態(tài)特性方程

參考文獻(xiàn)[18]，液壓缸左腔的流量連續(xù)性方程為

(10)

液壓缸右腔的流量連續(xù)性方程為

(11)

式中:=(-)為內(nèi)泄漏流量，而為內(nèi)泄漏系數(shù)。又因為:

(12)

則有

(13)

定義負(fù)載流量為

(14)

結(jié)合公式(10)(11)(13)和(14)，得到:

(15)

式中:==;=;=-,定義為負(fù)載壓力。

最終得到液壓缸(動力機(jī)構(gòu))的動態(tài)特性方程為

(16)

1.3 動力機(jī)構(gòu)力平衡方程

考慮黏性摩擦力和外負(fù)載，有：

(17)

式中:為外負(fù)載；為黏性摩擦系數(shù)；為負(fù)載彈簧剛度。

1.4 伺服閥芯的動態(tài)特性

如果將伺服閥考慮成一階系統(tǒng)，則閥芯的動態(tài)特性表達(dá)式為

(18)

式中：為伺服閥芯的時間常數(shù)；為伺服閥芯的增益；為通入伺服閥芯的電流。

1.5 閥控對稱液壓缸的非線性方程組

系統(tǒng)的動態(tài)方程式為式(9)、(16)—(18)，整理得到非線性方程組為

(19)

(20)

輸出方程為

=

(21)

為方便推導(dǎo)自適應(yīng)控制算法，將式(20)進(jìn)一步整理成嚴(yán)格反饋形式：

(22)

2 PID控制基本理論

將偏差的比例(Proportion)、積分(Integral)和微分(Differential)通過線性組合構(gòu)成控制量，用這一控制量對被控對象進(jìn)行控制，這樣的控制器稱為PID控制器。其中，模擬PID控制器的控制規(guī)律為

(23)

式中:為控制器的比例系數(shù)；為控制器的積分系數(shù)；為控制器的微分系數(shù)。

PID控制器是傳統(tǒng)的控制器，但是由于它采用偏差進(jìn)行控制，因而不需要眾多系統(tǒng)狀態(tài)，并且適應(yīng)線性和非線性系統(tǒng)。

3 閥控對稱缸極點配置控制理論

極點配置算法屬于現(xiàn)代控制理論，不同于PID算法，它要求系統(tǒng)模型是線性化的，所以需要對公式(20)進(jìn)行線性化處理。參考文獻(xiàn)[18]中，滑閥的線性化流量方程為

=-

(24)

則閥控缸系統(tǒng)的線性化方程組為

(25)

狀態(tài)變量定義與第1.5節(jié)相同，則可以得到狀態(tài)空間表達(dá)式為

(26)

系統(tǒng)輸出與式(21)相同。整理成矩陣形式為

(27)

(28)

可以采用極點配置法對這個線性化的系統(tǒng)進(jìn)行校正。

極點配置的方法有很多，狀態(tài)反饋是其中的一種，此時已經(jīng)得到了閥控缸系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式(28)，若其完全能控，則可以通過狀態(tài)反饋式=-，使其閉環(huán)極點位于指定位置。關(guān)于極點配置的具體方法，可參考相關(guān)文獻(xiàn)[18]，文中不再贅述。

4 閥控對稱缸的非線性自適應(yīng)控制

下面研究采用反步法的自適應(yīng)控制。反步法是用遞推的方法，逐步求解出一個非線性控制器，特別適合文中的非線性系統(tǒng)。

反步法第1步，令=1，有：

=-

(29)

對上式求導(dǎo)，有：

(30)

為保證系統(tǒng)收斂，定義如下李雅普諾夫函數(shù)：

(31)

則：

(32)

如果令：

(33)

將式(33)代入式(32)中，則有：

(34)

則系統(tǒng)收斂。

反步法第2步，令=2，則有：

=-

(35)

對上式求導(dǎo)，有:

(36)

令李雅普諾夫函數(shù)為

(37)

則：

(38)

當(dāng)滿足式(39)時，系統(tǒng)收斂。

(39)

反步法第3步，令=3，則有:

=-

(40)

對上式求導(dǎo)，有:

(41)

(42)

