◎張世凡

(重慶市萬州區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院，重慶 404120)

一、引 言

目前，我國高中數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生們進(jìn)行自主探索、閱讀自學(xué)、動(dòng)手實(shí)踐以及合作交流的學(xué)習(xí)方式，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使學(xué)生可以在學(xué)習(xí)的過程中探索出對(duì)數(shù)學(xué)建模的獨(dú)有見解如何培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探索能力成為高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)首要解決的問題對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)從數(shù)學(xué)建模教學(xué)角度入手，提高學(xué)生在結(jié)構(gòu)力學(xué)中數(shù)學(xué)建模的能力

二、結(jié)構(gòu)力學(xué)中數(shù)學(xué)模型的發(fā)展與意義

(一)結(jié)構(gòu)力學(xué)中數(shù)學(xué)模型的意義

首先，結(jié)構(gòu)力學(xué)可以為學(xué)生提供豐富的數(shù)學(xué)模型，而且結(jié)構(gòu)力學(xué)這門課程的總體教學(xué)規(guī)律還遵循“數(shù)學(xué)—力學(xué)—結(jié)構(gòu)”這樣的線路，即結(jié)構(gòu)力學(xué)中每一項(xiàng)理論的產(chǎn)生都基于數(shù)學(xué)知識(shí)、理論力學(xué)和材料力學(xué)三個(gè)學(xué)科進(jìn)行推理論證，才能夠得出結(jié)構(gòu)力學(xué)的結(jié)論因此，結(jié)構(gòu)力學(xué)包含很多數(shù)學(xué)學(xué)科的基本理論知識(shí)從結(jié)構(gòu)力學(xué)的角度出發(fā)，結(jié)構(gòu)力學(xué)中所用到的公式本身會(huì)具有結(jié)構(gòu)力學(xué)課程獨(dú)特的地方，雖然這些公式都是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，但結(jié)構(gòu)力學(xué)可以將其中的參數(shù)與力學(xué)參數(shù)結(jié)合在一起，賦予公式處理結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的能力如果在結(jié)構(gòu)力學(xué)的教學(xué)中將這些公式使用到課堂當(dāng)中，對(duì)學(xué)生而言將會(huì)是一種全新的學(xué)習(xí)方式，同時(shí)是對(duì)學(xué)習(xí)思維的一種鍛煉

(二)結(jié)構(gòu)力學(xué)中數(shù)學(xué)模型的發(fā)展

現(xiàn)階段，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)具有成形的理論基礎(chǔ)，但是怎樣讓學(xué)生掌握這種理論成為人們急需解決的問題因此，各類數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)競(jìng)賽應(yīng)運(yùn)而生例如,教育方面，上至大學(xué)下至小學(xué)，都開始加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)，并且會(huì)經(jīng)常舉辦各種建模活動(dòng)來增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的積極性在社會(huì)方面，無論是國家還是社會(huì)都希望結(jié)構(gòu)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模能夠體現(xiàn)在每一個(gè)人身上因此，現(xiàn)階段各種規(guī)模的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽才會(huì)越來越多，且受重視程度越來越高各大高校之間也會(huì)舉辦各種規(guī)模的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)，通過這種方式激發(fā)當(dāng)代大學(xué)生對(duì)待結(jié)構(gòu)力學(xué)的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)可以帶動(dòng)參與人員的熱情在造就人才方面，各大企業(yè)可以通過含金量較高的建模活動(dòng)，選拔出一批具有數(shù)學(xué)建模能力的人才來充實(shí)自身，還可以通過投放獎(jiǎng)金的方式激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和投資企業(yè)的向往

(三)結(jié)構(gòu)力學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

結(jié)構(gòu)力學(xué)普遍存在于現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，例如小院的砌墻和高樓大廈的設(shè)計(jì)都與結(jié)構(gòu)力學(xué)有關(guān)，可以說只要有結(jié)構(gòu)存在的地方就有結(jié)構(gòu)力學(xué)知識(shí)的存在同時(shí)，人們根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)中“極限狀態(tài)”這一概念，設(shè)計(jì)出彈性地基粱、彈性地基板及剛架式結(jié)構(gòu)等設(shè)計(jì)，并且隨著結(jié)構(gòu)力學(xué)的不斷發(fā)展，建筑行業(yè)中的疲勞問題、斷裂問題以及復(fù)合材料結(jié)構(gòu)等問題先后都融入結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究領(lǐng)域，使其在結(jié)構(gòu)力學(xué)的支持下得到快速發(fā)展另外，結(jié)構(gòu)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模還通過結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)的方式，實(shí)現(xiàn)超大型數(shù)學(xué)建模的計(jì)算，例如大跨度的大棚建模等設(shè)計(jì)

