庫侖勢約束下薛定諤方程的勢代數及超對稱自發(fā)破缺

王海楠，文 莉，程建蘭，熊露霖，羅 光

(重慶師范大學物 理與電子工程學院，重慶 401331)

超對稱量子力學于1981年由Witten一經提出[1]，就受到人們的廣泛關注，并且超對稱思想很快就被應用到諸如場論等其他領域[2-4]. 超對稱量子力學及其勢代數形式在討論薛定諤方程的求解時也有重要應用，是實現精確求解的一種非常重要的方法[4，5]. 目前，各種勢約束下的薛定諤方程的精確求解或者準精確求解問題一直以來都是量子力學中特別關注的問題[6-11]，而基于超對稱量子力學，能夠求解的勢約束下的薛定諤方程多達十幾種[3，10，12]. 這些勢主要有諧振子勢、庫侖勢、Morse勢、Rosen-Morse勢、Scarf勢、Eckart勢、P?sch-Teller 勢等[3，8].

庫侖勢作用下的薛定諤方程的求解也是量子力學中的經典問題[13，14]，不過處理過程相對繁瑣.基于超對稱量子力學處理庫侖勢問題，過程和結果相當簡潔明了[15，16].雖然如此，庫侖勢作用下的薛定諤方程的討論依然還有一些有待處理的問題，比如由于在r→0時，庫侖勢是發(fā)散的，一般是考慮采取截斷處理[17]；以及針對零能基態(tài)波函數中的軌道角動量量子數l的取值，即l<-1時，波函數不滿足歸一化從而出現超對稱自發(fā)破缺.

本文基于超對稱量子力學方法，對庫侖勢作用下的薛定諤方程的求解做了進一步討論.首先，針對給出了徑向方程和角向方程的形狀不變性關系和勢代數理論，導出了勢代數形式的形狀不變關系，滿足SO(2，1)群對稱性；然后討論了徑向波函數和角向波函數的斂散性，討論了系統(tǒng)出現的超對稱破缺，并且采用超對稱破缺系統(tǒng)的兩步形狀不變性，通過調整參數取值，重新獲得了伴隨勢遵循的形狀不變性.

1 超對稱量子力學簡介

為簡便計算，設?=2m=1，定態(tài)薛定諤方程的哈密頓量為

(1)

根據有關文獻[2-7]引入超勢W(x，a)，定義升降算符A+與A-：

(2)

體系的勢轉化為兩個伴隨勢V±(x，a)來描述：

(3)

且伴隨勢V±(x，a)之間滿足：

V+(x，a0)=V-(x，a1)+R(a0)

(4)

其中R(a0)是一個相加性常數，且a1=f(a0).形狀不變性也可以用升降算符A±(x，a)來表示：

A+(x，a0)A-(x，a0)-A-(x，a1)A+(x，a1)=R(a0)

(5)

相應的伴隨哈密頓量為

(6)

(7)

以及相應的能量本征值譜.

2 超對稱量子力學處理具有庫侖勢的薛定諤方程

庫侖勢作用下球坐標定態(tài)薛定諤方程為[13，15]

(8)

設ψ=R(r)Y(θ，φ)分離變數后，得

(9)

(10)

進一步分離Y(θ，φ)滿足的方程，令Y(θ，φ)=Θ(θ)Φ(φ)，得

(11)

[l(l+1)sin2θ-m2]Θ(θ)=0

(12)

令u(r)≡rR(r)，代入式(9)可得

(13)

再令sinθ=shz，代入式(12)，得

(l2-m2)Θ(z)

(14)

式(11)、(13)、(14)都可以用超對稱量子力學思想處理[3，6]，它們的超勢分別為:

W1(φ，m)=m，

W3(z，l)=lthz

(15)

滿足式(4)的形狀不變關系分別為:

(16)

(17)

(18)

根據式(7)，可得出式(11)、(13)和(14)對應的零能基態(tài)波函數：

(19)

(20)

(21)

其中，N1、N2和N3為歸一化系數.可以依據式(2)的升降算符作用到上述基態(tài)波函數上，可得出對稱形式的伴隨哈密頓量的本征波函數.