則

(43)

令:

(44)

則式(43)變?yōu)?/p>

(45)

當(dāng)滿足式(46)時，系統(tǒng)收斂。

(46)

5 仿真實驗對比研究

仿真是以計算機(jī)和各種物理效應(yīng)設(shè)備為工具，利用數(shù)學(xué)模型或部分實物對實際的或設(shè)想的系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)研究的一門綜合性技術(shù)。借助仿真工具(包括仿真理論和工具軟件)，可以對各種復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計。近年來隨著計算機(jī)技術(shù)和仿真理論的發(fā)展，仿真技術(shù)在工程實際中發(fā)揮著越來越重要的作用，這其中尤其以功率鍵合圖最具有代表性。功率鍵合圖是描述系統(tǒng)功率流的傳輸、轉(zhuǎn)化、貯存和耗散的圖形表示，用于表示系統(tǒng)中的功率流程。其作用是把這種功率流程的分析用圖形表達(dá)出來，并采用統(tǒng)一的標(biāo)記方法構(gòu)造各類物理系統(tǒng)模型。

功率鍵合圖的優(yōu)點是其模塊化的結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)自身各部分的物理結(jié)構(gòu)及各動態(tài)影響因素之間具有直觀、形象和一一對應(yīng)的關(guān)系，特別適合用于機(jī)電系統(tǒng)的動態(tài)仿真。本文作者利用功率鍵合圖建立閥控缸的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行各種仿真算法的對比。

5.1 系統(tǒng)仿真的基本參數(shù)

在系統(tǒng)仿真中，參數(shù)是很重要的，它決定了仿真可以信賴的程度。在文中，閥控對稱缸系統(tǒng)仿真中所采用的基本參數(shù)如表1所示。

表1 閥控缸系統(tǒng)基本參數(shù)

5.2 功率鍵合圖描述的閥控對稱缸仿真模型

圖2所示為閥控缸系統(tǒng)自適應(yīng)控制的功率鍵合圖仿真模型，該模型在功率鍵合圖建模仿真軟件20-SIM中完成。系統(tǒng)從左至右分別對應(yīng)信號生成模型、自適應(yīng)控制算法模型、伺服閥芯動態(tài)特性模型、伺服閥節(jié)流口鍵合圖模型、液壓缸鍵合圖模型、負(fù)載鍵合圖模型和繪圖元件等。其中,最重要的是節(jié)流口仿真模型和液壓缸模型。

圖2 閥控對稱缸非線性自適應(yīng)控制功率鍵合圖仿真模型

文中共進(jìn)行了閥控對稱缸的PID控制、極點配置控制和非線性自適應(yīng)控制3種控制方式的仿真，下面對其仿真結(jié)果分別進(jìn)行介紹。

所針對的控制模型，都是利用功率鍵合圖理論建立閥控對稱缸的非線性仿真模型，一方面保證對比仿真實驗的一致性，另一方面更加接近真實的閥控缸系統(tǒng)，更能真實驗證各種控制算法的控制效果。

5.3 PID控制仿真實驗

PID控制最主要的控制器參數(shù)是比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)，PID控制器只有在參數(shù)得到良好整定的前提下才能達(dá)到令人滿意的控制效果。但最常用的參數(shù)整定方法，仍然是根據(jù)經(jīng)驗確定各參數(shù)，通常需要根據(jù)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)決定控制器的主要參數(shù)，因此系統(tǒng)仿真顯得尤為重要。經(jīng)過仿真，表2所示為某次經(jīng)過整定后的PID控制器參數(shù)。

表2 PID控制器參數(shù)

使用表2中參數(shù)設(shè)置控制器，得到輸入單位階躍信號時，在PID控制算法作用下閥控對稱缸系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，如圖3所示。

圖3 PID控制階躍響應(yīng)曲線

5.4 極點配置控制仿真

在極點配置理論中，主要是通過反饋系統(tǒng)的狀態(tài)變量，獲得對系統(tǒng)性能指標(biāo)的控制。要應(yīng)用極點配置，首先要指定期望的極點。極點的指定帶有一定的經(jīng)驗成分，在文中，系統(tǒng)的期望極點如下：-1+20j、-1-20j、-10、-5。應(yīng)用第3節(jié)的極點配置算法，得到表3所示的極點配置控制器參數(shù)。

