林天哲

(南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京 210033)

本文將以靜電場、靜磁場的4個(gè)基本方程作為切入點(diǎn)，研究它們在做閉合曲面積分與閉合曲線積分時(shí)的特殊情況，也就是閉合曲面曲線邊界上存在電荷電流的情況.并在這之后以現(xiàn)有的普遍使用的電磁介質(zhì)的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，提出解決計(jì)算電磁介質(zhì)邊界上物理量的方法，并結(jié)合例題以說明.

1 第二類高斯閉合曲面與高斯閉合曲線

在靜電場與靜磁場中有4個(gè)基本方程，其分別對(duì)電場和磁場做了閉合曲面積分與閉合曲線積分，在一般的問題當(dāng)中，我們所取的閉合曲面與閉合曲線上都是不含有電荷或者電流的，就算所取閉合曲面或曲線上含有電荷或電流，相對(duì)于電磁場的積分那些電荷與電流的作用也可以被忽略.以圖1為例，這是一個(gè)電荷面密度為σ的無限大帶電平面，對(duì)于其上加粗的圓環(huán)，顯然上面分布有電荷，但是對(duì)于空間中任意一點(diǎn)場強(qiáng)的積分，去掉這一圈電荷將對(duì)積分的結(jié)果毫無影響.當(dāng)然讀者也可以類比在計(jì)算一元連續(xù)函數(shù)積分時(shí)，當(dāng)函數(shù)曲線上存在一個(gè)一類可去間斷點(diǎn)時(shí)并不會(huì)對(duì)定義域內(nèi)積分結(jié)果產(chǎn)生影響.下面給出簡要證明.

為證明上述結(jié)論，可以證明圓環(huán)上的電荷總量為一無窮小量，也就是說，這些電荷去掉前后其余電荷總量與分布均無變化，故對(duì)于空間任意一點(diǎn)其電場強(qiáng)度也無變化.取平面上任意性狀點(diǎn)集，圓環(huán)上的點(diǎn)全部包含在點(diǎn)集內(nèi)部，用‖λ‖代表點(diǎn)集上任一點(diǎn)到圓環(huán)上點(diǎn)的最大距離，故有

(1)

圖1 電荷面密度為σ的無限大帶電平面與高斯面

事實(shí)上，這是一個(gè)基于幾何數(shù)學(xué)模型的基本結(jié)論，當(dāng)定義了高階的密度，比如質(zhì)量體密度時(shí)，那么對(duì)于此體積中任意一個(gè)面的質(zhì)量在數(shù)學(xué)上收斂為0，只有在無窮個(gè)面累加時(shí)才能得到總質(zhì)量.而下面將著重討論一類特殊的閉合曲面與曲線.在這些面與線上，分布的電荷或電流不能視為無窮小量而忽略.為區(qū)分它們與傳統(tǒng)閉合高斯曲面曲線的不同，稱它們?yōu)榈诙惛咚归]合曲面與高斯閉合曲線.

1.1 電學(xué)部分

我們將討論點(diǎn)電荷分布在閉合曲面與曲線上時(shí)的情況，如圖2(a)和2(b)所示.并分別計(jì)算其第二類曲面積分與第二類曲線積分.首先要強(qiáng)調(diào)一件事情，當(dāng)點(diǎn)電荷分布在高斯面與閉合曲線上時(shí)，其積分均為廣義積分，在求解的同時(shí)，也應(yīng)該注意此廣義積分能夠收斂的條件.

圖2 第二類高斯閉合曲面示意圖

對(duì)于2(a)中的情況，點(diǎn)電荷q對(duì)于整個(gè)閉合曲面的通量等于通過其在曲面上點(diǎn)的一個(gè)與那一點(diǎn)切平面相切的曲率小球的通量.這是一個(gè)對(duì)曲面有要求的條件，即曲面上那一點(diǎn)必須存在切平面，也就是說該點(diǎn)可微.

