再談由留數(shù)定理求解的兩類無窮積分

周運清，黃文濤

(浙江海洋大學 信息工程學院物理系，浙江 舟山 316022 )

最近，周文平、劉奕帆和宋鐵磊3位同行發(fā)表了題為《由留數(shù)定理求解的兩類無窮積分》的文章，該文討論了兩類通過留數(shù)定理可以求解的無窮積分，一類是實軸上無奇點的情況，另一類是實軸上有奇點的情況[1,2]，這兩類積分很有代表性，且推導(dǎo)過程詳細，思路清晰，適合在教學過程中采用，非常有教學意義. 基于上述原因, 我們想進一步談?wù)勥@兩類積分，主要從兩方面來討論，一是對兩類積分的積分過程進行簡化和必要說明，厘清問題的本質(zhì)，便于以后碰到類似問題能靈活處理；二是通過多值函數(shù)的方法[3]，把兩類積分的適用范圍進行拓展，即n由大于1的整數(shù)拓展為大于1的實數(shù)，最后可讓學生在課堂上把2種方法得到的結(jié)果進行比較，看是否能相互印證，這樣對兩類積分的理解會更全面和深刻.

1 積分類型(n為實數(shù)且n>1)

1.1 積分的簡化處理與說明

對于這類積分，積分范圍內(nèi)無奇點，可以證明該積分對于n>1收斂，即

(1)

(2)

圖1 積分回路

而回路積分由2段直線段和圓弧構(gòu)成，因而又可以寫為3部分積分之和，即

(3)

(4)

由式(4)可推得

(5)

值得注意的是，在上述推導(dǎo)過程中，n≥2，且為整數(shù)，對于n為非整數(shù)不適用.本小節(jié)在利用留數(shù)定理的推導(dǎo)過程中，僅要求n為大于1的整數(shù)，且說明了為什么要取圖1這樣的積分路徑, 其他路徑可讓學生自己去練習，并對比了幾種路徑計算所需的工作量.

1.2 多值函數(shù)留數(shù)定理方法求實積分I1

(6)

而回路由幾部分構(gòu)成，可寫成如下各部分積分之和：

(7)

圖2 積分回路

由于

因而由小圓弧引理和大圓弧引理可得

因而由式(7)可得

(8)

由式(6)與式(8)可推得

(9)

從而得到積分I1的結(jié)果：

(10)

2 積分類型(n為實數(shù)且n>1)

2.1 積分的簡化處理與說明

(11)

圖3 積分回路

而回路積分由4段直線段，兩個半圓周和一個大圓弧構(gòu)成，因而又可以寫為7部分積分之和，即

(12)

當δ→0時，則在C0δ上有

(13)

由小圓弧引理可得

同理在C1δ上有

(14)

所以當r→+∞，δ→0時，由式(11)—式(14)得

(15)

從而有

(16)

式(16)中要求n>1的整數(shù)，本節(jié)和1.1節(jié)的差異在于積分路線上存在奇點，處理方法為以奇點為圓心且半徑無限小的半圓繞過奇點，半圓的積分值可由小圓弧引理或留數(shù)定理來計算.

2.2 多值函數(shù)留數(shù)定理方法求實積分I2

f′2(z)dz=0

(17)

而

(18)

圖4 積分回路

由于

(20)

因而由小圓弧引理和大圓弧引理可得

(21)

(22)

由式(17)、式(18)、式(21)、式(22)可得

(23)

最終求得

(24)

本節(jié)思路與1.2節(jié)類似，只是在積分路線上有奇點，處理方法與2.1節(jié)方法相同.值得注意的是，割線上岸任一點的輻角規(guī)定為2kπ，則按積分回路的繞向，下岸任一點的輻角為2(k+1)π，這樣也可求得I2，這種情況可留作學生自行練習，對多值函數(shù)的理解會有好處.

3 小結(jié)