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      數(shù)學問題驅(qū)動學生深度學習的教學探索
      ——以“二次函數(shù)”教學為例

      2022-10-17 10:56:16
      數(shù)學之友 2022年15期
      關(guān)鍵詞:二次函數(shù)關(guān)系式驅(qū)動

      趙 陽

      (貴州師范大學數(shù)學科學學院,貴州貴陽,550001)

      《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》中明確指出,義務(wù)教育數(shù)學課程應(yīng)使人人都能獲得良好的教育,不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展,逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)[1].由此可見,隨著新課改的推進,對學生的數(shù)學學習的要求有了很大的提高,使得教師和學生都面臨著更加艱巨的任務(wù)和挑戰(zhàn),如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)如今已經(jīng)成為了眾多教師以及教學研究者亟待解決的問題[2].問題驅(qū)動是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的有效方式,是促進核心素養(yǎng)發(fā)展的重要工具.當前的數(shù)學課堂中存在大量問題驅(qū)動的教學形式,但是依舊存在一定的問題,比如,課堂中存在大量的設(shè)問,且問題設(shè)置僅僅停留于知識的表層,不具有較強的探究性,這就使得問題驅(qū)動的教學流于形式.對于學生而言,只有對知識本身的認識和理解,而缺乏參與知識生成的過程和經(jīng)歷[3],難以實現(xiàn)促進學生深度學習的目標.

      1 基于數(shù)學問題驅(qū)動學生深度學習的理論分析

      1.1 問題驅(qū)動的內(nèi)涵

      問題驅(qū)動是通過合理設(shè)置教學問題促進學生深度思考和解決問題的過程.問題驅(qū)動教學的實質(zhì)是指要創(chuàng)設(shè)真實的問題,并賦予其有效的數(shù)學情境,通過教師引領(lǐng),學生圍繞問題情境進行探究發(fā)現(xiàn),在解決問題的過程中體驗數(shù)學的“再發(fā)現(xiàn)”過程,發(fā)現(xiàn)具體的數(shù)學知識,也能獲得相應(yīng)的數(shù)學思想方法[4].有效的問題驅(qū)動需立足于學生實際,創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學生學習興趣,并以問題串的方式,引導(dǎo)學生在問題驅(qū)動下積極參與數(shù)學探究活動,經(jīng)歷數(shù)學知識的形成,提升數(shù)學學習效率.通過問題驅(qū)動教學,能激發(fā)數(shù)學學習積極性,引導(dǎo)學生經(jīng)歷數(shù)學思考過程,有助于感受數(shù)學知識的本質(zhì),促進學生深度學習.

      1.2 深度學習的內(nèi)涵

      數(shù)學深度學習指學生加深對數(shù)學本質(zhì)的理解,提升學生數(shù)學思維能力、促進數(shù)學核心素養(yǎng)獲得的學習過程[5].就中學生而言,數(shù)學深度學習的主要表現(xiàn)是數(shù)學核心素養(yǎng)的形成,具體體現(xiàn)在數(shù)學理解、數(shù)學抽象、問題提出、問題解決以及知識遷移等方面.數(shù)學深度學習立足于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展目標,以數(shù)學知識為載體,通過教師引導(dǎo),學生圍繞數(shù)學學習任務(wù),全身心投入到數(shù)學學習的過程.在教學中,教師應(yīng)該通過創(chuàng)設(shè)適合的問題情境或是設(shè)置具體的學習任務(wù),讓學生積極參與數(shù)學知識的探究,親身經(jīng)歷數(shù)學知識的形成,深刻感知數(shù)學知識的本質(zhì),發(fā)展學生的數(shù)學思維能力,促進學生學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

      1.3 問題驅(qū)動對深度學習的影響

      問題驅(qū)動是當前數(shù)學課堂教學中的基本模式,同時也是重要模式[2].問題是數(shù)學的心臟,有效的問題驅(qū)動能夠促進學生積極參與數(shù)學知識的探索過程,促進學生對知識脈絡(luò)的充分分析,幫助學生對知識本質(zhì)進行深入理解.在數(shù)學課堂中教師要學會提問,問題的設(shè)置要立足于學生現(xiàn)狀,積極引導(dǎo)學生參與到數(shù)學課堂中,深度地思考,深刻地感知,體會知識的形成過程,感悟數(shù)學的基本思想,總結(jié)數(shù)學基本活動經(jīng)驗,感受數(shù)學知識的本質(zhì).

