胡樂海， 鄧年春,2

(1.廣西大學 土木建筑工程學院，廣西 南寧 530004；2.廣西防災減災與工程安全重點實驗室，廣西 南寧 530004)

拱橋是使用較廣泛的一種橋型，具有多方面的優(yōu)勢[1]。吊桿作為系桿拱橋的關鍵受力構件，其受力狀態(tài)對結構的施工、運營及維護都至關重要?，F(xiàn)有的索力測試方法主要有：壓力表測試法、測力傳感器法、磁通量檢測法、振動頻率法等[2]。振動頻率法索力測試可以用于施工階段和運營階段，其操作簡單，費用較低和設備可重復利用的優(yōu)點使得該方法成為索力測試的首選方案。通過在索上安裝振動傳感器，采集振動信號，得到自振頻率，并通過索力與自振頻率的關系式即可得到索力。

然而，頻率法索力測試需要考慮眾多影響因素，如邊界條件、抗彎剛度、計算長度等。吊桿實際邊界介于鉸支與固支之間，且更接近于固支邊界[3]。吊桿鋼絲介于松散與黏結2種狀態(tài)之間，導致抗彎剛度難以確定[4]。孫永明等[5]分析邊界條件對拉索索力測試的影響，提出了修正索力計算公式。Zui et al[6]引入多個無量綱參數(shù)簡化索力方程，提出拉索兩端固結時利用前兩階固有頻率計算的實用公式。蘇成等[7]通過研究抗彎剛度對索力測試的影響，提出了利用多階頻率識別拉索抗彎剛度的方法。朱衛(wèi)國等[8]分析影響頻率法索力測試的多種因素，得出合理確定有效計算長度可以保證測試的精度。Yan et al[9]將復雜邊界下的拉索等效成一個分段模型，通過求零振幅點確定其長度，索力結果誤差小于5%。于孟生等[10]分析了附加均布質量和集中質量塊對索力的影響，結果表明在拉索中部改變質量對頻率影響較大。頻率法測試索力的影響因素復雜且難以精準確定，運用等效簡化的思想，利用附加質量識別出吊桿的有效長度，從而得到索力表達式。此方法計算簡便，精度較高，具有實際工程應用價值。

1 振動頻率法基本理論

拉索的橫向振動微分方程為

(1)

式中,EI為拉索的抗彎剛度；y(x,y)為y方向的振幅；T為拉索軸向張力；m為拉索的線密度。

采用分離變量法，令

y(x,t)=Y(x)Z(t)

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

求解式(3)得

Y(x)=C1sin(Ax)+C2cos(Ax)+C3eBx+C4e-Bx

(4)

當兩端為鉸支邊界時,Y(0)=Y(l)=0，Y″(0)=Y″(l)=0

(5)

式中,n為固有頻率的階數(shù)；fn為第n階固有頻率。若不考慮拉索的抗彎剛度，則拉索為張弦振動，其計算公式為

(6)

當兩端為固結邊界時，Y(0)=Y(l)=0，Y′(0)=Y′(l)=0

(A2-B2)sin(Al)sin(Bl)+2ABcos(Al)cosh(Bl)-2AB=0

(7)

當拉索較長時，幾何剛度明顯大于物理剛度，可以采用張弦振動理論公式。然而，對于索力較小，或者較粗短的索，物理剛度往往不能忽略[11]。此時，拉索由于考慮了抗彎剛度，從而在不同邊界條件下會產生不同的振動特性。基于梁理論的振動方程，在兩端鉸支邊界時有解析解，但是當邊界條件為其他復雜邊界時，索力公式沒有顯示表達式，而只能通過數(shù)值迭代求解，往往只能得到經驗公式。

2 附加質量法理論公式推導

基于上述理論，在吊桿上附加集中質量，計算簡圖見圖1。

圖1 吊桿附加集中質量計算簡圖

附加質量吊桿的振動微分方程為

(8)

將y(x,t)表示為振型的級數(shù)形式

(9)

將式(9)代入式(8)得

(10)

兩邊同時乘以Yk(x)并在0到l上積分，利用振型的正交性[12]得

(11)

式(11)簡寫成

(12)

可見，拉索的固有頻率ωn與外界激擾力無關，反映結構本身固有的動力特性。

假定附加質量后吊桿的振型仍為正弦函數(shù)形式，令

(13)

將式(13)代入式(12)得

(14)

取i= 1得

(15)

簡支梁的振型函數(shù)為

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(17) ～ 式(19)及ωn=2πfn得

(20)

式(20)為推導的索力計算公式。將吊桿實際固有振型等效成兩端鉸支邊界的固有振型，從而識別出吊桿的等效索長。利用頻差法消除抗彎剛度得到基于前兩階振動頻率的索力公式，結合等效索長即可計算出索力值。

3 數(shù)值模擬驗證

3.1 一般邊界，不同索長

吊桿的實際邊界可簡化為兩端轉動約束加彈性支撐，兩者剛度分別取為1×106N·m/rad和1×1012N/m，設計索力為3 787 kN。索力計算結果如表1所示。

表1 兩端一般邊界不同長度吊桿數(shù)值模擬結果

從表1可以看出，在不同長度時本文公式的索力誤差均小于規(guī)范公式的誤差，且最大誤差不超過2%，具有較高的精度。小于20 m的吊桿采用規(guī)范方法時誤差大于5%，可見規(guī)范公式不太適用于一般邊界條件下的短吊桿索力測試。對于長度為5 m的短吊桿，本文公式誤差為0.56%，仍可以準確識別其索力值。附加質量后長度為5 m的吊桿頻率降低了1.528 Hz，而長度為50 m的吊桿頻率降低了0.015 Hz，說明短吊桿相比長吊桿對附加質量更為敏感。