三、數(shù)學(xué)建模的方法及步驟

(一)數(shù)學(xué)建模方法

根據(jù)建模目的、建模工具、分析方法的不同，所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型也會(huì)存在一定的差異高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常用的建模方法包括機(jī)理分析法、測(cè)試分析法、綜合分析法等不同的建模方法都存在獨(dú)特之處，并且不同建模構(gòu)建模型也存在其獨(dú)有的屬性例如，利用兩種不同的建模方法構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型，其分析結(jié)果也會(huì)存在差異這則涉及建模方法的選擇在數(shù)學(xué)建模前需要結(jié)合數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)、要求、條件等選擇合適的建模方法，以保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性

1機(jī)理分析法

該建模方法主要根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象屬性、特征的了解，并結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)等，研究現(xiàn)實(shí)對(duì)象中存在的各種變量以及變量之間具有的關(guān)系，以反映數(shù)學(xué)模型內(nèi)部機(jī)理規(guī)律利用該方法構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型雖然能夠有效解決實(shí)際問題，但是想要使用該方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，就必須要了解和掌握研究對(duì)象的屬性特征、機(jī)理等

例如，對(duì)于機(jī)械故障問題的分析首先，我們需要了解和掌握該機(jī)械運(yùn)行原理；其次，根據(jù)機(jī)械工作原理分析其故障原因在分析機(jī)械問題過程中，我們可以通過圖論方式逐一排除故障問題

2測(cè)試分析法

針對(duì)研究對(duì)象運(yùn)行機(jī)理不清晰的情況，可以將研究對(duì)象作為“黑箱”系統(tǒng)，通過對(duì)系統(tǒng)的輸出參數(shù)和輸入?yún)?shù)進(jìn)行觀察，并基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型該方法即為測(cè)試分析法例如，對(duì)機(jī)械生產(chǎn)過程中次品生產(chǎn)率的了解，首先需要啟動(dòng)機(jī)械，讓其進(jìn)行生產(chǎn)模型，其次根據(jù)產(chǎn)品生產(chǎn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)次品生產(chǎn)概率

3綜合分析法

針對(duì)某一問題無法通過單一的建模方法構(gòu)建出完整的數(shù)學(xué)模型時(shí)，可以采用兩種及以上的建模方法，如利用機(jī)理分析法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)，然后再利用測(cè)試分析法計(jì)算法數(shù)學(xué)模型的詳細(xì)參數(shù)

(二)數(shù)學(xué)建模步驟

1合理假設(shè)

基于現(xiàn)實(shí)問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)，首先需要對(duì)問題有基本的了解，即問題是什么？目的是什么？一般情況下，當(dāng)遇到現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，我們對(duì)于問題的了解往往不夠深入，因此需要對(duì)問題展開深入的探索，通過收集信息、研究問題、集體討論等方式明確數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的目的同時(shí)基于問題的變化規(guī)律，利用非形式語言對(duì)其進(jìn)行描述，以此來初步了解和掌握問題變量與問題之間的相互關(guān)系在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型前，首先需要明確問題的基本特征和背景，其次了解其屬于的模型類型，并做好構(gòu)建模型的準(zhǔn)備工作，最后明確需要解決的問題以及想要達(dá)到的目的

在建模過程中基于掌握的資料、模型類型等，可以合理提出假設(shè)簡(jiǎn)化問題，同時(shí)利用數(shù)學(xué)語言來描述問題不同的假設(shè)方法和簡(jiǎn)化方法所獲得的數(shù)學(xué)模型也會(huì)存在一定差異，如果假設(shè)方案缺乏合理性則會(huì)直接影響數(shù)學(xué)模型分析結(jié)果的準(zhǔn)確性

2數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

基于假設(shè)方案、研究對(duì)象等，利用數(shù)學(xué)工具描述和刻畫研究對(duì)象的變量關(guān)系，同時(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)圖表、表格、公式等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)模型構(gòu)建完成后，還需要對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化和分析，以便于數(shù)學(xué)模型的求解此外，還要根據(jù)研究目的，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行檢查，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型是否能夠真實(shí)地反映實(shí)際問題和是否能夠到達(dá)預(yù)期目的需要注意的是，數(shù)學(xué)模型構(gòu)建應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)單明了，確保人們可以對(duì)其進(jìn)行應(yīng)用和理解

3數(shù)學(xué)模型應(yīng)用

模型應(yīng)用具體是指將構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)并應(yīng)用到實(shí)際系統(tǒng)中，檢驗(yàn)其是否可以解決實(shí)際問題如果無法解決問題，則需要對(duì)數(shù)學(xué)模型再次進(jìn)行改進(jìn)，并重新檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建流程如圖1所示

