■文/吳錦文

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模的地位毋庸置疑，數(shù)十年前，包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的基礎(chǔ)教育學(xué)科曾經(jīng)興起過(guò)一股建模研究的熱潮，而數(shù)學(xué)建模在這一熱潮當(dāng)中就起著引領(lǐng)潮頭的作用。關(guān)于數(shù)學(xué)建模，也有人做出這樣的呼吁：為適應(yīng)二十一世紀(jì)數(shù)學(xué)課程改革中加強(qiáng)應(yīng)用性、創(chuàng)新性，重視聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際和社會(huì)實(shí)踐的要求，教師要開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用的實(shí)踐研究，這樣才可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力和應(yīng)用能力。當(dāng)前，數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用日益突出，已經(jīng)公布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在界定數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的時(shí)候，六要素當(dāng)中數(shù)學(xué)建模位列第三，起著承上啟下的作用，由此再次彰顯了數(shù)學(xué)建模的重要性。

從教學(xué)關(guān)系的角度來(lái)看，教學(xué)意味著教師的教和學(xué)生的學(xué)，教師研究數(shù)學(xué)建模，體現(xiàn)著對(duì)數(shù)學(xué)建模的重視，同時(shí)也意味著數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)可以成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一條主要脈絡(luò)。對(duì)于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)建模不應(yīng)是一個(gè)空洞的概念，學(xué)生所要獲得的不是對(duì)數(shù)學(xué)建模這個(gè)概念的知曉，而是自身數(shù)學(xué)建模能力的養(yǎng)成。對(duì)于教師而言，在核心素養(yǎng)的背景之下，探究培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的思路，應(yīng)是當(dāng)前教育研究的一個(gè)重要命題?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，筆者一方面梳理了自己的教學(xué)實(shí)踐，尤其是與數(shù)學(xué)建模的相關(guān)實(shí)踐，同時(shí)研究高中生在數(shù)學(xué)建模中表現(xiàn)出來(lái)的認(rèn)知特點(diǎn)，以期尋找到一條有效的數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)路徑。

一、數(shù)學(xué)建模能力是高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)

首先必須認(rèn)識(shí)到的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)建模能力是體現(xiàn)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)的關(guān)鍵要素。這樣的認(rèn)識(shí)對(duì)于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)而言是一個(gè)挑戰(zhàn)，因?yàn)閼?yīng)試形態(tài)之下，教師關(guān)注的往往是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答習(xí)題的水平。如果教師只是滿足這樣的認(rèn)識(shí)，一個(gè)顯而易見(jiàn)的后果就是容易讓高中數(shù)學(xué)教學(xué)落入應(yīng)試教育的窠臼，這是核心素養(yǎng)背景下所不能認(rèn)同的。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)建模之間的關(guān)系是非常明顯的，后者是前者的組成要素之一，由于數(shù)學(xué)建模具有高度的概括性，所以相對(duì)于其他的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素而言，數(shù)學(xué)建模更加重要。由此筆者做出一個(gè)判斷，那就是學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是他們自身數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。對(duì)于這一判斷，我們還可以有兩點(diǎn)理解：一是數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素，而且還是一種學(xué)習(xí)方式。在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生有充裕的自主學(xué)習(xí)空間，這可以讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)在問(wèn)題解決中的作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，是學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)乃至其他知識(shí)的過(guò)程，因此學(xué)生的數(shù)學(xué)建模水平，實(shí)際上就是學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的充分體現(xiàn)，自然也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。從這個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，可以讓教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的同時(shí)，更好地以建模能力作為學(xué)生學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的指標(biāo)。二是數(shù)學(xué)建模能力是一種綜合能力，根據(jù)有關(guān)課程專家的研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模能力是由閱讀能力、推理能力、計(jì)算能力組成的，在學(xué)生運(yùn)用這些能力的過(guò)程中，還涉及學(xué)生的自我監(jiān)控能力。從這樣的界定來(lái)看，說(shuō)數(shù)學(xué)建模能力反映著學(xué)生的核心素養(yǎng)水平，是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