3.2 固結邊界，不同索力

由于吊桿的邊界條件接近于固結[3]，以下數(shù)值模擬將對吊桿兩端邊界施加固定約束。在固結邊界條件下，長度為10 m的吊桿在不同設計索力時，利用本文公式與規(guī)范公式得出索力值，計算結果如表2所示。

表2 兩端固結邊界不同索力吊桿數(shù)值模擬結果

從表2可以看出，在不同索力時本文公式的索力誤差均小于規(guī)范公式的誤差，且最大誤差小于1.5%，相比規(guī)范公式總誤差減小了1.07%，說明本文公式可應用于不同設計索力下的吊桿索力測試且具有較高精度。由以上可以得出，本文公式對于一般邊界和固結邊界下的索力測試均具有較好的適用性，且計算結果的準確性較高。對于長度為10 m，設計索力3 787 kN的吊桿，在不同邊界下基頻相差0.634 Hz，因此采用傳統(tǒng)頻率法進行索力測試時，短吊桿受邊界條件的影響較大。

3.3 固結邊界，不同截面

在固結邊界條件下，長度為10 m的吊桿改變不同截面形式，中間位置綁定質量為5 kg。吊桿的設計索力按照規(guī)范取值，不同截面的鋼絲數(shù)量為n，索力計算結果如表3所示。

表3 兩端固結邊界不同截面吊桿數(shù)值模擬結果

從表3可以看出，在不同截面時本文公式的索力誤差均小于規(guī)范公式的誤差，且最大誤差小于3%，相比規(guī)范公式總誤差減小了4.93%，滿足工程精度要求。不同截面的吊桿附加相同的質量所得的計算結果有所差異，鋼絲數(shù)為61的吊桿索力誤差為2.59%，鋼絲數(shù)為151的吊桿索力誤差為0.45%。截面較小的吊桿，因其剛度較小，從而固有振型更易受到附加質量的影響，導致索力計算誤差比截面較大的吊桿稍大。因此，對于剛度較小的吊桿，建議采用稍小的質量塊。

4 公式的討論

為進一步考慮本文公式的工程實用性，分析本文公式在不同工況時的索力誤差，并結合分析結果給出公式的合理適用條件。各項參數(shù)同上，設計索力為3 787 kN。

4.1 固結邊界，不同質量

在固結邊界條件下，長度為10 m的吊桿在中間位置綁定不同質量的質量塊，利用本文公式得出索力值及其誤差，計算結果如表4所示。

表4 兩端固結邊界不同附加質量吊桿數(shù)值模擬結果

從表4可以看出，吊桿頻率隨附加質量的增大而減小，附加質量為30 kg時吊桿頻率降低了1.132 Hz，而且不同的附加質量對索力也有一定影響。當質量塊較大時，附加質量前后吊桿的振型相差較大，不滿足公式的假設條件，最大誤差為4.1%；當質量塊較小時，附加質量前后吊桿的頻率較為接近，公式計算時作差項容易導致有效數(shù)字的損失，最大誤差為4.36%。因此，測試時需要選擇合理質量的質量塊。

4.2 固結邊界，不同位置

在固結邊界條件下，長度為10 m和40 m的吊桿分別在不同位置綁定10 kg質量塊，利用本文公式與規(guī)范公式分別得出索力值及誤差，結果如表5和表6所示。

表5 兩端固結邊界不同綁定位置吊桿數(shù)值模擬結果(10 m)

表6 兩端固結邊界不同綁定位置吊桿數(shù)值模擬結果(40 m)

從表5、表6可看出，質量塊在中間位置時對吊桿一階頻率的影響比靠近端部時大，短吊桿的頻率相比長吊桿對綁定位置的改變更加敏感。對于長度為10 m的吊桿，質量塊在中間位置時頻率降低了0.4 Hz，而質量塊在四等分點時頻率降低了0.184 Hz；對于長度為40 m的吊桿，質量塊在中間位置時頻率降低了0.022 Hz，而質量塊在四等分點時頻率降低了0.011 Hz。對于一階振型而言，質量塊越靠近端部位置對吊桿的振型影響越大，從而引起索力誤差。短吊桿的振型更容易受邊界的影響，質量塊綁定在中間位置更為合適。

5 結論

通過理論分析和數(shù)值模擬的方法，對附加質量法吊桿索力測試進行了詳細闡述，主要結論如下：

(1)利用附加質量識別出等效索長，推導的索力公式考慮了影響頻率法測試精度的邊界條件及抗彎剛度2個主要因素。等效簡化了復雜的邊界條件，有效規(guī)避了抗彎剛度的影響，計算公式簡潔且準確性高。

(2)本文公式可用于不同長度、不同索力、不同截面及不同邊界的吊桿，且均滿足工程精度要求。對于短吊桿和一般邊界下的索力測試，本文方法具有較好的適用性。

(3)不同的附加質量和綁定位置會影響索力測試的準確性。建議短吊桿采用稍小質量塊綁定在中間位置，以防止對吊桿振型產生過大影響；長吊桿采用稍大質量塊及精度較高的拾振器，以防止公式的計算誤差。