      當前的數(shù)學課堂中,存在大量形式化的問題驅(qū)動,許多教師為了迎合當前的上課風格,在課堂中設(shè)置大量問題串,但是對于學生的具體情況沒有進行深入分析,數(shù)學問題沒有進行精心的設(shè)計,導(dǎo)致提問的水平較低,提問的內(nèi)容浮于表層,沒有起到促進學生深度思考的效果,也無法讓學生感受到數(shù)學知識的本質(zhì),難以達到深度學習的效果.因此,問題驅(qū)動教學的前提是對問題的精心設(shè)計.教師要對教學材料進行細致的分析,深入理解數(shù)學知識的本質(zhì),厘清知識的脈絡(luò),再立足于學生現(xiàn)狀,精心設(shè)置合適的問題串,以便更好地達到問題驅(qū)動教學的效果.

      2 教學過程

      2.1 復(fù)習提問,回顧舊知

      問題1:函數(shù)的定義是什么?

      生:一般地,如果在一個變化過程中有兩個量x和y,并且對于變量x的每一個值,變量y都有唯一的值與它對應(yīng),那么我們稱y是x的函數(shù).

      【設(shè)計意圖】通過回顧函數(shù)的概念,引導(dǎo)學生記憶自變量與因變量之間的關(guān)系,加深對函數(shù)定義的理解.

      問題2:我們學過哪些函數(shù)?這些函數(shù)的表達式是什么?

      【設(shè)計意圖】幫助學生回顧已學過的函數(shù),加強學生對已學函數(shù)的記憶,同時也為本節(jié)學習二次函數(shù)奠定基礎(chǔ).

      問題3:對于一次函數(shù)y=kx+b(k≠0),為什么限制k≠0?

      生:若k≠0,則關(guān)系式變?yōu)閥=b,不是一次函數(shù).

      【設(shè)計意圖】二次函數(shù)定義的學習可以類比一次函數(shù),通過對一次函數(shù)表達式的回顧,能夠類比獲得二次函數(shù),同時通過對k≠0的討論可以為本節(jié)內(nèi)容中a≠0提供模板,幫助學生更好地理解二次函數(shù)中a≠0的意義.

      2.2 創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)興趣

      問題4:設(shè)正方形的邊長為x,正方形的面積為y,y與x之間有什么關(guān)系?

      生:正方形的面積等于邊長乘邊長,因此正方形的面積y=x2.

      追問1:如果正方體的邊長x發(fā)生變化,那正方體的表面積y與x之間有什么關(guān)系?

      生:正方體的表面積等于6個全等的正方形的面積,因此正方體的面積y=6x2.

      【設(shè)計意圖】正方形的面積公式是學生所熟悉的,因此首先通過正方形面積這一簡單的問題情境,讓學生進行思考,獲得關(guān)系式y(tǒng)=x2,再通過將題目中的正方形變化為正方體,將問題進行簡單提升,難度上的變化較小,學生能夠很快解決.在此過程中,使學生獲得勝利的喜悅感,有效提升學生的積極主動性.該問題中,學生可以獲得二次函數(shù)的一種情況,b=0,c=0即y=ax2(a≠0).

      問題5:學校準備舉辦乒乓球比賽,有n支球隊參加比賽,每兩隊之間進行一場比賽,比賽場數(shù)m與球隊數(shù)量n之間有什么關(guān)系?

