郭澤賢，沈凡皓，包澤杭，王子文，陳水橋，姚星星

(浙江大學 a.竺可楨學院;b.物理學院，浙江 杭州 310027)

流體黏度的測量在工業(yè)領域扮演著重要角色，已被廣泛用于水利工程、管道運輸?shù)阮I域之中. 黏度測量方法很多，例如落球法、旋轉法、毛細管法、阻尼振動法、杯式黏度計法、微流體并流法、多散斑光譜法等[1-4]，其中，阻尼振動法是落球法結合振動來實現(xiàn)的. 本文結合單擺阻尼法與共振法，實現(xiàn)測量流體的黏度，即步進輪擺共振法測量流體黏度. 步進輪擺共振法需要先對流體中的單擺運動進行研究，然后再添加步進輪擺，即指單擺的結點在水平方向上做小幅度的簡諧振動. 該體系可以類比成在簡諧力驅動下的彈簧振子模型，從而可以觀測到共振現(xiàn)象，并通過調節(jié)驅動頻率，找到共振頻率，使得擺球的水平位移振幅或者角度振幅達到最大. 本文分析了步進輪擺共振法測量流體黏度的原理，推導出實驗計算公式，并利用步進輪擺共振法測量流體黏度，分析了流體黏度測量精度及其他影響.

1 基本原理

1.1 擺球運動原理

對于在流體中運動的擺球，以擺的頂端為參考系，擺球受到重力Fg、浮力FB、擺線張力T以及黏滯阻力FD的作用，非慣性系下還需引入慣性力Fi[5]，其受力分析如圖1所示.

圖1 擺球受力分析

FBsinθ-Fgsinθ-FD-Fi=ma,

(1)

(2)

(3)

1.2 步進輪擺運動原理

(4)

將式(4)代入式(3)可得：

(5)

1.3 流體黏度與共振頻率的關系

(6)

聯(lián)立式(5)和式(6)，得到：

(7)

從式(7)的形式上看，小球擺的水平位移可視為受迫振動的彈簧振子，因此，式(7)可以改寫成如下形式：

(8)

(9)

在擺幅最大時達到共振，所以有：

(10)

(11)

2 流體黏度簡化公式

對于某溫度下的待測液體，黏度固定，所以改變頻率可以得到具體的位移振幅和角度振幅[8]，即實驗中可以測得相應頻率的位移或角度.

計算機模擬單一黏度下水平位移振幅隨驅動頻率的變化曲線，如圖2所示. 峰值從高到低的線分別對應0.1,0.2,…,0.7 Pa·s.

圖2 單一黏度下水平位移振幅隨驅動頻率的變化曲線

通過位移振幅得到的模擬結果(圖2)可以看出，黏度變化對共振頻率的影響并不大，對黏度測量精度會有較小的誤差，故實驗采用測位移振幅的方法進行實驗.

改變液體溫度得到不同黏度下的共振頻率，將不同黏度下的共振頻率連線，結果如圖3所示. 以上模擬均已考慮雷諾數(shù)修正以及容器壁修正[9,13]. 在三維圖中可以清晰地看出共振頻率隨黏度的變化趨勢.

圖3 不同黏度下頻率與振幅三維圖

為探究不同模型修正對共振頻率的具體影響，做不同黏度下的共振頻率圖，如圖4所示.

圖4 不同黏度下的共振頻率圖

3種模型中，模式1僅考慮了斯托克斯方程，模式2在模式1基礎上加入了雷諾數(shù)修正，模式3在模式2基礎上加入了容器壁修正. 經(jīng)對比，發(fā)現(xiàn)黏度在0.3～1.1 Pa·s的范圍內，可用線性表達式來表征黏度與共振頻率的關系. 如圖5所示，數(shù)值模擬結果的線性擬合R2=0.999 6，說明用線性公式代替繁瑣的數(shù)值模擬是可行的.

黏度在一定的區(qū)間內， 模式3曲線與線性公式符合得較好，因此可以通過線性公式求出黏度測量值. 根據(jù)圖5，得到的線性經(jīng)驗公式為

μ=-0.313ωm+1.844.

(12)

由上述分析可知，液體中做受迫振動的擺球，可以在特定情形下達到共振，測出共振頻率即可得到液體黏度.

