羅銳，關開中

（五邑大學 數(shù)學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

近幾十年來，有限時間穩(wěn)定性理論和應用引起了人們的廣泛關注[1-3]. 一般地說，系統(tǒng)被稱為是有限時間穩(wěn)定的，指的是對于初始條件的給定界，系統(tǒng)的狀態(tài)在指定的有限時間區(qū)間內不超過某個給定的范圍[2-3]. 因此，研究系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性問題，其本質上是研究系統(tǒng)的解在給定的有限時間區(qū)間內的有界性問題. 此外，在某些實際工程領域中，人們不僅希望系統(tǒng)的狀態(tài)在某一指定的有限時間內不超過給定的范圍，而且在達到終點時間之前其狀態(tài)還能小于所給定的初始值的界限，也就是，系統(tǒng)的解同時具有“有界性”和“壓縮性”的特點. 為此，文獻[4]提出了有限時間壓縮穩(wěn)定的概念，其后也引起了研究者的關注[3,5].

時滯不可避免地存在于實際系統(tǒng)中，是導致系統(tǒng)性能變差，甚至不穩(wěn)定的原因之一[6]. 因此，研究時滯系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性和有限時間壓縮穩(wěn)定性具有重要的意義. 一般來說，時滯可分為有界時滯和無界時滯兩類. 研究表明，有界時滯系統(tǒng)和無界時滯系統(tǒng)在動力學行為方面，存在著顯著的差異. 特別是，由于時滯的無界性和可變性，對無界時變時滯系統(tǒng)的動力學的研究則顯得更為困難[7]. 值得注意的是，比例時滯作為一類重要的無界變時滯類型常用來描述電動力學、神經網絡和非線性動力系統(tǒng)等領域的許多問題[2,8]. 近年來，對比例時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性等動力學的研究已引起研究者的廣泛關注并取得了較為豐富的結果[1-3,9-10]. 然而，已有文獻大多是關于比例時滯系統(tǒng)的長時間的穩(wěn)定性，即Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，而對比例時滯系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性的研究則不多[2]. Hien等[2]利用M-矩陣理論和分析技巧，研究了一類較為特殊形式的比例時滯神經網絡的有限時間穩(wěn)定性問題，但作者并沒有研究此類系統(tǒng)的有限時間壓縮穩(wěn)定性. 最近，文獻[3]建立了一類具有常時滯的微分系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定和有限時間壓縮穩(wěn)定的Lyapunov型條件.

基于上述考慮，特別受文獻[2-3]的啟發(fā)，本文將研究比例時滯系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定和有限時間壓縮穩(wěn)定問題. 我們將發(fā)展Lyapunov-Razumikhin方法，來建立較一般形式的比例時滯系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定和壓縮穩(wěn)定的條件，作為該條件的應用，也獲得了一類具有比例時滯的神經網絡有限時間穩(wěn)定和有限時間壓縮穩(wěn)定的條件. 最后，通過一個數(shù)值例子來說明所獲得的理論結果的合理性.

1 模型與預備知識

設R為實數(shù)集，R+為非負實數(shù)集，Rm表示具有范數(shù)的m維實線性賦范空間. 記C （ R+， R+）=｛ψ： R+→R+是連 續(xù)的｝ ，K= {a（·）∈ C （ R+， R+）：a（0 ） =0，a（s）關于s是嚴格遞增的}，sgn(y)為關于y的符號函數(shù).

考慮以下一般形式的比例時滯系統(tǒng)

這里q∈（0,1） ,x0= (x1,…,xm)T∈Rm,x（t） = (x1（t） ,…,xm（t）)T∈Rm,f∈C (R+×Rm, Rm)，且對任意的t∈R+，有f（t,0 ）=0.

定義1[11]給定3個正數(shù)T,c1,c2，且c1＜c2. 若當x（0） ＜c1時，總有x（t） ＜c2, ?t∈[0,T]，則稱系統(tǒng)（1）關于（c1,c2,T）是有限時間穩(wěn)定的.