      【設(shè)計意圖】在校園中各種比賽數(shù)不勝數(shù),從學生感興趣的話題出發(fā),能夠有效調(diào)動學生情緒,在該問題中,學生可以通過觀察與思考,得到每一支球隊會與(n-1)個隊伍比賽,最后得到關(guān)系式.在該問題中,獲得了二次函數(shù)的另一種情況,b≠0,c=0,即y=ax2+bx(a≠0).

      問題6:某產(chǎn)品年產(chǎn)量為20 t,計劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年都比前一年的產(chǎn)量增加x倍,那么今后兩年該產(chǎn)品的產(chǎn)量y與x之間的關(guān)系應(yīng)該怎樣表示?

      追問1:一年后該產(chǎn)品的產(chǎn)量是多少?

      生:20(1+x)(t).

      追問2:兩年后的產(chǎn)量y與x之間的關(guān)系應(yīng)該怎樣表示?

      生:y=20(1+x)(1+x)=20(1+x)2=20x2+40x+20.

      【設(shè)計意圖】該情境是來自于現(xiàn)實生活中的問題,相對于前面兩個情境的問題,這個情境會更為復(fù)雜,因此可以通過分解問題,采用追問的形式先讓學生將明年的產(chǎn)量表示出來,在明年的基礎(chǔ)上再進行計算會更加簡單,也更容易理解,同時所列出的關(guān)系式包含三項,與二次函數(shù)的一般形式正好對應(yīng),更便于學生觀察.

      2.3 問題驅(qū)動,獲得概念

      問題7:觀察得出的4個關(guān)系式,回答下列問題:

      追問1:上述四個關(guān)系式是不是函數(shù)?

      生:這些關(guān)系式都滿足函數(shù)的定義,所以它們都是函數(shù).

      追問2:它們有什么共同特點?

      生:x的最高次數(shù)是2,等號兩邊都是整式.

      追問3:能否用符號語言,描述它們的共同特征?

      生:y=ax2+bx+c.

      追問4:類比一次函數(shù)的定義給猜想它是什么函數(shù)?該怎樣給它下定義呢?

      師生互動:二次函數(shù).一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c都是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).其中,x是自變量,ax2叫做二次項,bx叫做一次項,c叫做常數(shù)項.

      追問5:為什么規(guī)定a≠0?

      師生互動:因為a=0,二次項的系數(shù)就為0,此時x的最高次就是一次,不是二次了.

      追問6:b和c可以為0嗎?

      師生互動:若b=0,c≠0則有y=ax2+c(a≠0); 若b≠0,c=0,y=ax2+bx(a≠0);若b=0,c=0,則有y=ax2(a≠0),最高次數(shù)為2,依舊是二次函數(shù),因此b和c可以為0.

      【設(shè)計意圖】以問題驅(qū)動的方式引導(dǎo)學生進行思考,將概念的探究分成一個個小任務(wù)去完成,簡化概念探索的繁雜過程,教師通過問題引導(dǎo),學生思考,有助于學生厘清概念的本質(zhì),促進學生的深度思考,加深學生的理解.

      追問1:幫助學生回顧函數(shù)的概念,只有這些關(guān)系式是函數(shù)的情況下討論其屬于什么函數(shù)才有意義.

      追問2:通過觀察,發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的特征,歸納出上述關(guān)系式自變量的最高次為二次,等式兩邊都是整式.

      追問3:將文字語言表示為符號語言,便于后面更快速地歸納出二次函數(shù)的定義.

      追問4:一次函數(shù)自變量的最高次數(shù)為1,而此處的最高次數(shù)為2,自然就會想到二次函數(shù),根據(jù)所歸納出的二次函數(shù)的符號,結(jié)合一次函數(shù)的定義,即可類比一次函數(shù)歸納出二次函數(shù)的定義.

