黃興奎

（荊楚理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門 448000）

0 引言

泡利矩陣是量子力學(xué)中的重要矩陣，目前所見文獻(xiàn)主要討論它的各種導(dǎo)出方法、在不同表象中的表示、解析量子力學(xué)中的典型計(jì)算問題等等。實(shí)際上，泡利矩陣是在討論電子自旋時(shí)引入的，不僅對(duì)于研究自旋問題、處理相對(duì)論性的狄拉克方程時(shí)非常方便，而且在量子信息、量子光學(xué)等新興學(xué)科中也有重要應(yīng)用，可以從邏輯上實(shí)現(xiàn)量子非門X、量子位相門P（θ）、Hadamard門H，利用合適的脈沖就能從物理上實(shí)現(xiàn)上述量子門，從而為量子計(jì)算奠定必要的基礎(chǔ)。因此，討論泡利矩陣的性質(zhì)，在量子力學(xué)理論中的基礎(chǔ)作用，以及在量子信息中的應(yīng)用，有助于加深對(duì)于泡利矩陣的理解。

1 泡利矩陣的基本形式

2 泡利矩陣的基本性質(zhì)

為了后面討論問題的方便，簡單介紹一下泡利矩陣的基本性質(zhì)。

（1）不對(duì)易性

（2）反對(duì)易性

（3）自逆性

（4）零跡性

3 泡利矩陣在量子力學(xué)理論中的應(yīng)用

3.1 展開任意厄米算符

3.2 研究電子或其它粒子的自旋問題

3.3 處理相對(duì)論性的狄拉克方程

薛定諤方程只適用于低能或非相對(duì)論的情況。研究高速運(yùn)動(dòng)的高能粒子，必須同時(shí)考慮狹義相對(duì)論和洛倫茲不變性。由于薛定諤方程對(duì)時(shí)間和空間的導(dǎo)數(shù)分別是一階和二階的，因此不是洛倫茲不變的。自旋是電子內(nèi)稟的屬性，在非相對(duì)論情形下，泡利方程將自旋作為一種新的自由度添加到薛定諤方程上處理。在相對(duì)論情形下，狄拉克方程將自旋這個(gè)內(nèi)稟自由度很自然地體現(xiàn)在該方程的旋量結(jié)構(gòu)上，不僅如此，自旋與軌道耦合，自旋與自旋的耦合都可以包含在方程之中，而這一切，都離不開泡利算符的正確應(yīng)用。

對(duì)定態(tài)問題，

4 泡利矩陣在量子計(jì)算中的應(yīng)用

量子邏輯門將輸入量子態(tài)變換成輸出量子態(tài)，單量子比特邏輯門是實(shí)現(xiàn)量子邏輯操作的基礎(chǔ)。常見的單量子比特門有量子非門X、量子位相門P（θ）、Hadamard門H。下面討論如何利用泡利矩陣實(shí)現(xiàn)這幾個(gè)門的邏輯功能，并簡單介紹其物理實(shí)現(xiàn)方法。

4.1 量子非門X

量子非門X的功能：將原子狀態(tài)由上能態(tài)|1〉變換成下能態(tài)|0〉或由下能態(tài)|0〉變換成上能態(tài)|1〉，即X|1〉=|0〉，X|0〉=|1〉，由于

4.2 量子位相門P（θ）

量子位相門P（θ）的功能：P（θ）|0〉=|0〉，P（θ）|1〉=e|1〉。

4.3 Hadamard門H

初始時(shí)處于上能態(tài)|ψ（0）〉=|1〉，則t時(shí)刻原子的量子態(tài)為：

為討論方便取φ=0，則

類似地，可以討論原子初始處于下能態(tài)|ψ（0）〉=|0〉的情況，這些結(jié)果在量子邏輯門的實(shí)現(xiàn)中均有重要的應(yīng)用。

5 結(jié)論