定義2[3]給定5個正數(shù)T,c1,c2,η,σ,且η＜c1＜c2,σ∈ （ 0,T）. 若當時，有?t∈ ［0,T］，且則稱系統(tǒng)（1）關于（c1,c2,η,σ,T）是有限時間壓縮穩(wěn)定的.

注1：從定義2可以看出，系統(tǒng)是有限時間壓縮穩(wěn)定的，不僅要求系統(tǒng)狀態(tài)在指定時間內不超過一定的閾值，同時要求系統(tǒng)在運行至終止時間之前，其狀態(tài)小于初值的界. 因此，有限時間壓縮穩(wěn)定強于有限時間穩(wěn)定.

2 主要結果

定理1給定5個正數(shù)T,c1,c2,η,σ,且η＜c1＜c2,σ∈ （0,T）. 若存在可積函數(shù)Γ（·）：R+→R，函數(shù)ω1,ω2∈K，以及連續(xù)函數(shù)V：［0 ,T］× Rm→R+，使得

則系統(tǒng)（1）關于（c1,c2,T）是有限時間穩(wěn)定的.

此外，若還有

則系統(tǒng)（1）關于（c1,c2,η,σ,T）是有限時間壓縮穩(wěn)定的.

證明設x（t） =x（t,x（0））是系統(tǒng)（1）的解，并記

下面證明

令

其中?為任意小的正數(shù).

為證明（3），我們只需證明Ω?（t） ≤V0, ?t∈［0,T］. 若結論不成立，并注意到Ω?（0 ） =V（0） =V0，則存在t*∈（0,T］，使得進一步，由Ω?（t）的定義可得：

由此可以得到：

即

這表明

另外，如果式（2）成立，則根據(jù)式（4）（除最后一步外），可得

這表明，對于任意的t∈［T-σ,T］，有根據(jù)定義2，系統(tǒng)（1）關于（c1,c2,η,σ,T）是有限時間壓縮穩(wěn)定的. 證明完畢.

其次，考慮以下的比例時滯神經網絡：

其中n為正數(shù)，q∈ （0,1）,xi（t）是關于i的狀態(tài)向量，和（t）是連接權矩陣，d i（t）是自抑項，是xi（t）在t=0時的初值，f j,gj是激活函數(shù)且滿足

其中l(wèi)i,ki是非負常數(shù)，i= 1,2,…,m.

推論1給定5個正數(shù)T,c1,c2,η,σ,且η＜c1＜c2,σ∈ （ 0,T）. 如果存在函數(shù)Γ（·） ∈C （［0,T］ , R）,使得

證明設x（t）是系統(tǒng)（6）的解，令根據(jù)定理1，Razumikhin條件可寫于是

取ω1（s） =ω2（s）=s，則根據(jù)定理1，可知推論1成立.

注2：定理1建立了比例時滯微分系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性和有限時間壓縮穩(wěn)定性的條件，與文獻[3]所討論的有界時滯不同，本文所討論的比例時滯是一類無界變時滯. 另外，文獻[2]研究了一類具有多比例時滯的神經網絡的有限時間穩(wěn)定性，但并沒有考慮有限時間壓縮穩(wěn)定性問題，因此，本文的推論1在一定程度上補充了文獻[2]的相應結果.

3 數(shù)值算例

在本節(jié)中，我們將給出一個數(shù)值例子來說明所得結果的有效性和合理性.

例1考慮下面具有比例時滯的非自治二維神經網絡：

給 定c1= 0.91,c2= 1.6,η= 0.86,T= 10,σ=1.8以及Γ（t） =0.3cos30.5t+ 0.04. 取li=ki=1，經計算得，e1（t） = 0.59 + 0.05cos （0.5t），e2（t）=cos1.5（0.5t）+0.6，容易驗證推論2中的所有條件滿足，因此系統(tǒng)（8）關于(0.91,1.6,0.86,1.8,10)是有限時間壓縮穩(wěn)定的. 對于給定的初值x（0） = (0.5， -0.4)T，其數(shù)值仿真結果如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)（8）具有初值x （0） = (0.5, -0.4)T的狀態(tài)軌跡