下面來計(jì)算具體數(shù)值，對(duì)應(yīng)圖2(a)有

顯然，如果該點(diǎn)不存在切平面，則關(guān)于θ角的取值范圍并不會(huì)是由0到π/2，就算收斂，結(jié)果也不盡相同.而對(duì)于閉合回路積分，由電勢的概念知道盡管點(diǎn)電荷處電勢發(fā)散，但是空間中包含點(diǎn)電荷的閉合回路曲線的廣義積分仍然是零，即

整理有當(dāng)點(diǎn)電荷分布在閉合曲面上的閉合曲線上時(shí)的情況，有

(2)

(3)

1.2 磁學(xué)部分

先考慮高斯閉合曲面邊界點(diǎn)上存在電流的情況，如圖3(b)所示.在這里，同樣要求在曲面上存在電流元的點(diǎn)均可微，即存在切平面.在這種情況下，如3(c)中所示，對(duì)每一段電流元向曲面內(nèi)取一小圓柱面，此時(shí)電流元對(duì)于閉合曲面的通量為通過此小圓柱面的通量.此時(shí)有

同樣的，如果需要積分上下限從π/2 到-π/2，則需要曲面上該點(diǎn)存在切平面，這一點(diǎn)對(duì)于曲面的要求與電學(xué)上述討論的相同.

圖3 安培環(huán)路定理證明與第二類高斯閉合曲線示意圖

下面考慮圖3(a)中的情況，即閉合曲線積分邊界上含有電流的情況，此時(shí)用參考文獻(xiàn)[1]中的證明方法.導(dǎo)出電流圓環(huán)對(duì)于外磁場的影響，即

(4)

其中Ω是指該點(diǎn)對(duì)于電流環(huán)所成的立體角.將閉合環(huán)路積分成2段[圖3(a)中實(shí)線段l1與虛線段l2，且P1無限接近P2，l2趨近于0]，則有

如圖4所示，并結(jié)合文獻(xiàn)[1].當(dāng)P+與P-趨近于面內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，有

Ω+-Ω-=|Ω+|+|Ω-|=4π

(5)

趨近于面外一點(diǎn)時(shí)，有

Ω+-Ω-=|Ω+|+|Ω-|=2π

(6)

而當(dāng)P+與P-趨近于面邊界上一點(diǎn)時(shí)，有

Ω+-Ω-=|Ω+|+|Ω-|=0

(7)

圖4 電流環(huán)所成的立體角

故又有

整理有電流分布在閉合曲面上和閉合曲線上時(shí)的情況，如

(8)

(9)

式(2)、式(3)、式(8)、式(9)就是第二類高斯曲線和曲面滿足的方程，結(jié)合已知的高斯曲面和高斯曲線方程，假設(shè)所取的曲面和曲線全部為簡單閉合的曲面和曲線，且曲面在存在電荷與電流元處均存在切平面時(shí)，便有

2 標(biāo)準(zhǔn)電磁介質(zhì)模型

以上括號(hào)中的4個(gè)方程都可以自然地推廣到連續(xù)分布的情況.對(duì)于電學(xué)，有線面體電荷之分；而對(duì)于磁學(xué)，也要規(guī)范其數(shù)學(xué)模型.并且在這一部分中，我們將從電磁介質(zhì)的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，討論一系列的數(shù)學(xué)模型.

2.1 連續(xù)電荷與連續(xù)電流模型

一個(gè)點(diǎn)電荷對(duì)于空間一點(diǎn)的電場強(qiáng)度可表示為式(10).而對(duì)于連續(xù)的線面體電荷我們自然地引入δ、σ、ρ作為線密度，面密度與體密度.則其微元對(duì)于空間一點(diǎn)的電場強(qiáng)度顯然可改為括號(hào)內(nèi)內(nèi)容，即

(10)

而對(duì)于電流，本身的電流元對(duì)于空間一點(diǎn)的場強(qiáng)可表示為

(11)

為了更詳細(xì)地描述電流在空間中每一點(diǎn)的情況，引入了電流密度.但事實(shí)上，電流也分為面電流與體電流(一般電流就為線電流)，而二者在電流密度的定義上并不相同，如

(12)

(13)