從已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，當(dāng)前高中生的數(shù)學(xué)建模能力普遍是比較缺失的，即使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，也只是在閱讀能力、推理能力、計(jì)算能力、自我監(jiān)控能力中的某一個(gè)方面表現(xiàn)較好，綜合能力較強(qiáng)的比較罕見(jiàn)。在核心素養(yǎng)的背景之下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力也就顯得尤為迫切。

二、核心素養(yǎng)背景下高中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的思考

在核心素養(yǎng)的背景下，要想有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，首先要知道影響數(shù)學(xué)建模能力的要素有哪些。研究表明，影響學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的四個(gè)因素是動(dòng)機(jī)態(tài)度、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知過(guò)程、元認(rèn)知。相應(yīng)的，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略就可以總結(jié)為：拓展最近發(fā)展區(qū)，強(qiáng)化問(wèn)題意識(shí)，建構(gòu)思維模式，調(diào)用監(jiān)控系統(tǒng)等。在筆者看來(lái)，這是一種宏觀認(rèn)識(shí)——宏觀認(rèn)識(shí)的好處是對(duì)不同知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)都具有一定的普適性，不足之處在于需要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行重新構(gòu)思。

以“函數(shù)的概念”為例，這一知識(shí)點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的作用不言而喻，如何從數(shù)學(xué)建模的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的教學(xué)，并在此過(guò)程中有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，是教學(xué)設(shè)計(jì)與組織的重點(diǎn)。對(duì)此，筆者進(jìn)行兩個(gè)環(huán)節(jié)的重點(diǎn)設(shè)計(jì)：一是基于實(shí)例的分析，讓學(xué)生通過(guò)分析與總結(jié)得出對(duì)函數(shù)的初步認(rèn)識(shí)。此處向?qū)W生提供的實(shí)例，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生比較熟悉的素材，這個(gè)素材可以來(lái)源于學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，也可以來(lái)源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。比如，自由落體運(yùn)動(dòng)當(dāng)中，物體下落的高度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系。又比如，圓的面積與圓的半徑的關(guān)系。這些實(shí)例相對(duì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生的思維加工難度也不大。為了促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)的形成，教師可以采取變式的思路，用生活意味更濃、函數(shù)關(guān)系更隱秘的一些例子來(lái)深化學(xué)生對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)。例如，站在國(guó)民經(jīng)濟(jì)的角度，選擇國(guó)際上通行的恩格爾系數(shù)相關(guān)的數(shù)據(jù)，如下表：

在這個(gè)表中呈現(xiàn)的是城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系相對(duì)于學(xué)生已經(jīng)知道的函數(shù)而言并不那么明顯，但是由于已經(jīng)有了前面兩個(gè)函數(shù)關(guān)系作為鋪墊，學(xué)生在研究這個(gè)例子的時(shí)候，反而容易帶著尋找函數(shù)關(guān)系的意識(shí)來(lái)研究這張表格。如此通過(guò)簡(jiǎn)單例子與復(fù)雜生活例子相結(jié)合的方式，可以讓學(xué)生對(duì)函數(shù)形成初步認(rèn)識(shí)。二是在上一步當(dāng)中，學(xué)生對(duì)函數(shù)形成的初步認(rèn)識(shí)，更多的是以一種潛意識(shí)方式存在于學(xué)生的思維當(dāng)中的。從數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)的角度來(lái)看，學(xué)生積累的這些認(rèn)識(shí)奠定了數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，但還要借助具體的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，而這個(gè)過(guò)程也正是數(shù)學(xué)建模能力得以培養(yǎng)的過(guò)程。在這個(gè)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)設(shè)計(jì)讓學(xué)生將此前形成的已有認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為顯性認(rèn)識(shí)，然后再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái)。在具體的教學(xué)過(guò)程中，已有認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為顯性認(rèn)識(shí)可以這樣進(jìn)行引導(dǎo)：如果用前面兩個(gè)例子來(lái)分析恩格爾系數(shù)這個(gè)實(shí)例，你能有什么樣的發(fā)現(xiàn)？學(xué)生通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)例子當(dāng)中很難得到一個(gè)明確的恩格爾系數(shù)隨著時(shí)間的變化而變化的關(guān)系，有一點(diǎn)可以肯定，那就是每年的城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)都有一個(gè)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)值。在教學(xué)的過(guò)程中，教師要抓住“對(duì)應(yīng)”這個(gè)關(guān)鍵詞，并在此基礎(chǔ)上演繹“唯一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系，如此函數(shù)關(guān)系也就更加清晰了。