圖1 數(shù)學(xué)模型構(gòu)建流程

需要注意的是，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建并不是完全按照上述步驟進(jìn)行操作的在實(shí)際數(shù)學(xué)模型構(gòu)建中，需要針對(duì)問題、目的等條件，靈活轉(zhuǎn)換建模方式，不能拘泥于采用一種方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

四、結(jié)構(gòu)力學(xué)中的數(shù)學(xué)模型分析

(一)當(dāng)前高中數(shù)學(xué)建模習(xí)題資源中存在的問題

現(xiàn)階段，我國高中新課程規(guī)范對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)提出具體的教學(xué)要求與考察要求但是因?yàn)楦鞣N原因，我國的高中生對(duì)待數(shù)學(xué)建模的能力很差,且造成該原因的因素多種多樣,其中缺乏有效的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法是造成此類問題的主要原因所以當(dāng)代教師應(yīng)當(dāng)完善對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法，提高學(xué)生對(duì)待數(shù)學(xué)建模的接受能力同時(shí)，各類教學(xué)教材、建模競(jìng)賽等結(jié)構(gòu)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模知識(shí)過于單一、數(shù)量不足以及與實(shí)際生活聯(lián)系不夠也是造成高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力差的原因此類問題最重要的原因在于授課教師手里缺少足夠的建模資源以及與結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)學(xué)建模方面相關(guān)的習(xí)題，且教師在實(shí)際的結(jié)構(gòu)力學(xué)授課當(dāng)中，缺乏數(shù)學(xué)模型的支撐，使得一些枯澀難懂的力學(xué)模型缺少數(shù)學(xué)公式的輔助理解，長(zhǎng)此以往會(huì)使學(xué)生失去對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣

(二)基本荷載

結(jié)構(gòu)力學(xué)中的荷載，通常是指造成結(jié)構(gòu)發(fā)生形變的內(nèi)外力和其他因素同時(shí)，荷載問題是任何結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中必須首先要考慮的主要依據(jù)，荷載能力的大小決定著結(jié)構(gòu)構(gòu)件的尺度和用料荷載還可以按照作用與期限的不同進(jìn)行分類，其類別主要可以分為恒荷載、活荷載、集中荷載以及均布荷載等

恒荷載：恒荷載在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中也稱為永久荷載，是施加在工程結(jié)構(gòu)上恒定不變的荷載例如，結(jié)構(gòu)自身的重量、永久性外加承重、非承重結(jié)構(gòu)構(gòu)件以及建筑裝飾重量等均可以稱之為恒荷載因此，在高中的結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，授課教師應(yīng)當(dāng)對(duì)其進(jìn)行說明，明確恒荷載在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的作用

活荷載：在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中也可以稱為可變荷載，是由人群、動(dòng)物以及機(jī)械等物體對(duì)建筑結(jié)構(gòu)施加不斷力產(chǎn)生的例如車輛荷載、風(fēng)荷載、雪荷載以及裹冰荷載等均可以稱之為活荷載

風(fēng)荷載：在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中也可以稱之為風(fēng)的動(dòng)壓力，屬于活荷載中的一種，是空氣流動(dòng)的氣體壓強(qiáng)對(duì)工程結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的作用，風(fēng)荷載主要可以分為穩(wěn)定風(fēng)和脈動(dòng)風(fēng)兩種，在工程中通常稱之為空氣靜力作用和空氣動(dòng)力作用，會(huì)對(duì)大風(fēng)地區(qū)和高聳結(jié)構(gòu)施工帶來影響

雪荷載：同樣屬于活荷載中的一種，通常是指在建筑結(jié)構(gòu)上方的積雪對(duì)建筑施加的力在結(jié)構(gòu)力學(xué)中一般會(huì)將雪荷載的值設(shè)計(jì)為，將基本雪壓稱之為，將目標(biāo)積雪分布系數(shù)稱之為,從而得出的值

=

在建設(shè)設(shè)計(jì)中一般會(huì)使用標(biāo)準(zhǔn)荷載作為雪荷載的設(shè)計(jì)參照標(biāo)準(zhǔn)荷載通常是指建筑結(jié)構(gòu)能夠承受的最大荷載因此，在正常建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)人員一般會(huì)將荷載的設(shè)定高于標(biāo)準(zhǔn)荷載值

(三)數(shù)學(xué)建模的分類

按照結(jié)構(gòu)力學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)不同，數(shù)學(xué)建模也可以有多種不同的分類方法，常見的數(shù)學(xué)模型主要分為以下幾種