其中en是帶正電載流子運(yùn)動(dòng)的方向或負(fù)電載流子運(yùn)動(dòng)的反方向.故可通過電流密度改寫Idl，結(jié)果如下：

2.2 電磁偶極子模型

電磁介質(zhì)中激發(fā)空間產(chǎn)生電場與磁場的均是一些及其理想的電偶極子與磁偶極子，下面來介紹這二者的數(shù)學(xué)模型.以電偶極子為例，定義電偶極矩p=ql，而所謂的理想偶極子是指在l→0時(shí)p仍收斂于一定值的情況.對(duì)于磁偶極矩m=IS也同理.文獻(xiàn)[2]中已經(jīng)推導(dǎo)并給出了一個(gè)電偶極子與磁偶極子對(duì)外場的電場強(qiáng)度，即

(14)

(15)

二者高度相似.

2.3 電磁介質(zhì)的電磁場

在偶極子模型的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[2]已推導(dǎo)出了單個(gè)偶極子對(duì)空間激發(fā)的電勢與磁矢勢的表達(dá)式：

(16)

(17)

現(xiàn)在在這個(gè)基礎(chǔ)上推導(dǎo)電磁介質(zhì)在空間產(chǎn)生的電勢與磁矢勢，并進(jìn)一步討論模型.在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[2]給出了電磁介質(zhì)對(duì)于空間中一點(diǎn)激發(fā)的電勢與磁矢：

(18)

(19)

(20)

(21)

這是十分關(guān)鍵的轉(zhuǎn)化，也就是說不用再研究偶極子那個(gè)十分復(fù)雜的電磁場表達(dá)形式，而可以用熟悉的電磁模型(電荷與電流)代替計(jì)算其在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度.但是上述推導(dǎo)卻存在一個(gè)限制條件.我們大量運(yùn)用了矢量分析中的結(jié)論，也就是說已經(jīng)假設(shè)P矢與M矢在介質(zhì)邊界與內(nèi)部是連續(xù)且有限的.就算發(fā)散，也是在介質(zhì)內(nèi)部類似點(diǎn)電荷電場發(fā)散的可用δ函數(shù)描述的形式.這是在研究一般連續(xù)體介質(zhì)時(shí)潛在使用的條件，這也會(huì)成為后面討論邊界矢時(shí)采用的基本條件.

3 邊界矢的修正

現(xiàn)將在上述模型的基礎(chǔ)上對(duì)于電磁介質(zhì)的邊界問題更進(jìn)一步討論.當(dāng)然，此時(shí)認(rèn)為的電磁介質(zhì)也需要滿足上述連續(xù)條件，所取的曲面和曲線全部為簡單閉合的曲面和曲線，且曲面在存在電荷與電流元處均光滑.

在這一部分，將提出一個(gè)全新的的物理量：邊界矢.考慮到電磁介質(zhì)問題高度的相似性，將以電介質(zhì)作為切入，磁介質(zhì)則以類比與給出結(jié)論為主，省略部分嚴(yán)格推導(dǎo)過程.

3.1 邊界矢

考慮一個(gè)電介質(zhì)體的問題，如圖5所示，現(xiàn)在其上做如圖S的閉合曲面，并計(jì)算P矢對(duì)于這個(gè)閉合曲面的積分：

圖5 電介質(zhì)與其邊界示意圖

再考慮對(duì)這個(gè)閉合曲面做E矢的積分并假設(shè)此時(shí)空間中沒有自由電荷，結(jié)合式(1), 有

此時(shí)ε0E與P相加是無法消除極化電荷的.也就是說，如果在邊界處使用這種計(jì)算方法，會(huì)與傳統(tǒng)的電磁學(xué)結(jié)論產(chǎn)生矛盾.下面引入邊界矢，在不破壞電磁介質(zhì)原有理論的基礎(chǔ)上解決這一問題.為了使論證更加易懂，現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化我們的模型.如圖6(a)所示，陰影部分介電常量為ε1，而右邊白色部分的介電常量則為ε2，對(duì)于真空介電常量為1而金屬導(dǎo)體則不考慮介電常量問題.我們還定義了分別相對(duì)于陰影空白部分的面法向en1與en2，左邊一切物理量用角標(biāo)1表示，右邊用2. 當(dāng)然如圖6(b)所示，磁學(xué)情況下也類似處理，其具體推導(dǎo)可以結(jié)合電學(xué)過程自行完成.