3 形狀不變性的勢代數形式

[J3，J+]=J+和[J3，J-]=-J-

(22)

這樣的性質.另外算符J+、J-和J3還有以下的性質：

(23)

而且J±也滿足對易關系：

[J+，J-]=f(J3)

(24)

式(24)即為勢代數情形下的形狀不變性關系.根據f(J3)，可以確定系統(tǒng)具有的對稱性[11].

3.1 徑向方程代數形式的形狀不變性關系

(25)

可以計算出

(26)

選擇k=-1，形狀不變性的勢代數形式最簡單

(27)

即為徑向方程式(13)對應的形狀不變關系.

3.2 Θ(z)滿足的方程的代數形式的形狀不變性關系

Θ(z)滿足的方程為式(14)，其超勢為W3(z，l)=lthz，再據a0=-l，a1=-l+1可確定s=1，用k-J3替換-l，對應的J+與J-分別為

(28)

可以計算出

[J+，J-]=2(k-J3)+1

(29)

選擇k=-1，形狀不變性的勢代數形式最簡單：

[J+，J-]=-2J3

(30)

即為式(14)勢代數描述下的形狀不變關系，且滿足SO(2，1)群對稱性.

3.3 Φ(φ)滿足的方程的代數形式的形狀不變性關系

Φ(φ)滿足的方程為式(11)，其超勢為W3(φ，m)=m，再根據a0=m，a1=m+1可確定s=1，用k-J3替換m，對應的J+與J-分別為

(31)

可得出J+與J-的對易關系為

[J+，J-]=2(k-J3)+1

(32)

[J+，J-]=-2J3

(33)

即為常微分方程式(11)勢代數描述下的形狀不變關系，且系統(tǒng)滿足SO(2，1)群對稱性.

4 庫侖勢的超對稱自發(fā)破缺討論

4.1 徑向方程波函數的超對稱自發(fā)破缺

(34)

(l+1)(l+2)=a1(a1+1)

(35)

可解得a1=l+1，式(17)的形狀不變性就是選擇的這個取值.式(35)還有另一個解a1=-l-2，如果針對l<-1的情形，我們發(fā)現-l-2≥0，代入式(34)，此時波函數恰好又是收斂了，自發(fā)破缺問題解決了.因此，選擇a1=-l-2，依然有

(36)

只不過這是調整參數后的形狀不變形式.根據超對稱量子力學，易算得

(37)

利用迭代思想，可計算出整個能譜和本征波函數.

(38)

可以計算出

(39)

(40)

即為徑向方程(9)出現超對稱自發(fā)破缺后，采用兩步法調整參數后轉變?yōu)闈M足超對稱關系的對應的形狀不變關系的勢代數形式.

4.2 Θ(z)滿足的方程波函數的超對稱自發(fā)破缺

根據式(7)，把W3(z，l)=lthz代入，可得零能基態(tài)波函數為

(41)

l(l-1)=a1(a1+1)

(42)

可解得a1=l+1，式(18)的形狀不變性就是選擇的這個取值.式(41)還有另一個解a1=-l，如果針對l<-1的情形，我們發(fā)現-l>0，代入式(41)，此時雖然波函數恰好又是收斂了，似乎自發(fā)破缺問題解決了，但是由于a1=-l與a0=l之間并未表現出加性特征，所以不滿足形狀不變性.因此利用形狀不變性和勢代數法無法處理這種同譜勢問題.

5 總結

基于超對稱量子力學研究了庫侖勢約束下的薛定諤方程經分離變數后的徑向以及角向方程的勢代數法求解.首先，對超對稱量子力學做了簡介，然后，依據庫侖勢的超勢得出伴隨勢的形狀不變性，進而得到零能量本征值和本征波函數；第三，基于勢代數法討論了庫侖勢約束下的徑向以及角向方程勢代數形式的形狀不變關系；最后，針對波函數中l(wèi)的取值情況，討論了徑向波函數出現超對稱自發(fā)破缺以后，通過參數調整的兩步法進而解決了超對稱破缺的問題.