浙江省嘉善第二高級(jí)中學(xué) (314100) 魯和平

高中學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時(shí)，都會(huì)學(xué)習(xí)如何用隔板法解題，從而不可避免地遇到不定方程整數(shù)解的組數(shù)問題.由于此類問題變化很多，情形復(fù)雜，學(xué)生往往似懂非懂.如果我們從最簡(jiǎn)單的情形入手，拾級(jí)而上，環(huán)環(huán)相扣，就會(huì)掌握其內(nèi)在規(guī)律.

一、回歸原點(diǎn)

例1 方程x1+x2+x3+x4=12共有多少組正整數(shù)解？

評(píng)注：本題是隔板法最原始最基本的模型.把握兩個(gè)必要條件：一是相同的元素，二是被隔板隔開的每一部分?jǐn)?shù)目不小于“1”.充分理解這個(gè)模型，其它的類似問題迎刃而解.

二、邁開小步

例2 方程x1+x2+x3+x4=12共有多少組非負(fù)整數(shù)解？

評(píng)注：由“非負(fù)整數(shù)解”向“正整數(shù)解”過渡，只需換元.雖說只邁開了小小的一步，但給人的啟發(fā)很大，后續(xù)變形都是稍作調(diào)整，如法炮制.

三、變更范圍

例3 方程x1+x2+x3+x4=12滿足“x1≥-1,x2≥3,x3≥-2,x4≥2”的整數(shù)解共有多少組？

評(píng)注：此題變形，只需把每個(gè)未知數(shù)的范圍變?yōu)椤按笥诘扔?”就行了.突破此關(guān)，勢(shì)如破竹.

四、變換關(guān)系

例4 方程x+y+z=2011滿足x

評(píng)注：本題增加了限制條件“x

五、變更系數(shù)

例5 方程x1+x2+…+x99+2x100=3的非負(fù)整數(shù)解共有多少個(gè)？

評(píng)注：原來的不定方程的各個(gè)未知數(shù)系數(shù)均為“1”.本題雖說將x100的系數(shù)作了微調(diào)，但帶來的影響是巨大的.分類討論是主要辦法.重在對(duì)排列數(shù)公式及組合數(shù)公式的深刻理解.

例6 求不定方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6=21的正整數(shù)解的組數(shù)(2009年湖北省預(yù)賽第10題).

解：原方程即為(x1+x2+x3)+3(x4+x5)+5x6=21,令x1+x2+x3=x,x4+x5=y,x6=z，則x≥3,y≥2,z≥1.先考慮不定方程x+3y+5z=21滿足x≥3,y≥2,z≥1的正整數(shù)解.因?yàn)閤≥3,y≥2,z≥1,所以5z=21-x-3y≤12,則1≤z≤2.

①當(dāng)z=1時(shí)，有x+3y=16，此方程滿足x≥3,y≥2的正整數(shù)解為(x,y)=(10,2),(7,3),(4,4);

六、變更形式

④當(dāng)x1=3時(shí)，方程x2+x3+x4+x5=1的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4.

評(píng)注：除了變更不定方程各個(gè)未知數(shù)的系數(shù)，還可以變更未知數(shù)的冪.本題試著將x1的冪由“1”變?yōu)椤?”.解決的辦法是“分類討論+隔板法”.

綜上幾例可見，不定方程整數(shù)解的組數(shù)求解問題是非常復(fù)雜的.本文只是例舉了求解中常見的幾種變更形式，但遠(yuǎn)未能窺全豹，也不可能得出一般性的結(jié)論.更多的是需要我們有“遇山劈路遇水架橋”的隨機(jī)應(yīng)變的能力.