江蘇省海門中學(xué) (226100) 蒯 龍

雙變量不等關(guān)系的證明問(wèn)題是考試中的熱點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)于此類問(wèn)題的解法研究的文章的很多，但是作為教師，不能僅僅滿足介紹各種解法，而應(yīng)更多講清楚解法的來(lái)源、問(wèn)題的本質(zhì)、命題的角度，明晰命題者的意圖.本文結(jié)合一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題，從不同的角度構(gòu)造雙變量的不等關(guān)系，給出問(wèn)題的變式，以期對(duì)此類問(wèn)題有更全面的認(rèn)識(shí).

一、題目

(2021全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽)已知f(x)=ex-xa，x>0，a∈R.(1)若f(x)≥0恒成立，求a的最大值；(2)若x1、x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1>x2，求證：x1+x2>2a.

二、構(gòu)造角度與變式

變題1 已知f(x)=ex-xa，x>0，a∈R.若x1、x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1>x2，求證：x1x2

變題2 已知f(x)=ex-xa，x>0，a∈R.若x1、x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1>x2，當(dāng)e

變題3 已知f(x)=ex-xa，x>0，a∈R.若x1、x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1>x2，求證：x1+ex2>3e.

變題4 已知f(x)=ex-xa，x>0，a∈R.若x1、x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1>x2，求證：x1+x2>4a-3e.

從形的角度還可以采用切線放縮和切割放縮等構(gòu)造，限于篇幅，不再贅述.