首先考慮P矢的問題，在圖6(a)中，使得面S1與面S2無限接近，則在P矢連續(xù)有限的假設(shè)下，其側(cè)面的通量定為0，于是有

P1n·en2+P2n·en1=-(σ′1+σ′2)

我們希望在面S0上存在一個(gè)矢量P使得其滿足下述關(guān)系用于和電場關(guān)系對(duì)應(yīng)：

圖6 模型示意圖

解得

(22)

這是一個(gè)普遍性的結(jié)論，這意味著在邊界那一點(diǎn)上的P矢不連續(xù)，且應(yīng)該折算成左右P矢逼近邊界處極限的1/2.也意味著邊界上的電荷面密度為σ′1+σ′2，其由兩側(cè)P矢共同決定.對(duì)于磁介質(zhì)的M矢也有同樣的問題，參考圖6(b)與上述求解，可直接給出結(jié)論，即

(23)

當(dāng)然，以上僅僅導(dǎo)出了邊界上P矢與M矢某一方向分量與兩側(cè)矢量的關(guān)系.現(xiàn)先來考慮空間的電場.再考慮電磁介質(zhì)在空間產(chǎn)生的電磁場時(shí)，以電場為例.一方面需要考慮極化電荷產(chǎn)生的電場與自由電荷產(chǎn)生電場的疊加；另一方面電場此時(shí)就是空間中所有電荷真實(shí)產(chǎn)生的，也就是說此時(shí)的電場應(yīng)該也嚴(yán)格滿足1.1節(jié)提到的第二類高斯曲面與第二類高斯曲線的問題.在這一基礎(chǔ)上討論邊界面上電場與其兩側(cè)的電場極限的關(guān)系.

首先由邊界條件E1t=E2t與式(3)可知，在邊界上定有

Et=E1t=E2t

(24)

磁學(xué)上同理有

Bn=B1n=B2n

(25)

下面再來考慮En的問題，再次類比對(duì)Pn的求解方法.但此時(shí)應(yīng)該指出，由于E矢在空間中每一點(diǎn)均嚴(yán)格求解，也不一定在介質(zhì)內(nèi)部到邊界上連續(xù)有限，我們此時(shí)僅討論邊界上E矢為有限值且從介質(zhì)內(nèi)部到邊界上連續(xù)時(shí)的情況.設(shè)q0為分布在S0面上的自由電荷，并仍考慮面S1與面S2無限接近的情況.當(dāng)然，當(dāng)E矢在介質(zhì)內(nèi)部到邊界上不連續(xù)有限時(shí)，我們可以直接采用P矢計(jì)算電荷分布，然后再計(jì)算電場.

考慮到q0不一定是面電荷，用通量求解，再使得S0S1S2→0

解得

由于已經(jīng)假設(shè)邊界上E矢為有限值且從介質(zhì)內(nèi)部到邊界上連續(xù)，故左右極限收斂，即

(26)

再結(jié)合式(24)得

(27)

當(dāng)然上式中的P1、P2、E1、E2均為P矢和E矢趨近邊界時(shí)的極限.也就是說，這是極限存在情況下的結(jié)論！

結(jié)合圖6(b)上述推導(dǎo)與式(23)和式(25)，在磁學(xué)中也有類似關(guān)系如下：

于是，在P1、P2、E1、E2、M1、M2、B1、B2極限均存在的情況下推導(dǎo)出的在介質(zhì)邊界上滿足第二類高斯曲線與曲面的矢量P、E、M、B稱為邊界矢.

應(yīng)該指出P與M是人為定義的，而E與B則是可以根據(jù)空間中電荷分布與電流分布真實(shí)情況計(jì)算而得出的.二者結(jié)合可有電位移矢量與磁場強(qiáng)度的邊界矢如下：

如果能求出含電磁介質(zhì)空間中每一點(diǎn)的P、E、M、B,那么這個(gè)電磁介質(zhì)空間將嚴(yán)格滿足第二類高斯曲面與高斯曲線對(duì)以上矢量的積分.也就是說，在處理問題時(shí)選取的高斯曲面與高斯曲線可以具有更大的靈活性！對(duì)于電磁介質(zhì)的數(shù)學(xué)模型也有更加深刻的理解.