表3 極點配置控制器參數(shù)

應(yīng)用該控制器參數(shù)，對閥控對稱缸系統(tǒng)輸入階躍信號，仿真結(jié)果如圖4所示。對比圖3可以發(fā)現(xiàn):與傳統(tǒng)PID控制相比，極點配置算法更容易獲得更小的超調(diào)量。

圖4 極點配置階躍響應(yīng)曲線

5.5 非線性自適應(yīng)控制仿真

為比較先進(jìn)控制器的控制效果，應(yīng)用第4節(jié)的自適應(yīng)反步法設(shè)計非線性控制器。該控制器的參數(shù)如表4所示。

表4 自適應(yīng)控制器參數(shù)

當(dāng)應(yīng)用自適應(yīng)非線性控制器時，對閥控對稱缸系統(tǒng)輸入階躍響應(yīng)，其仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 自適應(yīng)控制階躍輸入信號和響應(yīng)曲線

對比圖3—圖5可知：自適應(yīng)控制的階躍響應(yīng)曲線比PID控制極點配置的階躍響應(yīng)曲線超調(diào)量更小，顯示出了更加優(yōu)越的控制效果。

圖6所示為在階躍信號作用下，系統(tǒng)參數(shù)隨時間的變化。由于在階躍信號下，參數(shù)的自適應(yīng)過程極其迅速，曲線變化不是十分明顯。

圖6 階躍信號作用下自適應(yīng)控制器參數(shù)自適應(yīng)過程

對系統(tǒng)輸入正弦信號，以更好地體現(xiàn)自適應(yīng)控制算法參數(shù)動態(tài)變化。

圖7所示為對閥控對稱缸系統(tǒng)輸入正弦信號后，系統(tǒng)的輸出位移響應(yīng)。為保證系統(tǒng)參數(shù)有足夠的自適應(yīng)調(diào)整過程，仿真時間設(shè)定為40 s。

圖7 正弦輸入信號和響應(yīng)曲線

圖8所示為系統(tǒng)在正弦輸入信號作用下，參數(shù)的自適應(yīng)過程?？梢钥闯觯洪y控對稱缸的未知參數(shù)在自適應(yīng)算法的作用下，逐漸趨向一個穩(wěn)定的常量。這樣，當(dāng)系統(tǒng)中某些參數(shù)未知時，可以利用自適應(yīng)控制算法彌補(bǔ)未知系統(tǒng)參數(shù)所帶來的控制不準(zhǔn)確性。對比PID控制、極點配置控制和自適應(yīng)控制算法，自適應(yīng)控制算法最適合工程應(yīng)用。

圖8 正弦信號作用下自適應(yīng)控制器參數(shù)自適應(yīng)過程

6 結(jié)論

(1)本文作者推導(dǎo)了閥控對稱缸的理論模型，得到了描述其動態(tài)特性的非線性方程組，所推導(dǎo)的模型具有廣泛的適應(yīng)性；

(2)針對閥控缸高度的非線性特性，設(shè)計了PID控制器、極點配置控制器和基于反步法的自適應(yīng)控制器，尤其考慮了系統(tǒng)參數(shù)的未知因素，重點推導(dǎo)了基于反步法的非線性自適應(yīng)控制器，對非線性系統(tǒng)控制器的設(shè)計有積極意義；

(3)建立了閥控對稱缸的功率鍵合圖模型，并以它為對象，分別用PID控制器、極點配置控制器和自適應(yīng)控制器對該模型進(jìn)行了仿真分析。結(jié)果表明：PID控制器適應(yīng)范圍較廣，無論模型是線性還是非線性系統(tǒng)，都可以進(jìn)行控制，但是由于PID控制器的3個控制參數(shù)互相作用，較難獲得優(yōu)良的控制效果；極點配置控制器只能對線性化的系統(tǒng)進(jìn)行控制，但其控制效果優(yōu)于PID控制器；自適應(yīng)控制器的控制效果和參數(shù)的自適應(yīng)性最好，是3種控制器中最理想的非線性控制器。