      追問5:只有a≠0,才能保證自變量的最高次數(shù)為2,才符合二次函數(shù)的定義.

      追問6:在一次函數(shù)中若b≠0,則函數(shù)變?yōu)閥=kx(k≠0),此時它是一次函數(shù)的特殊情況正比例函數(shù),同樣的當b≠0,c=0時,y=ax2+bx(a≠0);當b=0,c≠0時,y=ax2+c(a≠0);b=0,c=0時,y=ax2(a≠0),很明顯三個式子都是滿足二次函數(shù)定義的,通過問題的驅(qū)動,學生自主探究,能夠加深學生對二次函數(shù)定義以及表達式的理解.

      2.4 問題檢驗,體現(xiàn)認知

      練習1:函數(shù)y=(m-2)x2是關(guān)于x的二次函數(shù),求m的值?

      練習2:函數(shù)y=(a-2)x(a2-4)是關(guān)于x的二次函數(shù),求a的值?

      練習3:函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c都是常數(shù))是二次函數(shù)嗎?

      練習4:為了擴大小區(qū)的綠化面積,決定將小區(qū)的一塊長為30 cm,寬為20 cm的矩形綠地的長、寬各增加xm,請寫出擴充后綠地面積y與x的關(guān)系式?

      【設(shè)計意圖】練習1-3是為了幫助學生加深對二次函數(shù)的理解,感受二次函數(shù)的本質(zhì),讓學生體會到若y=ax2+bx+c是二次函數(shù),必須滿足二次項系數(shù)不能為0,最高次數(shù)必須是2.練習4是通過生活實例列出二次函數(shù)的關(guān)系式,讓學生體會學習二次函數(shù)的意義,培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識.

      3 教學反思

      3.1 創(chuàng)設(shè)問題情境,促進學生深度思考

      問題是數(shù)學的心臟,也是數(shù)學課堂的核心.數(shù)學問題驅(qū)動的關(guān)鍵是問題情境的創(chuàng)設(shè),教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學情境驅(qū)動數(shù)學教學,為學生提供一個可輕松探索的問題空間[6].引導(dǎo)學生快速地進入數(shù)學課堂,幫助學生體會內(nèi)容的現(xiàn)實意義,厘清知識的概念與本質(zhì),幫助學生在數(shù)學問題情境中深度思考.

      3.2 設(shè)置問題驅(qū)動,促進學生深度合作

      數(shù)學學習是一個主動探索的過程,應(yīng)給予更多的探索時間和空間.在教學過程中,教師要重視學生的主體地位,通過設(shè)計具有層次性的問題鏈驅(qū)動學生的數(shù)學思考,為解決數(shù)學問題指明探究的方向,給予學生深度合作的機會,幫助學生厘清概念,逐步深化對數(shù)學知識的認識,體會數(shù)學學習的意義和價值.

      3.3 設(shè)置問題拓展,促進學生深度探究

      愛因斯坦曾說過:“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”.教師在教學中要重視對學生問題意識的培養(yǎng),問題拓展能有效促進學生的數(shù)學思考和探究,發(fā)散數(shù)學思維,是培養(yǎng)問題意識的重要手段.因此教師要在課堂中突出學生的主體地位,給予學生更多的思考時間和探究空間.通過設(shè)置拓展性的問題,讓學生充分思考,深度探究,促進學生數(shù)學思維的發(fā)展,加強學生的數(shù)學問題意識.

      3.4 開展課后評價,促進學生深度反思

      課堂教學與課后反思相結(jié)合,不僅能加強學生的數(shù)學理解,也能培養(yǎng)其良好的學習習慣.在課后,教師可以采用相關(guān)試題讓學生開展自評,培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力,并及時反饋學生的學習情況,進一步加深對所學內(nèi)容的理解,讓其在解決問題中發(fā)現(xiàn)問題,不斷提升發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力,從而激發(fā)學生的深度反思,促進學生核心素養(yǎng)的提升.

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