圖5 將模擬所得數(shù)值解在一定區(qū)域內線性擬合

3 實驗儀器

實驗儀器由步進輪擺裝置、共振頻擺發(fā)生器、激光定位系統(tǒng)和數(shù)據(jù)采集與測量模塊組成. 圖6所示為實驗儀器總框圖.

圖6 實驗儀器總框圖

3.1 步進輪擺裝置

步進輪擺主要由步進輪擺車、滑軌和水平導軌組成，步進輪擺車包括水平桿、轉框和四輪小車. 使用CAD構建模型，并利用3D打印，得到相應部件進行組裝，將步進輪擺車置于滑軌上，并用水平泡調節(jié)滑軌水平. 將步進輪擺車上豎直維度傳動框與轉盤套合，使步進輪擺車僅可水平移動.

步進輪擺工作原理：轉盤內的固定桿做勻速圓周運動，而水平導軌將該圓周運動投影在水平方向，從而推動步進輪擺車左右擺動，并帶動擺球做簡諧振動[10].

3.2 共振頻擺發(fā)生器

共振頻擺發(fā)生器主要由步進電機與轉盤構成，步進電機輸入信號由外接頻率控制，從而控制轉盤工作.

3.3 激光定位系統(tǒng)

激光定位系統(tǒng)由激光器和光電傳感器組成，用來檢測小球是否擋光，所以帶量尺的光學導軌和激光定位系統(tǒng)可以實現(xiàn)小球最大擺幅測量[11]. 在本次實驗的流體中，改變驅動頻率后，小球迅速達到穩(wěn)定，并做穩(wěn)定的簡諧振動，激光定位系統(tǒng)可精確記錄小球擺動的左右水平極限位置(最大擺幅)，反映水平位移的振幅大小，最終確定水平位移最大時對應的驅動頻率大小，記錄此值，即為該黏度下的共振頻率.

3.4 數(shù)據(jù)采集與測量模塊

數(shù)據(jù)采集模塊使用Arduino開發(fā)板,程序設計主要思路如圖7所示. 首先計算小球穩(wěn)定平衡的弛豫時間ΔT，并得到稍大于弛豫時間的間隔時間. 通過按鍵控制模式參數(shù)mode，編寫代碼，使模式參數(shù)為auto(按下按鍵)和manual(松開按鍵)時分別對應自動模式和手動模式.

圖7 數(shù)據(jù)采集與測量模塊流程圖

手動模式的算法主要利用了Arduino的并行輸入接口，2個不同的輸入接口分別對應增速和減速，還有1個輸入接口對應增減速幅度的調節(jié). 在實際實驗中，可以先調節(jié)增減速幅度到達合適的數(shù)值，再按增速或減速按鍵調節(jié)轉速，直至達到目標值.

自動模式的算法主要利用了Arduino內置的定時模塊，設定間隔時間后，借助Arduino版的高刷新率性質， 可以定義條件語塊，使得時隔后的時刻可以精確地提升或降低特定的轉速. 此時按鍵功能變?yōu)榭刂谱兯俚姆较? 按下按鍵可以實現(xiàn)自動加轉速掃頻，松開按鍵可以實現(xiàn)自動減轉速掃頻.

功能特色在于可以更加智能化地進行測量或教學演示. 手動掃頻與自動掃頻可以自由選擇. 手動掃頻下，測量者可以更方便地找到已知的特殊頻率值，并可以做更穩(wěn)定的測量或演示. 自動模式下，設定的掃頻間隔時間需稍大于小球的弛豫時間[14]. 打開Arduino開發(fā)板啟動按鍵，步進輪擺的穩(wěn)定振動頻率會隨著時間穩(wěn)步改變，從而使測量者在調節(jié)過程中更加關注振幅測量.

4 實驗結果與分析

通過測量不同黏度流體中運動的步進輪擺共振頻率，進而實現(xiàn)黏度的測量以及不確定度分析. 通過更換擺長尋找精度最高的裝置參量. 測量單一黏度下水平位移振幅與驅動頻率之間的對應關系，并與理論結果進行比較，驗證實驗系統(tǒng)的可靠性.

4.1 實驗數(shù)據(jù)與分析

擺長l=0.20 m時，10組不同黏度流體的黏度測量數(shù)據(jù)如表1所示，每種流體均進行了6次重復實驗.