但是當(dāng)突變面兩側(cè)存在多種介質(zhì)時(shí)(超過兩種)，問題會(huì)變得十分復(fù)雜.事實(shí)上從幾何的角度上看：在電學(xué)方面上，一般不會(huì)存在三種介質(zhì)相交還產(chǎn)生一個(gè)面的情況，也就是說，真正相交的不過是三維空間中的一條線，面積分時(shí)仍然可以當(dāng)做小量而忽略，這并不妨礙P矢做面積分；在磁學(xué)方面，三種介質(zhì)相交時(shí)，依然根據(jù)幾何關(guān)系，相交處該點(diǎn)的面法向量一般情況無法確定(無切平面),故在2.3中討論的磁介質(zhì)模型無法使用，此點(diǎn)處極化電流的定義超出了已有數(shù)學(xué)模型的討論范圍.正如同教材[1-3]中的邊界條件，我們還是著眼于兩種介質(zhì)相交的情況.

3.2 邊界矢的使用舉例

我們觀察到邊界上左右極限取1/2是一個(gè)普遍的現(xiàn)象.考慮到本文的讀者中可能存在大學(xué)初步學(xué)習(xí)電磁學(xué)的學(xué)生，借助例題對(duì)邊界矢這一物理量進(jìn)行進(jìn)一步的說明.

1) 如圖7(a)所示，無限大平面上帶有自由電荷，面密度為σ0，兩側(cè)電介質(zhì)呈線性且介電系數(shù)已給出，求兩側(cè)的電場強(qiáng)度之比.

解答：借助邊界矢的觀點(diǎn)，此時(shí)空間電場強(qiáng)度由自由電荷與極化電荷真實(shí)激發(fā)，而由對(duì)稱性知道極化電荷也只均勻分布在平面上.平面均勻分布電荷對(duì)面上一點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為0.故E= 0，便有E1=-E2，二者之比便為1.

2) 如圖7(b)與7(c)所示，圖7(b)為一無限長半徑為R的薄圓柱，通過面電流I，現(xiàn)求邊界上單位面積受力大??；圖7(c)是一導(dǎo)體，上分布有面電荷σ，現(xiàn)求面上單位面積的受力大小.

(28)

(29)

可能有讀者會(huì)疑惑，我們要求的是其余電流和其余電荷對(duì)該電流和該點(diǎn)的磁場與電場，為什么使用的結(jié)論所要求的磁場和電場是空間中所有電流與電荷產(chǎn)生的呢？這就與式(1)所說明的情況類似.圖7(b) 中是在面電流上取走一條線電流;圖7(c)則是在面電荷上取走一點(diǎn)電荷，它們對(duì)總電場強(qiáng)度的作用都收斂于無窮小，故算上與去掉對(duì)于外場的求解在數(shù)學(xué)結(jié)果上毫無影響！

3) 圖7(d)為一條無限長的均勻磁化棒，M已知，空間中點(diǎn)2與點(diǎn)1無限逼近邊界，求這兩處的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

圖7 例題用圖

4 結(jié)論

本文通過對(duì)于邊界矢這一概念的推導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生對(duì)于電磁介質(zhì)突變面的數(shù)學(xué)模型有更深刻的認(rèn)識(shí)，并探索出一種不規(guī)避邊界上點(diǎn)依然可以解決問題的方案.事實(shí)上，格里菲斯在其書《電動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論》中對(duì)于邊界問題有過評(píng)價(jià)，即：如果將突變邊界描繪成快速變化的薄層，將會(huì)更加合理.誠然，這是一種偏向現(xiàn)實(shí)也實(shí)際的處理方法，但是在高等教育電磁學(xué)廣大的習(xí)題中，并沒有大量運(yùn)用均勻變化夾層這一概念，而是將其作為突變處理，故通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，提出了有關(guān)于處理此類突變面問題的見解, 希望對(duì)大家了解習(xí)題與教材中的電磁介質(zhì)模型有所幫助.