其后運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述分析、歸納結(jié)論時(shí)，重在體現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確性。這里不妨再梳理一下通常情況下對(duì)函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)……

分析這段數(shù)學(xué)語(yǔ)言的時(shí)候，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照上面的實(shí)際例子，去判斷何為集合A，何為集合B，重點(diǎn)要判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系f，事實(shí)證明，只要把這個(gè)關(guān)系梳理清楚，學(xué)生就可以將函數(shù)的定義與前面所舉的例子進(jìn)行完美對(duì)照，從而也就促進(jìn)了函數(shù)概念或者函數(shù)模型的建立。從數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的角度來(lái)看，在上面的教學(xué)案例當(dāng)中，從例子的列舉，到分析與綜合，到對(duì)應(yīng)關(guān)系的梳理，再到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用，就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的典型過(guò)程，在這樣的過(guò)程當(dāng)中，遵循相應(yīng)的思路模式，數(shù)學(xué)建模能力就可以得到切實(shí)有效的培養(yǎng)。

三、高中生數(shù)學(xué)建模能力形成過(guò)程中的心理機(jī)制分析

一般認(rèn)為，除了數(shù)學(xué)概念與規(guī)律的建構(gòu)，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，數(shù)學(xué)建模能力也可以得到相應(yīng)培養(yǎng)。這是因?yàn)閷W(xué)生在面對(duì)實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先需要根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，然后通過(guò)思考選擇需要的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。但需要注意的是，問(wèn)題解決過(guò)程中的模型建構(gòu)，與新知教學(xué)中的模型建構(gòu)略有不同，當(dāng)學(xué)生面臨問(wèn)題解決的時(shí)候，數(shù)學(xué)建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)是將題目中的信息與大腦中的已有知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，如此才能尋找到數(shù)學(xué)建模的方向。其實(shí)分析到這一點(diǎn)，我們就應(yīng)當(dāng)意識(shí)到，無(wú)論是什么情況下的建模，從能力培養(yǎng)的角度出發(fā)，關(guān)鍵還是要掌握數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的心理機(jī)制。

就筆者的研究而言，高中生在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，重要的心理活動(dòng)往往有這樣幾個(gè)：一是對(duì)素材的分析，二是對(duì)關(guān)系的推理，三是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的組織（認(rèn)知心理學(xué)中的“精加工”）。只有當(dāng)學(xué)生在“精加工”的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)邏輯關(guān)系時(shí)，數(shù)學(xué)模型才有可能被成功地建立，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)也才有可能真正變成現(xiàn)實(shí)。

從核心素養(yǎng)培育的角度來(lái)看，無(wú)論是數(shù)學(xué)素材還是生活素材，都是需要進(jìn)行思維加工的，這個(gè)過(guò)程當(dāng)中有數(shù)學(xué)抽象的成分，也有邏輯推理的成分，這些都是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的體現(xiàn)。總體來(lái)說(shuō)，在核心素養(yǎng)的背景之下，培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模能力，意義既在于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力，同時(shí)又在于彰顯核心素養(yǎng)的價(jià)值。