第一種，按照數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行分類例如，人口模型、城市交通模型、環(huán)境生態(tài)模型、水資源模型、燃料輸送模型、可再生資源利用模型以及污染模型等同時(shí)，可以將范疇更大的邊緣學(xué)科如生物數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、社會(huì)數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)以及地質(zhì)數(shù)學(xué)等稱之為超大數(shù)學(xué)模型

第二種，按照建立結(jié)構(gòu)模型的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分類例如，初等數(shù)學(xué)中幾何模型、規(guī)劃論模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯概念模型以及馬氏鏈模型等按照第一種方法分類的教科書中，對(duì)此方面的分類會(huì)重點(diǎn)關(guān)注于某一專門領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型建立，而在本方法分類的教科書中，是運(yùn)用不同領(lǐng)域已經(jīng)存在的數(shù)學(xué)模型來解釋某種數(shù)學(xué)技巧因此，該分類是區(qū)別于第一種數(shù)學(xué)建模的分類

第三種，按照數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)特性進(jìn)行分類數(shù)學(xué)模型和隨機(jī)性模型的確立是建立在力學(xué)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上因此，在近些年的數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，又出現(xiàn)所謂突變性模型和模糊性模型兩種數(shù)學(xué)模型對(duì)于靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型而言，模型的定量完全取決于時(shí)間因素對(duì)其的影響，而線性模型和非線性模型的定量則完全取決于模型之間的基本關(guān)系，如參與數(shù)學(xué)模型中的微分方程是否是線性的，離散隨機(jī)變量模型和連續(xù)模型中的變量是否取離散值還是連續(xù)值等

五、以結(jié)構(gòu)力學(xué)為背景的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)

(一)函數(shù)模型編制

數(shù)學(xué)中的函數(shù)應(yīng)用到我們生活的世界，即可以表示任何時(shí)刻都在發(fā)生變化的物體，或者說函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型通過函數(shù)模型的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的變化規(guī)律預(yù)測(cè)，進(jìn)而為其他學(xué)科的實(shí)際應(yīng)用提供解決問題的基礎(chǔ)因此，高中數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對(duì)函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，加深學(xué)生對(duì)客觀世界和事物變化規(guī)律的認(rèn)知

函數(shù)是高中階段才會(huì)引入的一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，雖然學(xué)生在初中就已經(jīng)開始接觸這種含有一個(gè)未知數(shù)的方程，但是方程中未知數(shù)的次數(shù)不高，通常為一次或二次函數(shù)模型而在高中的結(jié)構(gòu)力學(xué)課堂中，學(xué)生則會(huì)接觸到類似于：

這時(shí)學(xué)生只要注意分析的值就可以判斷出結(jié)構(gòu)力學(xué)中數(shù)學(xué)模型Δ的值

(二)幾何圖形模型的編制

幾何圖形是高中階段訓(xùn)練學(xué)生思維能力的一項(xiàng)重要概念，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中會(huì)經(jīng)常見到解析幾何、空間幾何等數(shù)形結(jié)合的習(xí)題因此，科任教師要加強(qiáng)學(xué)生在高中階段對(duì)幾何圖形的理解，為之后更高一步的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)對(duì)此，科任教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合結(jié)構(gòu)力學(xué)中的圖乘法模型來對(duì)提高學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)知在圖乘法的教學(xué)中，不但會(huì)涉及幾何知識(shí)、直線斜率以及積分知識(shí)等，還可以更加直觀地將數(shù)形結(jié)合問題呈現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生可以快速理解高中數(shù)學(xué)中幾何圖形的知識(shí)，提升學(xué)生解決幾何問題的能力

(三)微積分模型的編制

微積分是屬于高中課程中較難的一項(xiàng)內(nèi)容，通常也是高中階段后期學(xué)習(xí)的重點(diǎn)高中階段的微積分比較淺顯，主要以導(dǎo)數(shù)和函數(shù)為教學(xué)主體，為大學(xué)的微積分打下基礎(chǔ)，以及為其他相關(guān)學(xué)科打下基礎(chǔ)高中階段課程對(duì)微積分教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)為：要確保學(xué)生充分了解微積分的性質(zhì)、地位、研究對(duì)象以及內(nèi)容等，同時(shí)，要深化學(xué)生對(duì)微積分的基本概念、基本理論以及概念導(dǎo)數(shù)的理解，提高學(xué)生對(duì)分析問題和解決問題的能力

六、結(jié)束語

總而言之，通過對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)中數(shù)學(xué)模型的思考分析可知，應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的方式可以增加高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的能力，還可以根據(jù)學(xué)生對(duì)待數(shù)學(xué)模型的實(shí)際情況來改變教學(xué)方式，以此達(dá)到高中階段對(duì)數(shù)學(xué)課程的要求，為科任教師和學(xué)生提供一條對(duì)待數(shù)學(xué)建模的新思路