表1 不同黏度流體的黏度

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，作測量值與標準值的分析圖如圖8所示. 從實驗結果可以看出用線性公式擬合得到的黏度測量值與黏度標準值偏差較小，不確定度平均為±0.02 Pa·s，驗證了實驗系統(tǒng)的可靠性.

圖8 實驗測量值與標準值吻合度分析圖

另外，由圖8可知，黏度較大的流體相對來說誤差較大，其原因是黏度較大時，共振峰較為平坦(品質因子Q值較低)，共振頻率的測量誤差較大.

4.2 實驗系統(tǒng)分析

4.2.1 擺長對黏度測量的影響

選取不同擺長l進行實驗，得到黏度與共振頻率的關系如圖9所示.

圖9 不同擺長下黏度與共振頻率的關系

擺長對流體黏度測量的影響主要是：要確保小球擺在振動過程中滿足小幅振動的條件，即擺球擺動角度越小越不會產(chǎn)生較大誤差.

4.2.2 溫度對黏度測量的影響

在實驗中改變液體的溫度進行測量，結果如圖10所示. 實驗結果與理論符合較好，包絡線誤差為±0.02 Pa·s，擬合誤差為±0.01 Pa·s.

(a)T=32.0 ℃

分析上述結果，發(fā)現(xiàn)在共振頻率附近實驗與理論曲線擬合較好，而在頻率較低時整體實驗數(shù)據(jù)偏大，這是由于此時輪擺振動幅度偏大，以及容器壁真實修正項與線性項存在較大偏離等因素所致. 在共振頻率附近更為細致的掃頻結果發(fā)現(xiàn)[圖10(d)]，相較于偏離共振頻率附近的頻率，實驗得到的數(shù)據(jù)點與理論符合得更好.

4.2.3Q值對黏度測量的影響

圖11 單一黏度下振幅隨頻率的變化

4.2.4 實驗系統(tǒng)性能分析

1)測量范圍

μmin=0.3 Pa·s,μmax=1.1 Pa·s.

2)測量精度

儀器精度為±0.02 Pa·s.最大黏度相對偏差為5%，最大黏度偏差值為0.04 Pa·s.

3)響應時間

改變頻率至穩(wěn)定振動所需時間小于2 s. 響應時間越快，達到穩(wěn)定振動所需要的時間就越短，如圖12所示，在1 s之后球擺就能達到穩(wěn)定的簡諧振動.

圖12 小球位移隨時間變化圖

4.2.5 實驗系統(tǒng)特點分析

1)與傳統(tǒng)的單擺阻尼法測量黏度相比，此方法更加直觀，同時能排除更多干擾因素，得到更精確的結果[15].

2)推導出一定黏度范圍內，測量黏度的線性公式，避免了繁瑣的計算.

3)用激光定位法觀察和獲取小球擺動的最大振幅，可以更直觀地觀察到黏度與驅動頻率對振幅的影響，同時也使測量數(shù)據(jù)更加可信[16].

4)開發(fā)了擺動頻率連續(xù)變化的搜索算法，用單片機控制驅動力頻率，使實驗者無需手動控制，裝置更加智能.

5)本裝置中，步進輪擺系統(tǒng)的構件全部采用3D打印技術實現(xiàn)，成本較低.

5 結束語

基于步進輪擺共振法的黏度測量方法，更適用于測量高黏度液體，并且在控制恒溫的情況下可以得到精確測量. 通過計算機模擬，驗證了在0.1～1.5 Pa·s的黏度范圍內可有效地進行黏度測量，推導了在0.3～1.1 Pa·s的黏度范圍內可用線性表達式表征黏度與共振頻率的關系式，精度可達到0.02 Pa·s. 比較流體黏度的測量值與標準值，說明了用共振頻率線性表征測量黏度的可行性. 實驗系統(tǒng)還可以提高方法和措施：可進一步優(yōu)化，做成集成的小型測量儀器或者手持式測量儀器；開發(fā)實時反饋共振頻率的同時計算出相應黏度值大小并顯示的系統(tǒng)；數(shù)據(jù)采集模塊升級為采用束寬更細的激光進行振幅測量. 另外，如果以角度為自變量，也比較適合更小黏度流體的黏度測量，可以以此為方向做進一步探究.